自动控制原理(2-2)2.5-框图及其化简方法课件

自动控制原理2.5框图及其化简方法引言结构图的组成系统结构图的建立闭环系统的结构图结构图的简化和变换规则引言根据不同的功能，可将系统划分为若干环节或者叫子系统，每个子系统的功能都可以用一个单向性的函数方块来表示。方块中填写表示这个子系统的传递函数，输入量加到方块上，那么输出量就是传递结果。根据系统中信息的传递方向，将各个子系统的函数方块用信号线顺次连接起来，就构成了系统的结构图，又称系统的方块图。系统的结构图实际上是系统原理图与数学方程的结合，因此可以作为系统数学模型的一种图示。方块外面带箭头的线段表示这个环节的输入信号（箭头指向方框）和输出信号（箭头离开方框），其方向表示信号传递方向。箭头处标有代表信号物理量的符号字母。元件的结构图一、结构图的组成

①结构图的每一元件用标有传递函数的方框表示。②把系统中所有元件都用上述方框形式表示，按系统输入信号经过各元件的先后次序，依次将代表各元件的方块用连接线连结起来。显然，前后两方块连接时，前面方块输出信号必为后面方块的输入信号。③对于闭环系统，需引入两个新符号，分别称为相加点（比较点、综合点）和分支点（引出点、测量点）。相加点如图(a)所示，它是系统的比较元件，表示两个以上信号的代数运算。箭头指向的信号流线表示它的输入信号，箭头离开它的信号流线表示它的输出信号；附近的＋、－号表示信号之间的运算关系是相加还是相减。图2－6结构图的相加点(a)和分支点(b)在框图中，可以从一条信号流线上引出另一条或几条信号流线，而信号引出的位置称为分支点或引出点（如图(b)所示）。需要注意的是，无论从一条信号流线或一个分支点引出多少条信号流线，它们都代表一个信号，即原始信号的大小。

系统结构图是由表示系统各个元件的传递函数方框，根据信号之间的相互关系连接构成的图形。建立控制系统各部件的微分方程（注意相邻元件之间的负载效应影响）；对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并作出各元件的方块图；按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的框图连接起来，便得到系统结构图。二、系统结构图的建立例2-8

在图2-7(a)中，电压u1(t)、u2(t)分别为输入量和输出量，绘制系统的结构图。图2－7RC滤波电路解：把电路中的电阻、电感和电容全换成运算阻抗，把电流和电压全换成相应的拉氏变换式，把运算阻抗当作普通电阻。这样从形式上看，在零初始条件下，电路中的运算阻抗和电流、电压的拉氏变换式之间的关系满足各种电路定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律。图2-7(a)对应的运算电路如图2-7(b)所示。设中间变量I1(s)、I2(s)和U3(s)。从输出量U2(s)开始按上述步骤列写系统方程式:图2-7

RC滤波电路结构图按照上述方程的顺序，从输出量开始绘制系统的结构图，其绘制结果如图2－7(c)所示（注意这是一个还没有经过简化的系统结构图）。注意：一个系统可以具有不同的结构图，但由结构图得到的输出和输入信号的关系都是相同的。式中E(s)和B(s)分别为偏差信号和反馈信号的拉氏变换，H(s)为闭环系统中的反馈传递函数。图2－8闭环系统结构图（无干扰作用）三、闭环系统的结构图图中各信号之间的关系为：开环传递函数：反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比。即前向传递函数：输出量C(s)和偏差信号E(s)之比。即单位反馈系统：如果反馈传递函数等于1，那么开环传递函数和前向传递函数相同，并称这时的闭环反馈系统为单位反馈系统。闭环传递函数：系统输出量C(s)和输入量R(s)之间的关系：消去E(s)可得：上式就是系统输出量C(s)和输入量R(s)之间的传递函数，称为闭环传递函数。闭环传递函数将闭环系统的动态特性与前向通道环节和反馈通道环节的动态特性联系在一起。可见，闭环系统的输出量取决于闭环传递函数和输入量的性质。

如果有扰动存在，根据线性系统满足叠加性原理的性质，可以先对每一个输入量单独地进行处理，然后将每个输入量单独作用时相应的输出量进行叠加，就可得到系统的总输出量。图2－9

扰动作用下的闭环系统结构图扰动作用下的闭环系统结构图参考输入量R(s)和扰动量N(s)同时作用于系统时，系统的响应（总输出）C(s)为：系统对参考输入量R(s)的响应CR(s)为：系统对扰动N(s)的响应CN(s)为：结构图表示了系统中各信号之间的传递与运算的全部关系；有时结构图比较复杂，需简化后才能求出传递函数；等效原则：对结构图任何部分进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。四、结构图的简化和变换规则n个环节（每个环节的传递函数为Gi(s)，i=1,2,3,…）串联的等效传递函数等于各传递函数相乘。1.串联环节的简化图2－10串联环节的简化2.并联环节的简化任意n个环节并联系统的等效传递函数是各环节传递函数的代数和。图2－11并联环节的简化3.反馈回路的简化图2－12反馈回路的简化4.相加点和分支点的移动图2－13相加点前移相加点前移图2－14相加点后移相加点后移图2－15分支点前移分支点前移图2－16分支点后移分支点后移图2－17相邻相加点的移动图2－18相邻分支点的移动总之，根据实际系统中各环节（子系统）的结构图和信息流向，可建立系统的结构图。在确定输入量和输出量后，经对结构图的简化和运算，就能求出系统的传递函数。应当指出，在结构图简化过程中，两个相邻的相加点和分支点不能轻易交换。

采用结构图变换方法求取传递函数的步骤：观察结构图，适当移动相加点和分支点，将结构图变换成三种典型连接形式（串联、并联和反馈）。对于多回路的结构图，先求内回路的等效变换方框图，再求外回路的等效变换方框图。求出传递函数。例2-9

试简化图2－19系统的结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。

图2-19例2-9系统结构图解：首先，利用分支点后移规则，将G3(s)和G4(s)之间的分支点移到G4(s)方框的输出端，变换结果如图2-20(a)所示；

然后，再将G2(s)、G34(s)、H2(s)和1/G4(s)组成的内反馈回路简化（见图2－20(c)）。其等效传递函数为：其次，将G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路简化（如图2－20(b)所示），其等效传递函数为：

最后，将G1(s)、G23(s)和H1(s)组成的反馈回路简化便求得系统的传递函数为：图2-20例2-9系统结构图简化结构图三种基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串联并联反馈2相邻综合点可互换位置、可合并…结构图等效变换方法1三种典型结构可直接用公式3相邻引出点可互换位置、可合并…注意事项：1不是典型结构不可直接用公式2引出点综合点相邻，不可互换位置引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41G2H1G1G3综合点移动G1G2G3H1错！G2无用功向同类移动G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1接下来怎么办？最后得传递函数为：2.6信号流图引言信号流图的定义和有关术语信号流图的性质信号流图的绘制Mason公式Mason公式应用举例比较复杂的控制系统的结构图往往是多回路的，并且是交叉的。在这种情况下，对结构图进行简化是很麻烦的，而且容易出错。如果把结构图变换为信号流图，再利用梅逊（Mason）公式去求系统的传递函数，就比较方便了。引言信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点表示方程中的变量，用“○”表示。连接两个节点的线段叫支路。支路是有方向性的，用箭头表示；箭头由自变量（输入）指向因变量（输出）；标在支路上的增益代表因果之间的关系，即方程中的系数。一、信号流图的定义和有关术语

1.信号流图的定义

欧姆定理与信号流图2.信号流图中的有关术语信号流图混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点（x2，x3，x4，x5）。输出节点（阱）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。只要定义信号流图中任一变量为输出变量，再从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点（x6）。输入节点（源）：仅具有输出支路的节点（x1）。通道：沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径，叫通道。开通道：与任一节点相交不多于一次。闭通道（回路）：通道的终点就是起点，并且与任何其他节点相交不多于一次。前向通道：从输入节点（源）到输出节点（阱）的通道上，通过任何节点不多于一次，如回路：起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路，也就是闭合通道。如前向通道增益：前向通道上各支路增益乘积，称前向通道增益，用Pk表示。回路增益：回路中所有支路的乘积称为回路增益，用La表示。

不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路（在各回路中，没有同一信号流过）。在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。例如

x2→x3→x2和x4→x4

x2→x5→x3→x2和x4→x4信号流图适用于线性系统。支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。混合节点增加一个具有单位增益的支路可以把它作为输出节点来处理。对于一个给定的系统，节点变量的设置是任意的，故信号流图不是唯一的。二、信号流图的性质三、信号流图的绘制1.由系统微分方程绘制信号流图对系统微分方程组进行拉氏变换；对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；用标明支路增益的支路，根据数学方程式将各节点变量正确连接，便可得到系统的信号流图。2.由系统框图绘制信号流图在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路，于是结构图也就变换为相应的信号流图了。从系统结构图绘制信号流图时应尽量精简节点的数目！支路增益为1的相邻两个节点，一般可以合并为一个节点，但对于源节点和阱节点却不能合并掉；若在结构图比较点之前没有引出点，但在比较点之后有引出点时，只需在比较点后设置一个节点便可；若在比较点之前有引出点，就需在引出点和比较点各设置一个节点，分别标志两个变量，他们之间的支路增益为1。比较点与节点对应关系（a）（b）系统结构图(a)和信号流图(b)(a)(b)P——系统总增益（对于控制系统的结构图而言，就是输入到输出的传递函数）；k——前向通道数目；

Pk——第k条前向通道的增益；Δ——信号流图的特征式。Δk——在特征式Δ中，将其与第k条前向通道接触的回路所在项除去后余下部分。称为Pk的余因式。四、Mason公式

用梅逊公式可以直接求信号流图从输入节点到输出节点的增益，其表达式为——所有不同回路增益乘积之和；——所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；——所有任意三个互不接触回路增益乘积之和；——所有任意m个不接触回路增益乘积之和。信号流图的特征式Δ，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是Δ，变化的只是其分子。五、Mason公式应用举例

某系统的结构图例系统的方块图如下所示，试用梅逊公式求系统传递函数C(s)/R(s)。因为通道P1与三个回路都接触，所以有△1＝1

。解由图可见，该框图只有一个前向通路，其增益为有三个独立回路没有两个及两个以上的互相独立回路。特征式Δ为：故输入量和输出量之间的总增益或闭环传递函数为:R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

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G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)H3(s)

G2(s)

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H1(s)H3(s)

G1(s)

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G3(s)

G1(s)

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G3(s)

G1(s)

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G3(s)

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H1(s)H3(s)

G1(s)

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G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)梅逊公式例R-C

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P2=G4G3P1=G1G2G3△1=1△2=1+G1H1C(s)R(s)=?请你写出答案！G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(s)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2