材材料力学Ⅱ电子教案3

第三章能量方法§3－1概述§3－2应变能·余能§3－3卡氏定理§3－4用能量法解超静定系统§3－5虚位移原理及单位力法1第三章能量方法§3－1概述图中AB和AC杆的直径分别是d1=12mm,d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)(a)

若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。2若利用外力功在数值上等于应变能，即利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。第三章能量方法就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。3(a)轴向拉（压）杆Ⅰ应变能第三章能量方法（1）线弹性体1.基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】利用应变能在数值上等于外力功W，可得§3－2应变能·余能4

(b)扭转第三章能量方法5(c)弯曲第三章能量方法纯弯曲

横力弯曲6可以把应变能统一写成式中，F为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。第三章能量方法72.构件上有一组广义力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,则（）（）第三章能量方法

例CwCFEIABMel/2l/2qA,8

Fi

为广义力，Di

为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。

3.组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)

—只产生弯曲转角第三章能量方法小变形时不计FS产生的应变能，FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角有n个广义力同时作用时9对于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为第三章能量方法10(a)由于应变能能是外力（（内力）或或位移的二二次齐次式式，所以产产生同一种基基本变形形形式的一组组外力在杆杆内产生的的应变能，，不等于各各力单独作作用时产生生的应变能能之和。小小变形时，，产生不同同变形形式式的一组外外力在杆内内产生的应应变能等于于各力单独独作用时产产生的应变变能之和。。第三章能能量方法法4.应变能的特特点:EAF2F1ab例F1F2Me11(b)应变能的大大小与加载载顺序无关关（能量守守恒）F和Me同时作用在在梁上，并并按同一比比例由零逐逐渐增加到到最终值——简单加载。在线性弹性性范围时，，力和位移移成正比，，位移将按按和力相同同的比例，，由零逐渐渐增加到最最终值。第三章能能量方法法上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)12第三章能能量方法法先加F,再加Me(图b，c)式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),13还可以先加Me，再加F，得到的应变能和以上的值相同。第三章能能量方法法14因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意以及的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。1.轴向拉伸与与压缩第三章能能量方法法(2)非线性弹性性体应变能为（3－1）（F－D曲线和D轴之间的面积）应变能密度度为（s－e曲线和e轴之间的面积）（3－2）15（1）（3-1）和（3-2）式中，分别是以D和e为自变量，，。所以为位移状态的函数。（2）因为，为非线性关系，（3-1）和（3-2）式积分后得不到1/2的系数，只能根据或的函数关系进行积分。应变能密度度式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为

切应变。第三章能能量方法法注意：2.扭转应变能16式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应变能密度度应变能和应应变能密度度之间的关关系为式中，V为体积。第三章能能量方法法3.梁应变能17例3－3原为水平位位置的杆系系如图a所示，试计计算在荷载载作用下的应应变能。两两杆的弹性性模量均为为,横截面面积积均为。。解：首先分析力力F和位移D之间的关系系，求出F=f(D)的表达式。设设两杆的轴轴力均为FN，两杆的伸长长量和A点的位移分分别为（1）第三章能能量方法法(a)18将（1）式代入上式得由结点A的平衡方程程，得(2)为小角度，(4)第三章能能量方法法(3)由于所以19将（5）式代入（（2）式，得或写成（7）F和D的关系如图图b所示。（5）第三章能能量方法法（6）将（4）式代入（（3）式，得20

（1）由于力F引起的变形，对产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。（2）几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。第三章能能量方法法杆的应变能能为注意21Ⅱ.余能第三章能能量方法法图a为非线性体体弹性体的的受拉杆，，其F－D和s－e关系如图b,c所示。（1）余功的定义义为（3－6）

22第三章能能量方法法其大小为曲曲面OF1a的面积如图图d所示。Wc和外力功W具有相同的的量纲，且且Wc为矩形OF1aD1的面积与曲曲面OaD1的面积（W）之差（图d）,故称Wc为余功。Wc只有几何图图形上的意意义，无物物理概念，，即没有什什么力作的的功为Wc。FF1WcaWD1Do(d)23余能密度为（3－8）(3－7)和（3－8）式，分别别以F和s为自变量，，D=f(F),e=f(s)。所以Vc=f(F)为受力状态态的函数。。第三章能能量方法法VcVeF1FD

D1

a(e)o（3）线弹性体体（图e）Ve和Vc数值相等，，但概念和和计算方法法不同，即即Ve=f(D),Vc=f(F)。仿照,余能为（3－7）（2）余能（3－9）余能为24例3－5图a中两杆的长长度均为l,横截面面积积均为A。材料在单轴轴拉伸时的的s－e关系如图b所示。求结结构的余能能。解：该题为物理理非线性问问题，需用用求求Vc。第三章能能量方法法由结点C的平衡方程程，得二杆杆的轴力为为应力为25余能密度为为结构的余能能为得第三章能能量方法法（n>1）由26图示梁的材材料为非线线性弹性体体，Fi为广义力，，Di为广义位移移。各力同同时作用在在梁上，并并按同一比比例由零逐逐渐增加到到最终值（（简单加载载）。Ⅰ.卡氏第一定定理（3－10）第三章能能量方法法设各力和相相应位移的的瞬时值分分别为fi,di，各力在其相相应的位移上做功功,并注意到材材料为非线线性弹性体体，梁的应应变能为§3－3卡氏定理为位移状态态函数。27假设与第i个荷载Fi相应的位移移Di有一微小位位移增量dDi，而与其余荷荷载相应的的位移,以及各荷载载均保持不不变。外力力功和应应变能的增增量分别为为（dDi不是由Fi产生的，FidDi为常力做的的功）（a）第三章能能量方法法(b)式中，为应变能对位移的变化率。28（3－11）式为卡氏第一定定理。它说明，，弹性结构的的应变能，，对于结构上与与某一荷载载相应的位位移之变化化率，等于于该荷载的的值。以上推导导中并没有有涉及到梁梁的具体性性质，故（（3－11）适用于一一切受力状态态的弹性体体。对于线线弹性体也也必须把Ve写成给定位位移的函数数形式。第三章能能量方法法（3－11）得令29第三章能能量方法法例3－8图a所示结构中中，AB,BC杆中的横截截面面积均均为A，弹性模量均均为E。两杆处于线线弹性范围围内。试用用卡氏第一定定理，求B点的水平位位移D1和铅垂位移移D2。30解：卡氏第一定定理要求把把应变能写写成位移D1和D2的函数，D1和D2是由AB,BC杆的变形量量dAB,dBC所引起的。。首先分析析dAB,dBC和D1和D2的几何关系系。dAB=D1，dBC=A1cos45˚=设B点只发生铅铅垂位移D2（图c），由图可见第三章能能量方法法设B点只发生水水平位移D1（图b），由图可见31D1和D2同时发生时时，则有,（1）,由于是线弹弹性问题，，结构的应应变能为（2）第三章能能量方法法32（3）（4）联立求解（（3）,（4），得可以验证（3）,（4）式相当于平平衡方程。。（→）,（↓）第三章能能量方法法由卡氏第一一定理，得得33Ⅱ.卡氏第二定定理图示为非线线性弹性杆杆，Fi为广义力，，Di为广义位移移。各力按按简单加载载方式作用用在梁上。。设加载过过程中各位位移和相应应力的瞬时时值分别为为di，fi。梁的余能为（3－12）第三章能能量方法法表明(1)余能定理34令上式称为余能定理。可用于求求解非线性性弹性结构构与Fi相应的位移移。(3－13)得第三章能能量方法法设第i个力Fi有一个增量量dFi，其余各力均均保持不变变，各位移移均不变。余功和和余能的改改变量分别别是35例3－9图a中两杆的长长度均为l，横截面面积积均为A，材料在单轴轴拉伸时的的s－e的关系如图图b所示。试用用余能定理求结点C的铅垂位移移D1。第三章能能量方法法36解：在例3－5中，已求出出结构的余余能为由余能定理理得第三章能能量方法法设BC,CD杆的伸长量量为d，容易验上式式的，，即为为变形的几何何关系。37由平衡方程程得第三章能能量方法法两杆的伸长长量为则BC,CD杆横截面上上的的应力力为故38(2)卡氏第一定定理和余能能定理的比比较

卡氏第一定理

余能定理第三章能能量方法法Di→Di+dDi，其它位移均均不变，所所有的力均均不变。Fi→Fi+dFi，其它力均不不变，所有有的位移均均不变。39

卡氏第一定理

余能定理

续表(平衡方程)第三章能能量方法法（变形的几几何关系））适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体40(3)卡氏第二定定理当结构为线线弹性体时时，由于力力F和位移D成正比，Vc在数值上等等于应变能能Ve（如图）。若若把用用力力表示，即即（3－13）式可改写成成（3－14）上式称为卡氏第二定定理，它是余能定定理在线弹弹性情况下下的特殊情情况。仅适适用于线弹弹性体，它它将是研究究的重点。。第三章能能量方法法VcF1FD

D1

a(e)O41它表明，线弹性结构构的应变能能，对于作作用其上的的某一荷载载的变化率率，等于与与该荷载相应应的位移。。注意:组合变形（（不计剪力力的影响））时也可以写成成用该式计算算时，可减减少计算工工作量。第三章能能量方法法42例3－10图示梁的材材料为线弹弹性体，弯弯曲刚度为为EI，不计剪力对位位移的影响。试用用卡氏第二定定理求梁A端的挠度wA。解：因为A截面处无与与wA相应的集中中力，不能能直接利用用卡氏第二二定理，可可在A截面上虚加加一个与wA相应的集中中力F，利用卡氏第第二定理后后，令F=0,即第三章能能量方法法43梁的弯矩方方程以及对对F的偏导数分分别为利用卡氏第第二定理，，得（和假设的的F的指向一致致）这种虚加F力的方法，，也称为附附加力法。。(↓)第三章能能量方法法这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中也可以作为一个广义力。44例3－11图a所示梁的材料为为线弹性体体，弯曲刚刚度为EI。用卡氏第二定定理求中间铰B两侧截面的的相对转角角。。不计计剪力对位位移的影响响。第三章能能量方法法45在中间铰B两侧截面处处各加一个个外力偶矩矩MB，并求出在在一对外力力偶MB及q共同作用下下梁的支反反力（图b）。第三章能能量方法法解：B截面两侧的的相对转角角，就是与与一对外力力偶MB相应的相对对角位位移，即46（0<x≤l）梁的弯矩方方程及其对对MB的偏导数分分别为第三章能能量方法法AB段47中间铰B两侧截面的相对转角为结果为正，，表示广义义位移的转转向和MB的转向一致致。()第三章能能量方法法（0≤x≤

l），BC段48第三章能能量方法法例3－12图a所示为一等等截面开口口圆环，弯弯曲刚度为为EI，材料为线弹弹性。用卡氏第二定定理求圆环开口口处的张开开量D。不计剪力力和轴力的的影响。49圆环开口处处的张量就就是和两个个F力相对应的的相对线位位移，即（←→）用

角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为第三章能能量方法法解：，50结果为正，，表示广义义位移方向向和广义力力的指向一一致。第三章能能量方法法（）←→利用对称性性，由卡氏氏第二定理理，得51例3－13图a所示Z字型平面刚刚架中，各各杆的弯曲曲刚度均为为EI，材料为线弹弹性，不计计剪力和轴轴力对位移移的影响。。用卡氏第二定理求A截面的水平平位移DAx及铅垂位移移DAy和A截面的转角qA。第三章能能量方法法52解：在A截面处虚加加Fx，MA（图b），则第三章能能量方法法各段的弯矩矩方程及其其对各力的的偏导数分分别为M(x)=-Fx-MA(0≤x≤3a)，，AB段53第三章能能量方法法B

(c)M(x)F3FaxqABC段将力F向B截面简化，，得到作用用于B的竖直力F和力偶矩3Fa，Fx和F在垂直于BC杆方向上的的力分别为为Fxsinq，Fcosq，指向如图c中虚线所示示。54第三章能能量方法法B

(c)M(x)F3FaxqABC段（0

≤

x≤5a），，55M(x)=Fx4a－Fx－MA(0≤x≤3a)第三章能能量方法法CD段，，由卡氏第二二定理可得得（←）56（↓）第三章能能量方法法（）57

例

悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1

和w2。试证明：第三章能能量方法法w11FF2w2证明：设作用在1,2两截面的外外力分别为为F1和F2，且F1=F,F2＝F，则梁的应变变能为Ve=Ve(F1,F2)。根据复合函函数求导法法则，有58第三章能能量方法法因此，若结结构上有几几个外力的的字符相同同时，在利利用卡氏第第二定理求求其中某一一力的作用用点沿该力力方向的位位移时，应应将该力与与其它力区区分开。w11FF2w259例图示刚架各各杆的弯曲曲刚度均为为EI，不计剪力和和轴力对位位移的影响响。试用卡氏第二定定理求A截面的铅垂垂位移DAy。解：由于刚架上上A,C截面的外力力均为F，求A截面的铅垂垂位移时，，应将A处的力F和C处的力F区别开（图图b），在应用用卡氏第二定理理后，令FA=F。第三章能能量方法法

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y260即AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx,各段的弯矩矩方程及其其对FA的偏导数分分别为第三章能能量方法法BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y261CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2,令以上各弯弯矩方程中中的FA=F，由卡氏第二二定理得（↓）第三章能能量方法法62例图示各杆的的直径均为为d，材料的弹性性常数G=0.4E。试用卡氏第二定定理求A端的铅垂位位移（不计计剪力对位位移的影响响）。解：AB段的弯矩方方程及其对对F的偏导数分分别为lCBAFlxxzyO第三章能能量方法法（0≤x≤l），63（0≤y≤l）A端的铅垂位移移为第三章能能量方法，，（↓）BC段的弯矩和扭扭矩方程及其其对F的偏导数分别别为64Ⅰ.卡氏第一定理理（））例各杆的弹性模模量均为E，横截面面积均均为A。试用卡氏第一定理理求各杆的轴力力。第三章能能量方法§3－4用能量法解超超静定系统65(2)解：设1,2,3杆的轴力分别别为,和（图b），相应的位移为为D1,D2和D3（图c）。由对称性可知知，，，D1＝D2。由图c可知：第三章能能量方法结构的应变能能为(1)若求出D3，可由（1）求出D1（D2）。再由胡克定律律求出轴力。。以D3为基本未知量量，该题为一一次超静定。。66解得由胡克定律得得将（4）式代入（1）得(4)第三章能能量方法(3)得由，67以位移作为基基本未知量求求解超静定问问题的方法，，称为位移法法。（1）式为变形的几几何方程，（3）式为平衡方程程。求轴力时时又应用了物物理方程。故位移法仍然然是综合考虑虑了平衡方程程,几何关系和物物理方程来求求解超静定问问题的。第三章能能量方法68解：若以各杆的轴轴力为未知量量，该题为（（k-2）次超超静静定定问问题题。。若若以以A点的的水水平平位位移移Dx和铅铅垂垂位位移移Dy为未未知知量量，，各各杆杆的的位位移移均均可可用用Dx,Dy表示示，，再再由由胡胡克克定定律律求求出出轴轴力力，，该该题题为为二二次次超超静静定定问问题题。。第三三章章能能量量方方法法例3－18图a中k≥3。各杆的弹弹性模量量均为E，横截面面面积分别别为A1,A2…，Ak。试用卡氏第一一定理求各杆的的轴力。。69第i根杆的长长度为（1）由图b可知，第第i根杆的伸伸长量为为（2）结构的应应变能为为（3）第三章能能量量方法70由，得（5）联解（4）,（5）可得Dx

和Dy

。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到第i根杆得轴力第三章能能量量方法（4）71Ⅱ.余能定理（）例3－15三杆的材材料相同同，s=Ke1/n(n>1)，横截面面面积均为为A，1,2两杆长度为为l。用余能定理理求各杆的的轴力。。第三章能能量量方法72第三章能能量量方法解：以铰链D的支反力力X为多余未未知力，，基本静静定系如如图b所示，F,X看作基本本静定系系上独立立的外力力，所以Vc=Vc(F,X)（不能含有有其它未未知力））因为铰链链D处沿铅垂垂方向的的位移为为零，应应有由该式求求出X后，再利利用平衡衡方程求求各杆的的轴力。。73(1)（轴力均均用F和X表示）第三章能能量量方法由平衡方方程得各各杆的轴轴力分别别为各杆的应应力分别别为(2)(3)由得74第三章能能量量方法结构的余余能为(4)三杆的余余能密度度分别为为75（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系。由，得将X值代入（（1），得第三章能能量量方法以力为基基本未知知量解超超静定问问题的方方法，称称为力法法。76Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，Di为和

的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。第三章能能量量方法77例刚架各杆杆的弯曲曲刚度均均为EI，不计剪力力和轴力力对位移移的影响响，用卡氏第二二定理求支反力力。第三章能能量量方法CABqll(a)78解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力，基本静定系如图b所示。由于,但是在中，出现(Ve

也将出现)，必须把第三章能能量量方法CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X

表示。由，得79CB,AB段的弯矩矩方程及及其对X的偏导数数分别为为，第三章能能量量方法由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql80解得（↓）和图示方向相反。（↑）（←）（←）第三章能能量量方法由平衡条条件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql81例3－17半圆环的的弯曲刚刚度为EI，不计剪力力和轴力力对位移移的影响响，用卡氏第二二定理求对称截截面上的的内力。。第三章能能量量方法82解：沿半圆环环的对称称截面处处截开，，取两个个1/4圆环为基基本静定定系（图图b)，多余未知知力为轴轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题为三三次超静静定。第三章能能量量方法(a)但由于结结构与荷荷载均是是对称的的，内力力也应该该是对称称的，但但X3是反对称称的，故故X3＝0，问题简化化为二次次超静定定。半圆圆环的应变能能只能为为F，X1，X2的函数，，即83与X1，X2相应的位位移条件件分别为为两截面面的相对对线位移移和相对对角位移移为零，，即(b)弯矩方程程及其对对X1，X2的偏导数数分别为为第三章能能量量方法(c)84注意到基基本静定定系为两两个1/4圆环，(b)式成为(d)第三章能能量量方法(e)将(c)式代入(d)和(e)式，可解解得85Ⅰ.虚位移原原理第三章能能量量方法（1）刚体虚位移——满足约束束条件的的假想的的任意微微小位移移。虚位移原原理——作用于刚刚体上的的力对于于任何虚虚位移所所作的总功等于于零（平平衡的必必要和充充分条件件）。§3－5虚位移原原理及单单位力法法86第三章能能量量方法（2）可变形形固体满足约束束条件和和变形连连续条件件的假想想的任意意微小位移移。——外力作用用下，物物体产生生变形的的同时产产生内力力虚位移——虚位移原原理——外力和内内力对于于虚位移移所作的的总虚功功等于零零（平衡衡的充要要条件）），即We（外力虚功）＋Wi（内力虚功）＝0

（3－15）871.梁的虚位位移原理理第三章能能量量方法图a所示的位位移为由由荷载产产生的实实际位移移，简称称实位移移。荷载载对于其其相应位位移上所所作的功功为实功功。图b所示的位位移为梁梁的虚位移，，它是满满足约束束条件和和变形连连续条件件的假想想的任意意微小位位移，与梁上的的荷载及及其内力力完全无无关。(a)x实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy88第三章能能量量方法梁上广义力的作用点沿其作用方向的虚位移分别为外力对于于虚位移移所作的的总虚功功为(a)(a)外力虚功功(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功功取梁的dx微段进行行分析。。图c为微段的的原始位位置，其其上面各各力均由由荷载产产生，它它们为梁梁的内力力，也是是微段的的外力。。89由于梁的的虚位移移，使微微段位移移至图d所示位置。。微段的的虚位移移可分为为两部分分：第三章能能量量方法一为刚性性体位移移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd位置移至。（图d的实线）(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy90第三章能能量量方法二为变形形虚位移移。由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由移到（图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy91(b)第三章能能量量方法

M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对于变形形虚位移移（图e,f），所做的虚虚功为92(b)式为微段段的外力力虚功dWe，设微段的的内力虚虚功为dWi。由变形固固体的虚虚位移原原理(3-15)，即

(c)梁的内力力虚功为为

(d)将(a),(d)式代入（3－15）式，得梁梁的虚位移原原理表达达式为第三章能能量量方法得即(3-16)93组合变形形时，杆杆横截面面上的内内力一般般有弯矩矩M，剪力FS，轴力FN及扭矩T。与轴力相相应的虚虚变形位位移为沿沿轴力方方向的线线位移dd，与扭矩相相应的虚虚变形位位移为扭扭转角dj。仿照梁梁的虚位位移原理理，可得得组合变变形时的的虚位移移原理表表达式为为(3-17)第三章能能量量方法2.组合变形形的虚位位移原理理由于以上上分析中中没有涉涉及材料料的物理理性质，，所以(3-17)式适用于于弹性体体和非弹弹性体问问题。式式中Fi为广义力，M,FS,FN,T是由荷载产生生的内力，为为广广义虚位移，，dq,dl,dd,为微段的变形形虚位移。94Ⅱ.单位力法(1)因为由荷载引引起的位移，，满足约束条条件和变形连连续条件，且且为微小位移移，满足可变变形固体的虚虚位移条件。。因此，可以以把由荷载引引起的实际位位移D，作为虚位移移。由荷载引引起的微段的的变形位移dq,dl,dd,dj作为变形虚位位移。即以实际位移作作为虚位移。。(2)

若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为