2017年上海市高考数学试卷

2017上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）14分）已知集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，则A∩B=．24分）若排列数=6×5×4，则m=．634分）不等式＞1的解集为．44分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．354分）已知复数z满足z+=0，则|z=．2264﹣=1（b＞0FFP为该双曲线上的一点，9212若|PF|=5，则|PF|=．1275分）如图，以长方体ABCD﹣ABCD的顶点D为坐标原点，过D的三条1111→棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1432→1的坐标是．85分）定义在（0（）的反函数为y=f（（）1﹣3，≤0={为奇函数，则f（）=2的解为．1﹣，01195分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x，④y=x2，从中任选23个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．105a}和{b}，其中a=nn∈Nb}的项是互不相等的正2*nnnn整数，若对于任意n∈N，{b}的第a项等于{a}的第b项，则*nnnn14916)1234)=．第1页（共23页）11=，则|10π﹣a﹣|的115分）设a、a∈，且a122)121最小值等于．125分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P、PP、P以及四1234个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={PPPPP∈，过1234P作直线l，使得不在l上的“▲”的点分布在l的两侧．用D（l）和D（l）分PPP1P2P别表示l一侧和另一侧的“▲”的点到lP的直线l中有且只有PPP一条满足D（l）=DlΩ中所有这样的P为．1P2P二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）=0135y的二元一次方程组{=4的系数行列式D）05101560．|24|．|23|D．|54|A．|4|1145分）在数列{aa=（﹣），n∈N，则a（）n*nn2n1212A．等于−B．等于0．等于D．不存在155分）已知abcx}的通项x=an+bn+∈N，则“存2*nn在∈N，使得x、x、x成等差数列”的一个必要条件是（）*100k200k300k+++A．a≥0．b≤0．c=0D．a﹣2b+c=0222165xOyC：=1和Cx+=1P21429→→为C上的动点，Q为C上的动点，w是⋅的最大值．记Ω={（P，）|P12→→在C上，Q在C上，且⋅}，则Ω中元素个数为（）12A．2个．4个．8个．无穷个三、解答题（本大题共5题，共+++16+18=76分）第2页（共23页）1714分）如图，直三棱柱﹣ABC的底面为直角三角形，两直角边AB111和AC的长分别为4和2，侧棱AA的长为5．1（1）求三棱柱ABC﹣ABC的体积；111（2）设M是BC中点，求直线AM与平面ABC所成角的大小．111814分）已知函数f（）=cos﹣sin+，∈（0，222（1）求f（）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）√=0，求△ABC的面积．第3页（共23页）1914分）根据预测，某地第（n∈N）个月共享单车的投放量和损失量分别*+15，1≤≤3，b=n5，第n个月底4为a和ba={nnn+470，n≥4的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2n个月底的单车容纳量S=﹣（﹣46）+88002n此时停放点的单车容纳量？第4页（共23页）22016分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：+2，为的上顶=1AΓ4点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；√83（2）设P（、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横，55坐标；→→→→（3）若|MA|=MP|，直线AQ与Γ交于另一点，且=，=，求直线AQ的方程．第5页（共23页）2118分）设定义在R上的函数（）满足：对于任意的xx∈，当x＜x1212时，都有f（x）≤f（x12（1）若f（）=ax+，求a的取值范围；3（2）若f（）是周期函数，证明：f（）是常值函数；（3）设f（）恒大于零，g（）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（）的最大值．函数h（）=f（）g（“h（）是周期函数”的充要条件是“f（）是常值函数”．第6页（共23页）2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）14分）已知集合{1234{345}，则A∩B={34}．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．24分）若排列数=6×5×4，则m=3．6【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，6∴由排列数公式得3=6×5×，6∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．34分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：11⇒10⇒＜，1000第7页（共23页）【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．44分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，4设球的半径为，可得πR=36π，33可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR=9π．2故答案为：9π．【点评】属于基础题．354分）已知复数z满足z+=0，则|z=3．√【分析】设z=a+（，b∈z=，由复数相等的条件列式求得a，b2的值得答案．3【解答】解：由z+=0，得z=﹣3，2设z=a+bi（ab∈R由z=﹣3，得（abi）=a﹣b+2abi=3，2222=0=±3−2=−3=02即{，解得：{．√∴=±√．则|z|=．√故答案为：．√第8页（共23页）【点评】的求法，是基础题．2264﹣=1（b＞0FFP为该双曲线上的一点，9212若|PF|=5，则|PF|=11．12根据题意，由双曲线的方程可得aPF|1﹣|PF||=6，解可得|PF|的值，即可得答案．2222【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，92其中a=9=3，√则有||PF|﹣|PF||，12又由|PF|=5，1解可得|PF|=11（舍）2故|PF|=11，2故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．75分）如图，以长方体ABCD﹣ABCD的顶点D为坐标原点，过D的三条1111→棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1432→1的坐标是（﹣4，32）．→【分析】由果．的坐标为（4，3，2A和C的坐标，由此能求出结11【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣ABCD的顶点D为坐标原点，1111过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，第9页（共23页）→→∵∴的坐标为（4，3，2A（4，0，0C（0，3，211，，=(−432)．14，3，【点评】查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．85分）定义在（0（）的反函数为y=f（（）1﹣3−，={≤0为奇函数，则f（）=2的解为89．1﹣，0【分析】由奇函数的定义，当＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．3−，≤0为奇函数，【解答】解：若g（）={，0可得当＞0时，﹣＜0，即有g（﹣）=3﹣1，x﹣由g（）为奇函数，可得g（﹣）=﹣g（则g（）=f（）=1﹣3，＞0，x﹣由定义在（0，+∞）上的函数y=f（）的反函数为y=f（1﹣且f（）=2，1﹣8可由f（2）=13=，2﹣98可得f（）=2的解为x=．1﹣98故答案为：．9【点评】第10页（共23页）系，考查运算能力，属于基础题．1195分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x，④y=x2，从中任选231个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．3【分析】从四个函数中任选2n=2=4件A“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．11【解答】解：给出四个函数：①y=﹣，②y=﹣，③y=x，④y=x2，3从四个函数中任选2个，基本事件总数n=2=6，4③④有两个公共点（0，01，1事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，21∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．631故答案为：．3【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．105a}和{b}，其中a=nn∈Nb}的项是互不相等的正2*nnnn14916)1234)整数，若对于任意n∈Nb}的第aa}的第b项，则=*nnnn2．【分析】a=n，nN，若对于一切n∈Nb}中的第a项恒等于{a}中的第2**nnnnb项，可得==)．于是2b=a=1，)2=b4，)2=b9，)2=b．即可n11234得出．【解答】解：∵a=nn∈N，若对于一切∈N，{b}中的第aa}2**nnnn中的第b项，n∴==)2．第11页（共23页）∴b=a，)2=b，)2=b，2=b．112439416∴bbbb=1234)2．1491614916)1234)∴=2．故答案为：2．【点评】力，属于中档题．11=，则|10π﹣a﹣|的115分）设a、a∈，且a122)121最小值等于．411【分析】由题意，要使+=2，可得sinα=﹣1，sin2α=1．求1212出α和α，即可求出|10π﹣α﹣α|的最小值1212【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα，sin2α的范围在[﹣，1]，1211要使+=2，12∴sinα=﹣1，sin2α=1．12则：=−，1∈Z．121=−，即=−，k∈．Z2422222那么：α+α=（2k+k）−，k、k∈Z．4121212∴|10π﹣α﹣α|=10π﹣（2k+k）|的最小值为．412124故答案为：．4【点评】的考查．125分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P、PP、P以及四1234个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={PPPPP∈，过1234P作直线l，使得不在l上的“▲”的点分布在l的两侧．用D（l）和D（l）分PPP1P2P别表示l一侧和另一侧的“▲”的点到lP的直线l中有且只有PPP第12页（共23页）一条满足D（l）=DlΩ中所有这样的P为P、PP．1P2P134【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，，，D，线段AB，，CD，DA的中点分别为E，F，G，，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P，2则符合条件的直线l一定经过点P，P2且过点P的直线有无数条；2由过点P和P的直线有且仅有1条，12过点P和P的直线有且仅有1条，32过点P和P的直线有且仅有1条，42所以符合条件的点是P、P、P．134故答案为：P、P、P．134【点评】读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）第13页（共23页）+=0135y的二元一次方程组{+=4的系数行列式D）05101560．|24|．|23|D．|54|A．|4|【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．+=0【解答】解：关于、y的二元一次方程组{+=4的系数行列式：15．|23|故选：．【点评】题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．1145分）在数列{aa=（﹣），n∈N，则a（）n*nn2n1212A．等于−B．等于0．等于D．不存在12【分析】根据极限的定义，求出a=(−)的值．n1【解答】解：数列{a}中，a=（﹣），n∈N，n*nn212则a=(−)=0．n故选：．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．155分）已知abcx}的通项x=an+bn+∈N，则“存2*nn在∈N，使得x、x、x成等差数列”的一个必要条件是（）*100k200k300k+++A．a≥0．b≤0．c=0D．a﹣2b+c=0【分析】由x，x，x成等差数列，可得：2x=xx，代入化简100k200k300k200k100k300k++++++即可得出．【解答】∈Nxxx2[（200+）*100k200k300k++++（200+]=a（100+）+（100+c+（300+）+（300+，化为：222a=0．∴使得x，x，x成等差数列的必要条件是a≥0．100k200k300k+++第14页（共23页）故选：A．【点评】力与计算能力，属于基础题．222165xOyC：+=1和Cx+=1P21429→→为C上的动点，Q为C上的动点，w是⋅的最大值．记Ω={（P，）|P12→→在C上，Q在C上，且⋅}，则Ω中元素个数为（）12A．2个．4个．8个．无穷个【分析】设出P（6cosα，2sinαQ（，3sinβ0≤α\β＜2π，由向量数量即可判断所求元素的个数．222解：椭圆C：+=1和Cx+=1P为CQ为C上2142912的动点，可设P（6cosα，2sinα（，3sinβ0≤α\β＜2π，→→则⋅=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β当α﹣β=2kπ，∈Z时，w取得最大值6，→→则Ω={（P，）|P在C上，Q在C上，且⋅}中的元素有无穷多对．12另解：令P（m，n（u，m+9n=36，9u+v=9，2222由柯西不等式（m+9n9u+v）=324≥（3mu+），22222当且仅当，即、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共+++16+18=76分）1714分）如图，直三棱柱﹣ABC的底面为直角三角形，两直角边AB111第15页（共23页）和AC的长分别为4和2，侧棱AA的长为5．1（1）求三棱柱ABC﹣ABC的体积；111（2）设M是BC中点，求直线AM与平面ABC所成角的大小．11【分析】（1）三棱柱﹣ABC的体积V=S×AA=×××，由111△ABC121此能求出结果．（2）连结AM，∠AMA是直线AM与平面ABC所成角，由此能求出直线AM111与平面ABC所成角的大小．【解答】1）∵直三棱柱﹣ABC的底面为直角三角形，111两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA的长为5．1∴三棱柱﹣ABC的体积：111V=S△ABC×11×××==211×4×2×5=20．2（2）连结AM，∵直三棱柱﹣ABC的底面为直角三角形，111两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA的长为5，M是BC中点，11212∴AA⊥底面，AM==√16+=，√1∴∠AMA是直线AM与平面ABC所成角，1151tan∠AMA===，√1∴直线AM与平面ABC所成角的大小为arctan．√1第16页（共23页）【点评】空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．11814分）已知函数f（）=cos﹣sin+，∈（0，222（1）求f（）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）√=0，求△ABC的面积．【分析】（1区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．1【解答】1）函数f（）=cos﹣sin+2221+，∈（0，21由2kπ﹣≤2x≤2kπ，解得﹣≤≤，k∈Z，21k=1时，≤≤，2可得f（）的增区间为[，2（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，√1若f（A）=0，即有+=0，221解得2A=，即A=，33第17页（共23页）由余弦定理可得a=bc﹣2bccosA，222化为c﹣5c+6=0，2解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，11△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．2224【点评】理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．1914分）根据预测，某地第（n∈N）个月共享单车的投放量和损失量分别*，1≤≤3，b=n5，第n个月底4为a和ba={nnn，n≥4的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2n个月底的单车容纳量S=﹣（﹣46）+88002n此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a}和{b}的前4项和的差即可得出答案；nn（2a≥b得出n42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．nn4，151≤≤3，b=n5【解答】1）∵a={n，n≥4∴a=5×115=2041a=5×215=9542a=5×315=42043a=﹣10×4470=4304b=1+5=61b=2+5=72b=3+5=83第18页（共23页）b=4+5=94∴前4个月共投放单车为a+a+a+a=20+95+420+430=965，1234前4个月共损失单车为b+bb+b=6+78+9=30，1234∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a≥b，显然n≤3时恒成立，nn当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤∴第42个月底，保有量达到最大．，当n≥4，{a}为公差为﹣10等差数列，而{b1的等差数列，nn2442×39+535﹣142×42=∴到第42个月底，单车保有量为×2239+535﹣×42=8782．2S=﹣4×+8800=8736．42∵87828736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．22016分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：2=1A为Γ的上顶4点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；√83，55（2）设P（、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；→→→→（3）若|MA|=MP|，直线AQ与Γ交于另一点，且=，=，求直线AQ的方程．2【分析】（1）设P（，＞0，＞04=，能求出P点坐标．2{=22283，（2（x001（x=M=90°，05503求出x=1或x=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点005M的横坐标．第19页（共23页）（3）设（2cosα，sinα（4cosα，2sinα﹣1P（，sinβ3M（x，0）推导出x=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣，且2sinαsinβ﹣1=00441﹣4sinβ，﹣，且sinα=（1﹣2sinα．331）设（，＞0，＞02∵椭圆Γ：+2=1，A为Γ的上顶点，4P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，√2+=12∴联立4，+=2{22，解得P（33（2）设M（x，0（0，1083P（，55838255→→若∠P=90°，则•，即（x﹣，﹣）•（﹣，）=0，05586∴（﹣）x+﹣=0，解得x=．50083→→如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x，1）•（﹣x，）=0，050538535∴−+=0，解得x=1或x=，020005若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．3∴点M的横坐标为，或1，或．5（3）设（2cosα，sinα→→∵=，A（0，1∴（4cosα，2sinα﹣又设P（，sinβM（x，00∵|MA|=|MP|，∴x1=（﹣x）+（），222003整理得：x=，045→→→→∵（4cosα﹣2cosβ2sinα﹣sinβ﹣1（﹣sinβ=，4第20页（共23页）∴4cosα﹣2cosβ=﹣，且2sinα﹣sinβ1=﹣4sinβ，41∴﹣，且sinα=（1﹣2sinα332以上两式平方相加，整理得3（sinα）+sinα2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍23此时，直线AC的斜率k=﹣=AC∴直线AQ为y=x+1．函数与方思想，是中档题．2118分）设定义在R上的函数（）满足：对于任意的xx∈，当x＜x1212时，都有f（x）≤f（x12第21页（共23页）（1）若f（）=ax+，求a的取值范围；3（2）若f（）是周期函数，证明：f（）是常值函数；（3）设f（）恒大于零，g（）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（）的最大值．函数h（）=f（）g（“h（）是周期函数”的充要条件是“f（）是常值函数”．【分析】（1）直接由（x）﹣f（x）≤0求得a的取值范围；12（2（Tx∈（x=f（x+Tk000k证明对任意∈[xx+T]，（x（（x+T得（x=f（x+nT00k00k00kn∈Z…∪[x﹣3Tx﹣2T]∪[x﹣2Tx﹣T]∪[x﹣Tx]∪[xx+T]0k0k0k0k0k000k∪[x+T，x+2T]∪…=R，可得对任意∈，f（）=f（x）=C，为常数；0k0k0（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由（x）≤f（xfx）﹣f（x）=a（xx）≤0，33121212∵x＜x，∴x﹣x＜