第三节-极限运算高等数学三年专科最新版课件

第一章函数极限连续第三节极限运算一、无穷小量及其运算二、极限的运算法则三、两个重要极限第一章函数极限连续第三节极限运算一、无穷小量及其运算1一、无穷小量及其运算若函数

a

=a

(x)在

x的某种趋向下以零为极限，则称函数

a

=a

(x)为

x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小量.例如，函数a

(x)=x-x0，当x→x0时，a

(x)→0，所以a

(x)=x-x0是当x→x0时的无穷小量.它是当x→∞时的无穷小量.是当x→+

∞时的无穷小量.注意：0是无穷小量，但无穷小量不是0.一、无穷小量及其运算若函数a=a(x)在x的某2

定理1

若函数

y=f(

x

)在

x→x0

(或

x→∞)时的极限为

A，则

f(x)=A

a

(

x

)(简记

y=Aa)，

定理2

有限个无穷小(当

x→x0或

x→

∞时)的代数和仍然是无穷小量

.反之若则A为f(x)的极限，证明略

.定理1若函数y=f(x)在x→x03定理3

有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证设函数f(x)有界，|

f(x)|

≤

M

.又a

(x)是无穷小量，即|

a

(x)

|<e

(e为任意小的正数)，则|

a(x)f(x)|=|

a

(x)|

|

f(x)|

<eM

.由于e是任意的小正数，因而eM也是可以任意小的正数,故a(x)f(x)→0

.即存在一个正常数M,使定理3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证设函数f4

推论1

有限个无穷小量推论2

常数与无穷小量之积为无穷小量.定理4反之，若则设若则

(自变量同一趋向下)之积为无穷小量.证明略.推论1有限个无穷小量推论2常数与无穷小量之积为无5例1为有界函数，证例1为有界函数，证6二、极限的运算法则

定理5

若函数

y=f(x)

与

y

=g(

x

)

在

x→x0(或

x→

∞

)时都存在极限，

则它们的和、差、积、商(当分母的极限不为零时)在

x→x0

(或

x→∞)时也存在极限，且二、极限的运算法则定理5若函数y=f(x)7(1)由定理1有f(

x

)=Aa(

x

)和g

(

x

)=B+b(

x

)，

其中a

(

x

)和b

(

x

)均为无穷小量.于是f

(

x

)

g

(

x

)=(A

B)

[a

(

x

)

b

(

x

)]，

其中A

B为常数,a

(

x

)

b

(

x

)仍为无穷小量，故由无穷小量的定理(1)可推得

lim[f

(

x

)

g

(

x

)]=A

B=limf(

x

)limg

(

x

).证(1)由定理1有f(x)=Aa(x8(2)因为f(

x

)g

(

x

)=[A

a

(

x

)][B

b

(

x

)]

=AB[Ab

(x)

Ba

(x)

a

(x)b

(x)].而由定理3的推论1和推论2可知Ab(x),Ba(x)，a

(x)

b

(x)均为无穷小量，所以由定理1可知商的极限运算法则的证明从略.lim[f(

x

)

g(

x

)]=AB=limf

(

x

)

limg

(

x

).(2)因为f(x)g(x)=[A9推论1

常数可以提到极限号前，limcf

(

x

)=climf

(

x

).推论2

若limf

(

x

)=A，且m为正整数，lim[f

(

x

)]m=[limf

(

x

)]m=Am.特殊地，有则即推论1常数可以提到极限号前，limcf(x)10解运用定理5及其推论可得:例2解运用定理5及其推论可得:例211一般地，有因此即多项式函数在x0处的极限等于该函数在x0处的函数值.一般地，有因此即多项式函数在x0处的极限12

解由例1知道当x1时所给函数的分子和分母的极限都存在，且分母极限例3解由例1知道当x1时所给函数的分子和分13所以所以14解由于分母的极限考虑例4即因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知，当x

1时为无穷大量，解由于分母的极限15解例5有时，所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限都为零，这时不能直接应用商的极限运算法则.解例5有时，所给函数在自变量的某个趋向下分16例6若an0，bm0，m、n为正整数，试证有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大.这类极限称为型的极限，对于它们也不能直接应用商的运算法则.例6若an0，bm0，m、n为正整数，试17

证当x→时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大.若将原式变形为此例的结果可以作为公式使用，但要注意只适应于的情形.证当x→时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大18

解由于括号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为“-”型极限，不能直接应用定理5.一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.例7解由于括号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为“19

解

例8解

例9解例8解例920三、两个重要极限1.第一个重要极限

g(

x

)≤

f(

x

)≤

h(

x

)，且limg(

x

)=limh(

x

)=A，limf(

x

)=A.

定理6

若对于

xN(,)

或|x|>M(M>0)

时，有，则三、两个重要极限1.第一个重要极限g(x)≤f(21OxRABC证

AOB面积<扇形AOB面积<AOC面积,即OxRABC证AOB面积<扇形AOB面积<22因为所以再次运用定理6即可得≤≤常称之为重要极限.因为所以再次运用定理6即可得≤≤常称之为重要极限.23这个结果可以作为公式使用解例10计算这个结果可以作为公式使用解例10计算24解例11这个结果可以作为公式使用解例11这个结果可以作为公式使用25解令5x=u，当x→0时u→0，因此有例12也可以按如下格式进行：解令5x=u，当x→0时u→0，因此有例26例13解利用三角函数的和差化积公式例13解利用三角函数的和差化积公式27若在x0的某个领域内(或|

x

|>M,M>0时)，f(

x

)≤0(或≥0)，

定理7

设函数

u

(

x

)，v

(

x

)在

x0的某个邻域内(

或|x|>M，M>0时

)，

满足

u

(

x

)≤

v

(

x

)或

u

(

x

)<v

(

x

)(

x0

可以除外)，

若

x

x0

(或

x

)时它们的极限都存在，limu

(

x

)≤limv

(

x

)特殊地，limf(

x

)≤0(或≥0).则则若在x0的28说明：本节中有关函数的极限定理对应数列而言全部成立.

注意

定理7中，不相等的函数的极限值可能相等.

说明：本节中有关函数的极限定理对应数列而言全部成立.注意292.第二个重要极限定理8

单调有界数列必有极限.证因为由例2.第二个重要极限定理8单调有界数列必有极限.证因为30由此可知，un+1的前n项不小于un的相应项，而且un+1比un的展开式所以un+1>un.因此{un}是单调递增数列.由此可知，un+1的前n项不小于un的相应项，31此外，由un的展开式可得所以{un}是有界数列.

综上所述，{un}是单调有界数列，因此极限存在.

≤≤≤此外，由un的展开式可得所以{un}是有界数列.32我们还可以证明，都有极限，且人们记这个极限为数e，于是有我们还可以证明，都有极限，且人们记这个极限为数e，于是有33数e

是一个无理数，它的近似值可由展开式中取前若干项计算，以e

为底的指数函数y=ex

的反函数y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.它的前八位数是e=2.7182818数e是一个无理数，它的近似值可由展开式中取前若干项计算，34解因为所以，有例14解因为所以，有例1435例15

解

方法一令u=-x，因为x0时u0，所以例15解方法一令u=-x，因为x36方法二掌握熟练后可不设新变量方法二掌握熟练后可不设新变量37例16解则当x0时，ue，所以原式=1，即例16解则当x0时，ue，所以原式=1，即38例17解令u=ex-1

，则x=ln(1+u)，当x0时u0.所以例16、17可以作为公式使用.例17解令u=ex-1，则x=ln(139例18解因为所以令u=x

-3

，即x=u+3，因此当x

时u

，例18解因为所以令u=x-3，即x=40例

19解例19解41第一章函数极限连续第三节极限运算一、无穷小量及其运算二、极限的运算法则三、两个重要极限第一章函数极限连续第三节极限运算一、无穷小量及其运算42一、无穷小量及其运算若函数

a

=a

(x)在

x的某种趋向下以零为极限，则称函数

a

=a

(x)为

x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小量.例如，函数a

(x)=x-x0，当x→x0时，a

(x)→0，所以a

(x)=x-x0是当x→x0时的无穷小量.它是当x→∞时的无穷小量.是当x→+

∞时的无穷小量.注意：0是无穷小量，但无穷小量不是0.一、无穷小量及其运算若函数a=a(x)在x的某43

定理1

若函数

y=f(

x

)在

x→x0

(或

x→∞)时的极限为

A，则

f(x)=A

a

(

x

)(简记

y=Aa)，

定理2

有限个无穷小(当

x→x0或

x→

∞时)的代数和仍然是无穷小量

.反之若则A为f(x)的极限，证明略

.定理1若函数y=f(x)在x→x044定理3

有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证设函数f(x)有界，|

f(x)|

≤

M

.又a

(x)是无穷小量，即|

a

(x)

|<e

(e为任意小的正数)，则|

a(x)f(x)|=|

a

(x)|

|

f(x)|

<eM

.由于e是任意的小正数，因而eM也是可以任意小的正数,故a(x)f(x)→0

.即存在一个正常数M,使定理3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证设函数f45

推论1

有限个无穷小量推论2

常数与无穷小量之积为无穷小量.定理4反之，若则设若则

(自变量同一趋向下)之积为无穷小量.证明略.推论1有限个无穷小量推论2常数与无穷小量之积为无46例1为有界函数，证例1为有界函数，证47二、极限的运算法则

定理5

若函数

y=f(x)

与

y

=g(

x

)

在

x→x0(或

x→

∞

)时都存在极限，

则它们的和、差、积、商(当分母的极限不为零时)在

x→x0

(或

x→∞)时也存在极限，且二、极限的运算法则定理5若函数y=f(x)48(1)由定理1有f(

x

)=Aa(

x

)和g

(

x

)=B+b(

x

)，

其中a

(

x

)和b

(

x

)均为无穷小量.于是f

(

x

)

g

(

x

)=(A

B)

[a

(

x

)

b

(

x

)]，

其中A

B为常数,a

(

x

)

b

(

x

)仍为无穷小量，故由无穷小量的定理(1)可推得

lim[f

(

x

)

g

(

x

)]=A

B=limf(

x

)limg

(

x

).证(1)由定理1有f(x)=Aa(x49(2)因为f(

x

)g

(

x

)=[A

a

(

x

)][B

b

(

x

)]

=AB[Ab

(x)

Ba

(x)

a

(x)b

(x)].而由定理3的推论1和推论2可知Ab(x),Ba(x)，a

(x)

b

(x)均为无穷小量，所以由定理1可知商的极限运算法则的证明从略.lim[f(

x

)

g(

x

)]=AB=limf

(

x

)

limg

(

x

).(2)因为f(x)g(x)=[A50推论1

常数可以提到极限号前，limcf

(

x

)=climf

(

x

).推论2

若limf

(

x

)=A，且m为正整数，lim[f

(

x

)]m=[limf

(

x

)]m=Am.特殊地，有则即推论1常数可以提到极限号前，limcf(x)51解运用定理5及其推论可得:例2解运用定理5及其推论可得:例252一般地，有因此即多项式函数在x0处的极限等于该函数在x0处的函数值.一般地，有因此即多项式函数在x0处的极限53

解由例1知道当x1时所给函数的分子和分母的极限都存在，且分母极限例3解由例1知道当x1时所给函数的分子和分54所以所以55解由于分母的极限考虑例4即因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知，当x

1时为无穷大量，解由于分母的极限56解例5有时，所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限都为零，这时不能直接应用商的极限运算法则.解例5有时，所给函数在自变量的某个趋向下分57例6若an0，bm0，m、n为正整数，试证有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大.这类极限称为型的极限，对于它们也不能直接应用商的运算法则.例6若an0，bm0，m、n为正整数，试58

证当x→时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大.若将原式变形为此例的结果可以作为公式使用，但要注意只适应于的情形.证当x→时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大59

解由于括号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为“-”型极限，不能直接应用定理5.一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.例7解由于括号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为“60

解

例8解

例9解例8解例961三、两个重要极限1.第一个重要极限

g(

x

)≤

f(

x

)≤

h(

x

)，且limg(

x

)=limh(

x

)=A，limf(

x

)=A.

定理6

若对于

xN(,)

或|x|>M(M>0)

时，有，则三、两个重要极限1.第一个重要极限g(x)≤f(62OxRABC证

AOB面积<扇形AOB面积<AOC面积,即OxRABC证AOB面积<扇形AOB面积<63因为所以再次运用定理6即可得≤≤常称之为重要极限.因为所以再次运用定理6即可得≤≤常称之为重要极限.64这个结果可以作为公式使用解例10计算这个结果可以作为公式使用解例10计算65解例11这个结果可以作为公式使用解例11这个结果可以作为公式使用66解令5x=u，当x→0时u→0，因此有例12也可以按如下格式进行：解令5x=u，当x→0时u→0，因此有例67例13解利用三角函数的和差化积公式例13解利用三角函数的和差化积公式68若在x0的某个领域内(或|

x

|>M,M>0时)，f(

x

)≤0(或≥0)，

定理7

设函数

u

(

x

)，v

(

x

)在

x0的某个邻域内(

或|x|>M，M>0时

)，

满足

u

(

x

)≤

v

(

x

)或

u

(

x

)<v

(

x

)(

x0

可以除外)，

若

x

x0

(或

x

)时它们的极限都存在，limu

(

x

)≤limv

(

x

)特殊地，limf(

x

)≤0(或≥0).则则若在x0的69说明：本节中有关函数的极限定理对应数列而言全部成立.

注意

定理7中，不相等的函数的极限值可能相等.

说明：本节中有关函数的极限定理对应数列而言全部成立.注意702.第二个重要极限定理8

单调有界数列必有极限.证因为由例2.第二个重要极限定理