线性代数-第三章习题课

换法变对调矩阵的两行列),记作rirj(cic 倍法变以数k0乘某一行(列记rik(cik消法变把某一行(列)k(列对应的元素上去,记作r krj(cikcj rirj(ci cjrirj(ci cjrik(cik rik(cikrikrj(cikcjri(k)rj(ci(k)cjA经有限次初等变B就A与B等价记作A~B反身性A~传递

若A~B,则B~若 B,B~C,则A~C由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称三种初等变换对应着三种E(i,j．用mEm(i,j)左乘A(aij)mn相A施行第一种初等行变换:把A的第ij行对调(rirj).类似地用nEn(i,j)A,相当于对矩A施行第一种初等列变:把A的第i列与j列对调(cicj).（２）倍法变换：以k（非零）乘某行（列），得初等矩阵E(i(k))．Em(i(k))左乘矩A相当于以k乘A的第i行(rik);En(i(k))右乘A相当于以k乘A的第i列(cik).（３）消法变换：以k乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵E(ij(k))．Em(ij(k))AA的第j行乘以k加到第i行上(rikrj);En(ij(k))AA的第i列乘以k加到第j列上(cjkci).阵，其特点是可画出一条阶梯线，线的下方全行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为行后面的第个元素为非零元，也就是非零行的第例 1 3 3 0步化为行最简形矩阵，其特点是非零行的第例 1 0对行阶梯形矩阵再进行初等列矩阵的标准形，其特点是：左阵，其余元素都为例

个单位

4 c

4 00100100 0010010000 3c

3c0 0

任何一个mn矩阵总可以经过初等变换(换和列变换),F

O Om此标准形由mnr三个数完全确定其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.个等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单定义在mnA中kk列位于这行列交叉处的k2不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式定义设在矩A中有一个不等于r1(如果存在的话

0的r阶子式DD称为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵的秩,记作R(A).并规定零矩阵的秩等 0.如果A中有一个非零的r阶子式,则R(A)r;如果A中所有r1阶子式都为零,则RA)rRAT)RA;若A~B,则RAR(B);行阶梯形矩阵的秩等非零行的行若A为n阶可逆矩阵,A的最高阶非零子式A(2)R(A)(3)AE;(4)A~E定理n元齐次线性方程组Amnx 有非零解充分必要条件是系数矩阵的秩RA)定理 齐次线性方程组Amnxb有解的ABAb的非齐次线性方程组把增广矩阵化成行阶梯定理A是一个mn矩阵对A施行一次初等行变换Am阶初等矩阵;对AA的右边乘以相应的n阶初等矩阵设A为可逆矩阵则存在有限个初等P1P2,Pl使AP1P2Pl推论mn矩阵A~B存在P及nQ使得PAQ、求矩阵二、求解求矩阵的秩有下列基本第法当矩阵的行数与列数较高时，计例１求下列矩阵200162436A 解A施行初等行变换化为阶梯形 1A1

10 16 ~

3435 ~ 010020150 000因此RA)R(B)注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可法和法则．例２求非齐次线性方程组的x12x23x3x43x12x2x3x42x13x2x3x4

2x12x22x3x4x15x22 解对方程组的增B进行初等行变换，使 1 1

r1

r3

2B 1r2r3 1 ~ 1 1

r00r5r200

2 2 0

2

r12

0 0r1r2

r22r3 ~

1

1r4r200

0r4r100

0 r

01 1r32r13r2

1 000 00r(1)r3

5 r(1)r 22~r3

600

5 16000000000000由此可知RAR(B)3，而方程组(1)中未知量的个数是n4，故有一个自由未知量.令自由未知x4k可得方程组(1)x1

16 56 xx216k76,x3 16 56 x4 0 k取任意常数例３a取何值时，下述齐次线性方程组有非 x1x2x3x4 x12x2x32x4

a

3x12x23x3ax4解法一系数矩阵A的行1a01a0a23a050a1111111220101111010100a111010100a0000a当a1或者a2时,A0,方程组有非零解当a1时,把系数矩阵A 1

2~ 0

0

1 x1 1 程组

xx2k0, 1 x4 0

k为任意常数当a2时,

A之变换可把A 1 1

~ 1

0

2 0~

0 0 10 0 0从而得到方程组的通解x1 0x

x2k

1,x 0x x4 1k为任意常数解法二用初等行变换把系数矩阵A化为 1A

2 a ~ a 2 a3 ~ 0 a 0 a2当a1或者a2时RA4此时方程组有非零解可仿照解法一求出它的解.要求可逆矩阵A的逆矩阵AE)施行初等行变换,当把A变成E时,原来的E就变成A1.或者对分块矩阵A施行初等列变换,当把E变成E时,原来的E就变成了A1例４求下述矩阵的逆矩阵 A 2 解作分块矩阵AE),施行初等行变换22100r 011201 100000

11r

1

r

1

1 3~ ~

r

1 3

11 1r11 22~

1 1

101 01rr1~

r2r

1 3 51 1 12

1 3

5A11 1 12. 注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终AX(AB

初等行~(EA1B)XA1~XAA

初等列变换

X

或B

1 (

初等行BT (

(AT

BT)

XT

(AT)1BTXBA例５A

0,且AXA2X,求矩阵X041 041 解AXA2X(A2E)X1 0 1又A2E 0021 021 由于A

A

0 001 01 2初等行变换

2

2,33X 2.3 3一、填空题(每小题4分，共24若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则 时，方程组有唯一解；当 时，程组有无穷多解x1kx2x3 2x kx23x3只有零解，则k应满足的条件 1设A

1,则AX0 线性方程x1x2xx

x3x4

x5x1有解的设A为4阶方阵,且秩RA3,则RA 12矩阵A2

1的秩 1 0(1816分；第小题分，共1分；第312．讨论值的范围,确定矩阵的秩 2 5

1求解下列线性方程

33x1x26x34x42x5112x2 3 5x3 1 x15x26x38x46x5x13x23x32x4x5 2x16x2x33x4x 22 3x2 x x 2 3x19x24x35x4x5ab取何值时x1ax2x3x 12ax2x3xx1x2bx3三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆(每小题7分，共14

1 0

10 10

1四、证明题(每小题8分，共16AB为两个n阶方阵,ABAB1证明:秩EAB秩EABn.设A为mn实矩阵,证明秩ATA秩1rnr

2.k3 3零解5 a3a4a5 5. 6 (2)当0时秩为4;当0时秩为9434

3 147 5 2.(1)Xk1 k20k3 1 001 001 35