北京四中2014届高三数学总复习知识讲解合情推理与演绎推(基础)

合情推理与演绎推理编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】理解合情推理的含义，能利用概括和类比进行推理，做出猜想。2.理解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理.【要点梳理】要点一、推理的见解及分类推理的见解：依照一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思想方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．要点讲解：（1）任何推理都是由前提和结论两部分组成，前提是推理所依照的命题，它告诉我们已知的知识是什么，推理的前提能够是一个，也能够是几个．结论是依照前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．（2）推理也能够看做是用连结词将前提和结论逻辑的连结，常用的连结词有：“由于，所以”“根据，可知”“若是，那么”等．2.推理的分类：合情推理推理演绎推理（1）合情推理：依照已有的事实和正确的结论（包括定义、公义、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、解析、比较、联想、概括、类比等推测出某些结果的推理过程。其中概括推理和类比推理是最常有的合情推理。概括推理是由特别到一般的推理；类比推理是由特别到特其他推理．合情推理的推理过程要点讲解：由合情推理的过程能够看出，合情推理的结论常常超越了前提所包括的范围，带有猜想的成分，所以推理所得的结论未必正确，但是，合情推理拥有猜想和发现结论、研究和供应证明的思路和方向的作用．（2）演绎推理：从一般性的原理出发，依照严格的逻辑法规，推出某个特别情况下的结论的推理，叫做演绎推理.演绎推理是由一般到特其他推理．要点二、概括推理1.定义：由某类事物的部分对象拥有某些特点，推出该类事物的全部对象都拥有这些特点的推理，也许由个别事实概括出一般结论的推理，称为概括推理（简称概括）。．概括推理的特点1）概括推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；2）概括推理的前提是部分的、个其他事实，所以概括推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况有可能发生的（如教科书所述的“费马猜想”）；3）人们在进行概括推理的时候，总是先采集必然的事实资料，有了个别性的、特别性的事实作为前提，尔后才能进行概括推理，所以概括推理要在观察和实验的基础进步行；4）概括推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．要点讲解：概括推理的结论可真可假概括推理一般都是从观察、实验、解析特别情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，概括的个别情况越多，就越拥有代表性，实行的一般性命题就越可靠.由于概括推理的前提是部分的、个其他事实，因此概括推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以概括推理所得的结论不用然是正确的.．运用概括推理时的一般步骤1）经过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；2）把这种相似性实行为一个明确表述的一般命题（猜想）；3）对所得出的一般性命题进行检验．在数学上，检验的标准是能否进行严格的证明．．完好概括法和不完好概括法1）完好概括法：经过对某类事物中的每一个对象或每一子类的观察，从中概括出关于此类事物的一般性结论的推理．由于完好概括法观察了某类事物的全部情况，所以由正确的前提必然能获得正确的结论，所以完好概括法能够作为数学严格证明的工具，在数学解题中有着广泛的应用．2）不完好概括法：经过对某类事物的一部分对象或一部分子类的观察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理．由于不完好概括法是对某类事物中的某一部分对象进行观察，所以，前提和结论之间未必有必然的联系，由不完好概括法获得的结论，结论不用然正确，结论的正确与否，还需要经过严格的逻辑论证和实践检验．在本书中，如无特别说叫，概括法都足指不完好概括法．要点三、类比推理．定义：类比推理（以下简称类比）是在两类不相同的事物之间进行比较，找出若干相同或相似点此后，推测在其他方面也能够存在相同或相似之处的一种推理模式．．类比推理的几个特点1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；2）类比是从一种事物的特别属性推测另一种事物的特别属性；3）类比的结果是猜想性的，不用然可靠，但它却拥有发现的功能．．运用类比推理的一般步骤（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．（2）用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（3）检验猜想.要点讲解：（1）若是类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．2）事物之间的各个性质之间，其实不是孤立存在的，而是互相联系的，互相限制的，若是两个事物在性质上相同或近似，那么它们在另一些性质上也可能相同或近似．所以类比的结论可能是真的，类比也可能拥有必然性．3）类比的结论拥有有时性，即可能真，也可能假．要点四、演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，依照严格的逻辑法规，推出某个特别情况下的结论的推理，叫做演绎推理.言之，演绎推理是由一般到特其他推理．（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特别情况；③结论——依照一般原理，对特别情况作出的结论.要点讲解：①若是一个推理规则能用符号表示为“若是ab，bc，则ac”，那么这种推理规则叫做三段论推理．

简②三段论推理包括了三个命题，第一个命题称为大前提，它供应了一个一般性的原理；第二个命题称为小前提，它指出了一个特别对象，两者结合起来，揭穿了一般原理与特别对象的内在联系，从而获得第三个命题——结论．（3）用会集的见解理解“三段论”若会集M的全部元素都拥有性质P，S是M的子集，那么S中全部元素都拥有性质P.要点讲解：演绎推理的结论必然正确演绎推理是一个必然性的推理，所以只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论必然是正确的，它是完好可靠的推理。要点五、合情推理与演绎推理的差异与联系1）从推理模式看：①概括推理是由特别到一般的推理．②类比推理是由特别到特其他推理．③演绎推理是由一般到特其他推理．2）从推理的结论看：①合情推理所得的结论不用然正确，有待证明。②演绎推理所得的结论必然正确。3）整体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，两者有差异；从两者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是亲密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的考据，而演绎推理的内容一般是经过合情推理获得的；演绎推理能够考据合情推理的正确性，合情推理能够为演绎推理供应方向和思路.要点讲解：注意：在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，合情推理不能够用作证明．【典型例题】种类一、概括推理例1．用推理的形式表示等差数列1，3，5，，（2n－1），的前n项和Sn的概括过程.【思路点拨】依题意，Sn表示数列2n1的前n项和，即S1+3+5++2n－1.n=（）为此，我们先依照该公式，算出数列的前几项，经过观察进一步概括得出Sn与n的对应关系式.【解析】同等差数列1，3，5，，（2n－1），的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算：S1112；S213422；S3135932；S413571642；S5135792552；S613579113662；观察可得，前n项和等于序号的平方，由此可猜想Snn2.【总结升华】①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，尔后搜寻规律，概括出整体的情况，是典型的概括推理.②概括常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作概括整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一.③概括猜想是一种重要的思想方法，但结果的正确性还需进一步证明.在概括猜想数列的前n项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，解析每一项与对应的项数之间的关系.④诚然由概括推理所获得的结论未必是正确的，但它所拥有的由特别到一般，由详尽到抽象的认知功能，关于数学的发现倒是十分适用的.贯穿交融：【变式1】在数列{an}中，a1=1，且an12an(nN*)，计算a2，a3，a4，并猜想an的表达式.2an【答案】a22，a32，a42，猜想：an2.345n1【变式2】已知正项数列{an}满足S1a1．求出a1，a2，a3，a4，并推测an．n2nan【答案】令n=1，则S11a11，即a11a11，∴a121。又a1＞0，2a122a1∴a1=1。令n=2，则S1a1，即aa21a1，∴111，222a122a22a2222∴2222a22a2=210，即(a+1)。∵a＞0，∴a221。令n=3，则S31a31，∴a1a2a31a31，即21a31。2a322a322a3∴22a322a31，即(a32)3＞0，3，∵a∴a332。当n=4，则S1a1，∴a1a2a3a411，即311，424a442a442a422∴a4223a41，即(a43)24。∵a4＞0，∴a423。∴a1110，a22121，a332，a42343。概括可得annn1（n∈N*）。例2．观察以下由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：想第

经过观察能够发现：第4【解析】第一个图形有n个图形有3n＋1根．

个图形中，火柴杆有4根，第2个图形有

根；第n个图形中，火柴杆有7根，第3个图形有10根，第4个图形有

根．13根猜【总结升华】几何问题应先抽取出其中的数据，再观察这组数据的外在或内在规律。本题中的前四个数的规律是成等差数列，故可概括。贯穿交融：【高清课堂：401470例题1】【变式1】依照给出的数塔猜想123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111【答案】1111111。依照数塔中的位数规律可得。【变式2】平面内的１条直线把平面分成2部分，2条订交直线把平面分成4部分，3条订交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条互相订交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？【答案】一条直线能够把平面分成两部分，两条直线最多能够把平面分成4部分，三条直线最多能够把平面分成7部分，四条直线最多能够把平面分成11部分，能够发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，，n条时比原来多了n部分．由于n=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a=a+3，32n=4，a4=a3+4，n=n，an=an-1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3++n=1+n(n1)=n2n222【高清课堂：401470例题1】【变式3】依照图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜想第n个图中有个点.()A.n21B.n2nC.n+1D.n2n1【答案】D第(2)个图形,中间有1个点,其他的点指向两个方向,每个方向一个点,共有2(21)1个点;第(3)个图形,中间有1个点,其他的点指向三个方向,每个方向两个点,共有3(31)1个点;第(4)个图形,中间有1个点,其他的点指向四个方向,每个方向三个点,共有4(41)1个点;第(5)个图形,中间有1个点,其他的点指向五个方向,每个方向四个点,共有5(51)1个点;由上面的变化规律

,可猜想,第

n个图形中心有

1个点,其他的点指向

n个方向

,每个方向

n-1

个点,共有

n(n-1)

1n2

n1个点.种类二：类比推理例3.已知正三角形内切圆的半径是高的1，把这个结论实行到空间正周围体，近似的结论是______.3【思路点拨】从方法的类比下手。【解析】原问题的解法为等面积法，即S1ah31arr1h，类比问题的解法应为等体积法，223V1Sh41Srr1h即正周围体的内切球的半径是高的14334【总结升华】类比推理不但要注意形式的类比，还要注意方法的类比，本题的类比推理为：平面向空间类比，低维向高维类比。贯穿交融：【变式】在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，请在立体几何中，给出近似的周围体性质.【答案】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间采用有3个面两两垂直的周围体PA'B'C'，且三个面与面A'B'C'所成的二面角分别是，，，类比直角三角形的性质猜想周围体的性质.以下列图，在RtABC中，cos2Acos2B(b)2(a)2a2b21.于是把结论类比到周围体ccc2PA'B'C'中，若三个侧面PA'B'、PB'C'、PC'A'两两互相垂直且分别与底面所成的角为，，，则cos2cos2cos21.例4．设f(x)12x，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得2f(5)f(4)Lf(0)Lf(5)f(6)的值为。【思路点拨】）本题明确要求应按课文推导等差数列前n项和的方法——倒序相加法来解题，所以可依此类比实验。【解析】设S12f(5)f(4)Lf(0)Lf(5)f(6)，①则S12f(6)f(5)Lf(1)Lf(4)f(5)，②易证明f(t)f(t1)f(0)f(1)。①+②得2S1212[f(0)f(1)]12(21)1262，2得S1232，即f(5)f(4)Lf(0)Lf(5)f(6)32。【总结升华】本种类题解题的要点在于，在解题方法（或公式）中，获得使用方法（或公式）的启示，或推导方法（或公式）的手段，从而指导解决新问题。贯穿交融：【变式】经过计算可得以低等式：22－12=2×1+1，32－22=2×2+142－32=2×3+1，(n+1)

2－n2=2×n+1。将以上各等式两边分别相加得：

(n+1)

2－12=2(1+2+

+n)+n，即123Ln(n1)n。21+2+3++n的值。（1）类比上述求法，请你求出2222（2）依照上述结论试求12+32+52++992的值。【答案】（1）∵23－13=3×1+3×1+1，233－23=3×2+3×2+1，43－33=32×3+3×3+1，(n+1)3－n3=3×n2+3×n+1。将以上各式两边分别相加得(n+1)33=3(12+222+n)+n，－1++n)+3(1+2+∴1222Ln21(n1)31n3(1n)n1n(n1)(2n1)。3262）12+32+52++992=12+22+32++1002―(22+42+62++1002)=12+22+32++1002―4(12+22+32++502)=1×100×101×－2014×1×50×51×101=166650。66种类三：演绎推理例5.用三段论的形式写出以下演绎推理．1）菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线互相垂直．（2）若两个角是对顶角，则此两角相等，所以若∠1和∠2不相等，则∠1和∠2不是对顶角．g（3）0.332是有理数．【解析】（1）菱形的对角线互相垂直（大前提）正方形是菱形（小前提）正方形的对角线互相垂直（结论）（2）两个角是对顶角则两角相等（大前提）∠1和∠2不相等（小前提）∠1和∠2不是对顶角（结论）（3）全部的循环小数都是有理数（大前提）g0.332是循环小数（小前提）g0.332是有理数（结论）【总结升华】在三段论中，“大前提”供应了一般的原理，“小前提”指出了一个特其他情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原理和特别情况间的联系．我们早已能自觉地使用三段论来进行推理，学习了三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法．贯穿交融：【变式】把以下演绎推理写成三段论的形式．在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．【答案】大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃；小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃；结论：水会沸腾．例6.已知：在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，用三