向量与向量加减法

学习目的：理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；理解向量的几何表示，会用字母表示向量；认识平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；经过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和解析鉴识能力.5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量；6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；8．在正确掌握向量加法减法运算法规的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；9．经过阐述向量的减法运算能够转变为向量加法运算及多个向量的加法运算能够转变为两个向量的加法运算，能够浸透化归的数学思想，使学生理解事物之间互相转变，互相联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反响出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应企图识．学习容:向量这部分知识是新容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的看法，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实质上向量就是用有向线段表示的.学习难点:向量的加法运算一、向量的看法向量:既有大小又有方向的量.平时用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用||表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小.注意:向量的长度||又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任向来量平行.平行向量可经过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点没关.二、向量的加法1．向量加法的平行四边形法规平行四边形ABCD中，向量的和为.记作:.2．向量加法的三角形法规依照向量相等的定义有:，既在ADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量的和等于.三、向量的减法向量与向量叫做相反向量.记作:.则，既用加法法规来解决减法问题.例题选讲第一阶梯[例1]判断以下命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量与是共线向量，则、、、必在同素来线上；④向量与向量平行，则与的方向相同或相反；⑤四边形是平行四边形的充要条件是．解析：判断上述五个命题的真假性，需认真鉴识才能识其真面目．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量必然平行，因此，此命题正确；③不正确．∵与共线，能够有与平行；④不正确．若是其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．[例2]以下各量中是向量的有_______________.A、动能B、重量C、质量D、长度E、作用力与反作用力F、温度解析：用向量的两个基本要素作为判断的依照注意对物理量实质意义的认识.解:A，C，D，F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.[例3]命题“若A．总成立

，，则．”（B．当时成立

）C．当时成立

D．当时成立解析：这里要作出正确选择，就是要研究题中命题成立的条件．∵零向量与其他任何非零向量都平行，∴当两非零向量、不平行而时，有，，但这时命题不成立，故不能够选择A，也不能够选择B与D，故只能选择C．答案：C第二阶梯[例1]如图1所示，已知向量，试求作和向量．解析：求作三个向量的和的问题，第一求作其中任两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，尔后再求这个向量与另一个向量的和．即先作，再作．解：如图2所示，第一在平面任取一点，作向量，再作向量，则得向量，尔后作向量，则向量即为所求．[例2]化简以下各式(1)；(2)．解析：化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法经过作图实现化简；②是利用代数方法经过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，经过向量加法的结合律调整向量相加的序次，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．解：原式=(2)原式=．[例3]用向量方法证明：对角线互相均分的四边形是平行四边形．解析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只要证明其一组对边对应的向量是相等向量．(需第一将命题改造为数学符号语言)已知：如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：由已知得，，且A，D，B，C不在同素来线上，故四边形ABCD是平行四边形．第三阶梯例1．以下命题:1）单位向量都相等；2）若，则；3）若ABCD为平行四边形，则；4）若，则.其中真命题的个数是（）A、0B、1C、2D、3解:（1）不正确.单位向量的长度相等，但方向不用然相同；（2）不正确.可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD中，；（4）正确.满足等量的传达性.选B.例2．若O为正三角形ABC的中心，则向量是（）.A、有相同起点的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量解:的起点不相同，不平行也不相等.由正三角形的性质:.选C.例3．某人向东走3km，又向北走3km，求此人所走行程和位移.解:此人所走行程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:例4．求证对角线互相均分的平面四边形是平行四边形.已知:，求证:ABCD为平行四边形.证明:由加法法规:，∵，∴，即线段AB与DC平行且相等，∴ABCD为平行四边形.例5．非零向量中，试比较的大小.解:（1）共线时，①时，②时，.2）不共线时，，，∵即，综上：∴课外练习:1．若两个向量不相等，则这两个向量（）.A、不共线B、长度不相等C、不能能均为单位向量D、不能能均为零向量2．四边形RSPQ为菱形，则以下可用一条有向线段表示的两个向量是（）.A、B、C、D、3．“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（）.A、充分不用要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不用要条件4．O是四边形

ABCD对角线的交点，若

，则四边形

ABCD是（）.A、等腰梯形

B、平行四边形

C、菱形

D、矩形5．若

O是

ABC一点，

，则

O是

ABC的（）.A、心B、外心C、垂心D、重心6．ABC中，=（）.A、

B、

C、

D、7．平行四边形

ABCD中，E、F为AB，CD中点，图中

7个向量中，与

相等的向量是

________；与相等的向量是

______；与平行的向量是

_______；与平行的向量是

_____.8．已知

:首尾相接的四个向量

.求证

:.S参照答案

:1.D

2.B

3.B

4.B

5.D

6.B7.证明:∵，，.测试选择题1．已知向量a=(3,m)A、4B、-4

的长度是C、±4

5，则m的值为（D、16

）.2．下面有四个命题：（1）向量的长度与向量的长度相等.（2）任何一个非零向量都能够平行搬动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量，其终点必相同.其中真命题的个数是（）.A、4B、3C、2D、13．在以下命题中，正确的选项是（）.A、若||>||，则>B、||=||，则=C、若=，则与共线D、若≠，则必然不与共线4．以下说法中错误的选项是（）.A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为0C、零向量与任向来量平行D、零向量的方向是任意的5．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则和相等的向量的个数是（）.A、1个B、2个C、3个D、4个答案与解析答案：1、C2、B3、C4、A5、B解析：1．答案：C.由于|a|因此2．答案：B.(1)对.由于与是指同一条线段，因此长度相等．(2)对．这是由相等向量推导出的结论．(3)错.由于单位向量只要求模长等于1，方向不作要求，因此不用然相等．(4)对．由于相等向量能够经过平移至完好重合．解决本题的重点是熟练掌握有关基础知识.3．答案：C.A错．由于向量有大小和方向两个要素．无法比较大小．B错．相等向量不但要模长相等，方向也要相同．C对．相等向量方向必然相同，因此共线．D错．由于向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，因此与有共线的可能．4．答案：A.零向量是规定了模长为0的向量．零向量的方向没有规定，是任意的，能够看作和任向来量共线．零向量绝不是没有方向．5．答案：B.依照向量相等的条件.向量重点难点认识向量能够依照需要自由平移的特点是今后运用向量方法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量．要依照向量的有关看法从图形中找出相等的向量和共线的向量．因此，要加强训练观察一些常有图形．以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，必然注意搞清字母序次，起点在前，终点在后，比方与是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向量的方向是任意的，而不是没有方向，因此有关零向量的方向问题一般要注意规定，比方命题：与共线，与共线，与共线，是错误的，由于零向量的方向是任意的，故与的方向没有任何关系，因此也无法判断可否共线，三是注意差异平行向量与平面几何中直线平行的看法，前者相当于两直线地址关系中的平行和重合两种情况，比方错误地认为平行向量不能能是共线向量，其实这两个看法是同一个看法.典型题目例1以下说法中正确的选项是（）.A．向量与向量共线，向量与向量共线，则向量与向量共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个极点C、向量与不共线，则与所在直线的夹角为锐角D、始点相同的两个非零向量不平行答案：A议论：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是能够传达的．共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同素来线上.而相等向量是共线的，故B中四点可能在同素来线上，向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量可否共线与始点地址没关．例2“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的( )条件A.充分不用要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不用要答案：B议论：向量共线即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立．例3下面有四个命题：(1)向量的模是一个正实数．(2)两个向量平行是两个向量相等的必要条件．(3)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等．(4)温度含有零上温度和零下温度，因此温度是向量，其中真命题的个数为( )．A．0B．1C．2D．3答案：B议论：只有(2)是正确的，由于两个向量平行可是指这两个向量在方向上是相同或相反的．方向相反则不能能是相等向量．即使方向相同，对于大小也没有要求，仍旧无法判断两个向量可否相等．而两个相等向量的方向必然相同，必是平行向量．(1)错在向量的模是表示向量的有向线段的长度，零向量的模为零．因此向量的模是一个非负实数．(3)错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不用然相等．(4)错在温度的零上零下也可是表示数量．向量既要有大小又要有方向．常有的向量有力、速度、位移、加速度等．正确解答本题的关键是掌握住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其他有关看法．例4一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，尔后又改变方向向西偏北50°走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点．(1)作出向量、(2)求||.答案：(1)见图.(2)由题意，易知方向相反，故与共线，又，∴在四边形ABCD中，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∴，∴=200公里.议论：正确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后依照向量的大小确定向量的终点.例5一个人从A点出发沿东北方向走了100米到达B点．后改变方向沿南偏东15°又走了100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移．解：如图，依照题意知ABC为等边三角形，故∠a=15°，||=100，∴此人从C点走回A点的位移，大小为100米，方向为西偏北15°．检测题1.在以下各命题中，为真命题的有（）1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量2）温度有零上温度和零下温度．因此温度也是向量3）方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量4）坐标平面上的x轴和y轴都是向量A．1个B．2个C．3个D．4个2.已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是（）A．a、b同方向B．b、c同方向C．a、c同方向D．a、b、c同方向3.以下命题中，正确的选项是（）A．B．C．D．4．以下各命题中假命题的个数为（）①向量的长度与向量的长度相等．②向量与向量平行，则与的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，必然是共线向量．⑤向量与向量是共线向量，则点、、、必在同一条直线上．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段A．2B．3C．4．55．在以下各结论中，正确的结论为（）①两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；②两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不用要条件；③两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；④两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不