空间几何体知识点归纳

第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.在已知图形中取相互垂直的轴和轴，两轴相交于。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使，它们确定的平面表示水平面。（2）.已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；（3）.已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半。5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积3圆锥的表面积4圆台的表面积5球的表面积（二）空间几何体的体积1柱体的体积2锥体的体积3台体的体积4球体的体积基础练习1选择题1．如图的组合体的结构特征是()A．一个棱柱中截去一个棱柱 B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥 D．一个棱柱中截去一个棱台[答案]C2．有下列命题：①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．其中正确的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案]B3．(2023～2023·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()[答案]A4．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)[答案]D5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的全面积是()A．3πB．3eq\r(3)πC．6πD．9π解析：设圆锥底面半径为R，∴eq\f(1,2)·2R·eq\r(3)R＝eq\r(3)，∴R＝1，母线l长为2，∴S全＝πR2＋πRl＝π＋2π＝3π.答案：A6．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是()A．6eq\r(3)B．3eq\r(6)C．11D．12解析：设长方体长、宽、高分别为a，b，c，不妨设ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6eq\r(3).答案：A7．(2023·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4答案：C8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是()A．1∶3B．1∶(eq\r(3)－1)C．1∶9D.eq\r(3)∶2解析：由题意可知，截面面积与底面面积之比为1∶3，∴截面半径与底面半径之比为1∶eq\r(3)，∴这两段母线长之比为1∶eq\r(3)－1.答案：B二、填空题1．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．[答案]圆柱2．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是________(填序号)．[答案]④3．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________．解析：三个几何体都是棱柱．答案：34．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．解析：通过三视图还原三棱柱直观图如图所示，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)×22))＝6＋2eq\r(3).答案：6＋2eq\r(3)5．如图，已知圆柱体底面圆的半径为eq\f(2,π)cm，高为2cm，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm(结果保留根式)．答案：2eq\r(2)6．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，圆台的表面积是（）分析：由题目可获取以下主要信息：①求圆台的表面积应考虑上、下底面及侧面积；②上、下底面面积易得，主要求侧面积．解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角是180°，故C＝π·SA＝2π×10，∴SA＝20，同理可得SB＝40，∴AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.7.如右图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，圆柱的表面积为（）解析：圆锥高h＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，画轴截面积图(如右图)，则eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(2－x,2).故圆锥内接圆柱的底半径x＝1.则圆柱的表面积S＝2π×12＋2π×1×eq\r(3)＝(2＋2eq\r(3))π.答案：(2＋2eq\r(3))π强化提升一选择题1．在棱柱中()A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行[答案]D2．下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案]D3．(2023－2023·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案]B[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．4．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[答案]C5．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[答案]B[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台 B．四棱锥C．四棱柱 D．四棱台[答案]D7．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案]D8．(2023－2023·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案]D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.几何体直观图形正视图侧视图俯视图正方体长方体圆柱圆锥圆台球9．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．10．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．① B．①②C．③④ D．①②③④[答案]B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．二填空题1．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．[答案]①③2．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．3．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是________．[答案]5[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．4．(2023～2023·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．[答案]①②③④5．(2023－2023·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案]3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A－DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________，点M′的找法是________．[答案]M′(4,2)在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′.[解析]在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.7．如右图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．[答案]10[解析]由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.8．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．[答案]16[解析]由图易知△AOB中，底边OB＝4，又∵底边OB的高为8，∴面积S＝eq\f(1,2)×4×8＝16.9．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________[答案]8[解析]原图形为OABC为平行四边形，OA＝1，AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝3，∴四边形OABC周长为8.章节练习一、选择题正视图俯视图侧视图1．右面的三视图所示的几何体是正视图俯视图侧视图A．六棱台 B．六棱锥C．六棱柱 D．六边形(第1题)2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为()．A．1∶3 B．1∶SKIPIF1<0 C．1∶9 D．1∶81(第3题)正(主)视图侧(左)视图3(第3题)正(主)视图侧(左)视图4．A，B为球面上相异两点，则通过A，B两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有()．A．一个 B．无穷多个正视图侧视图俯视图(第正视图侧视图俯视图(第5题)5．右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是()．)．ABCD6．下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有()．(第6题)(第6题)B．2块C．3块D．4块7．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是()．A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是135°8．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．A．①② B．①③ C．①④ D．②④9．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是()．ABCD10．如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是()．A．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心B．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心C．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心D．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心二、填空题11．一圆球形气球，体积是8cm3，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是27cm3．则气球半径增加的百分率为．12．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是．(第13(第13题)①如果A是多面体的下底面，那么上面的面是；②如果面F在前面，从左边看是面B，那么上面的面是．14．一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是．三、解答题15．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形．已知圆柱表面积为6p，且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积．16．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积.俯视图俯视图ABCB＇A＇C＇11正视图B＇BA＇A3侧视图ABC1(第16题)17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2SKIPIF1<0，AD＝2，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．((第17题)18．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积V正方体，V球，V圆柱的大小．(第19题)19．如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为SKIPIF1<0，求原来水面的高度．(第19题)(第20题)20．如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形．两个对角面也是长方形，面积分别为Q1(第20题)参考答案一、选择题1．B解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥．2．A解析：由设两个球的半径分别为r，R，则4pr2∶4πR2＝1∶9.∴r2∶R2＝1∶9，即r∶R＝1∶3．3．C解析：在根据得到三视图的投影关系，∵正视图中小长方形位于左侧，∴小长方形也位于俯视图的左侧；∵小长方形位于侧视图的右侧，∴小长方形一定位于俯视图的下侧，∴图C正确．4．D解析：A，B不在同一直径的两端点时，过A，B两点的大圆只有一个；A，B在同一直径的端点时大圆有无数个．5．D解析：由几何体的正视图和侧视图可知，几何体上部分为圆锥体，由三个视图可知几何体下部分为圆柱体，∴几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体．(第6题(第6题)解析：由三视图可知几何体为右图所示，显然组成几何体的长方体木块有4块．7．C解析：由平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴C不对．8．D解析：①的三个视图均相同；②的正视图和侧视图相同；③的三个视图均不相同；④的正视图和侧视图相同．∴有且仅有两个视图相同的是②④．9．A解析：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．10．B解析：在平行投影中线段中点在投影后仍为中点，故选B．二、填空题11．50%．解析：设最初球的半径为r，则8＝SKIPIF1<0pr3；打入空气后的半径为R，则27＝SKIPIF1<0pR3．∴R3∶r3＝27∶8．∴R∶r＝3∶2．∴气球半径增加的百分率为50%．12．160．解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0和SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．∴菱形的边长为SKIPIF1<0＝8．∴棱柱的侧面积是5×4×8＝160．13．F，C．解析：将多面体看成长方体，A，F为相对侧面．如果A是多面体的下底面，那么上面的面是F；如果面F在前面，从左边看是面B，则右面看必是D，于是根据展开图，上面的面应该是C．14．80．解析：由三视图可知，几何体是由棱长为4的正方体和底面边长为4，高为3的四棱锥组成，因此它的体积是V＝43＋SKIPIF1<0×42×3＝64＋16＝80．三、解答题15．参考答案：设圆柱底面圆半径为r，则母线长为2r．∵圆柱表面积为6p，∴6p＝2pr2＋4pr2．∴r＝1．∵四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形，∴正方形边长为SKIPIF1<0．∴四棱柱的体积V＝(SKIPIF1<0)2×2＝2×2＝4．16．(1)略．(2)解：这个几何体是三棱柱．由于底面△ABC的BC边上的高为1，BC＝2，∴AB＝SKIPIF1<0．故所求全面积S＝2S△ABC＋SBB′C′C＋2SABB′A′＝8＋6SKIPIF1<0(cm2)．几何体的体积V＝S△ABC·BB′＝SKIPIF1<0×2×1×3＝3(cm3)．17．解：S表面＝S下底面＋S台侧面＋S锥侧面＝p×52＋p×(2＋5)×5＋p×2×2SKIPIF1<0＝(60＋4SKIPIF1<0)p．V＝V台－V锥＝SKIPIF1<0p(SKIPIF1<0＋r