2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第6讲相似三角形的性质解析版

课后作业课后作业第6讲相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例:性质定理1：对应高、中线、角平分线之比等于相似比知识梳理-性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比I性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方-利用性质定理求解长度、周长、面积、比值等题型探究L证明线段成比例——［几种常用方法是重点知识梳理.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例..相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比..相似三角形性质定理2相似三角形的周长的比等于相似比..相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方.(S)题型探究君1题型一、利用相似三角形性质的求解【例I】求长度、周长、面积AR7(1)已知顶点A、B、C分别与4、3、G对应，—BE、31后分别是它们的对A旦2应中线，且BE=6.求B1E1的长.【答案】4.【解析】解：・・・AA5csM4G，BE、片骂分别是对应中线，ABBE....3 6 „ . = 即一= ,/.E.B.=4的E圈2EE1(2)已知AA5CsaA^G，顶点A、B、C分别与Ai、B］、G对应，AC=12,AG=9,幺的平分线的长为6,求N4的平分线的长.【答案】8.【解析】解：tAABCsa418c।,4)、AA分别是以、幺的平分线，—BP—=—,.-.AD=8即N4的平分线的长为8.ACAA9 6(3)已知AABCs&414c।,顶点A、8、C分别与4、8i、Ci对应，它们的周长分别为48和60,且AB=12,B|G=25,求BC和481的长.【答案】8c=20,A,S,=15.ABCBCABCB【解析】解：AABCs^BC，・・•上怨丝用G又・."c=竺=±,ABC=20,AB.=15.「 605（4）如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是.【答案】100。〃.［解析］两三角形的相似比为35:14=5:2,则周长比为5:2,设大三角形周长为5aan，小三角形周长为2acm,则5a-2a=60,所以。=20,所以大三角形的周长为100。”.(5)如图，点。、E分别在AABC的边AB和AC上，DE//BC,DE=6,BC=9,SMD£=16.求1c的值.【答案】36.［解析］解：//BC,.IMDE^MBC,(6)如图，在AABC中，。是A8上一点，若NB=N4C£>,AD=4cm,AC=6cm,5mcd=8cto2,求AABC的面积.【答案】18cm2.【解析】解："NB=ZACD,NA=NA,..MCD^AABC，ssSaaBC又Smcd=8c/w»...SzgQ=18c/n•(7)(2019.上海民办桃李园实验学校九年级月考)如图，点G是aABC的重心，过点G作EA7/BC,分别交AB.AC于点E、F,且EF+BC=7.2cm,求BC的长.【答案】4.32cm【解析】解：如图，连接AG并延长，交BC于点尸.：G为AA8C的重心，：.AG=2GP,：.AG：AP=2：3,过点G且£F〃BC,，丛AGFs丛APC、：.AF：AC=AG：AP=2：3.又,：EF〃BC,.♦.△AEFs/xabc,.EFAF2"BC-AC-3,：.EF=-BC3又•：EF+BC=7.2cm,：.BC=432cm.（8）（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，AB=8,点D、E分别在边AB、且DE〃BC,若DE把△ABC分成了面积相等的两部分，求BD的长.【答案】BD=8-40【解析】解：VDE//BC/.△ADE^>AABC「△ADE与△ABC的面积的比等于1:2/.AD：AB=1：72,/AB=8AD=4&BD=8-4>/2（9）（重要模型）（2019•上海九年级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120加”，高4。=80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在A3、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm.【答案】这个正方形零件的边长是48板”.【解析】设正方形的边长为X/W",则A/=A£)-x=80-x,「E/T/G是正方形，J.EF//GH,.♦.△AE尸sA48C,.EF_AI x80-x•• ,LJ= ,BCAD 120 80解得x=48mnif・•・这个正方形零件的边长是48"?〃?.年［例2］比值(2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习)相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的比为.【答案】4:3【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的比为4:3.故答案为：4:3.(2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习)两个相似三角形的面积比为1:2,则它们的对应角平分线的比为.【答案】1:72【解析】解：两个相似三角形的面积比为1:2,则它们的相似比为：1:夜，则它们的对应角平分线的比为1:应故答案为：（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）若两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是,面积比是.【答案】5:2 25:4【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是5：2,面积比是25：4.故答案为5：2：25：4.（2019・上海市进才中学北校）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是 【答案】1:4【解析】•••两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,••・那么它们的周长之比是1：4.故答案为：1：4.（2020•上海市位育初级中学九年级期中）如图，△OABsZxoc。，OA：OC=3：2,4OAB与&OCD的面积分别是Si与S2,周长分别是。与C2,则下列说法正确的是（ ）0,

A，A.A，A.C22S,3B.—=一s22c.—=-CD2【答案】A【解析】解：,:△OAB-XOCD、OAt0C=3：2,S.9B错误;，嘿号,C错误;；.0A：0C=3：2,D错误;故选：A.一反三一反三1.（2017・1.（2017・上海九年级一模）如果AABCsaoe尸,A、8分别对应。、E,且AB:£>E=1:2,那么下列等C.NA的度数：NOC.NA的度数：NO的度数=1:2D.AABC的周长:式一定成立的是（ ）B.A.BC:DE=\:2B.【答案】D故错；B：面积比应该是1:4,故错；C:对【解析】故错；B：面积比应该是1:4,故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.故选：D（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形对应中线的比为1：3,且小三角形的面积是2百，那么大三角形的面积为【答案】18G【解析】；两个相似三角形对应中线的比为I：3,...相似比=g,•.•面积之比为相似比的平方，设小三角形面积为S,大三角形面积为S',解得：解得：S'=186,故填：18省.（2021・上海九年级其他模拟）如图，将△ABC沿BC边上的中线AO平移到△AbC的位置，已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9.如果4V=1,那么A£＞的长为.【答案】3【解析】解：如图,V5aABC=16,Saa，ef=9,且 为8c边的中线，S&ade=£Saa'£F=4.5,Saabd=ySaabc=8»•・,将△ABC沿8c边上的中线AQ平移得到4ABC,^A'E/ZAB,，丛DA'EsADAB,贝d殁］=以迎，Hpfa，dY=n,UoJSMDB + 83解得AZ>=3或A£>=-1（舍）,故答案为：3..（2020・上海宝山区•九年级月考）如图，电灯尸在横杆A8的正上方，A8在灯光下的影子为CO,AB//CD,AB^lcm,CD=5cm,点P到C£>的距离是3cm,则点尸到AB的距离是.PA/、/、•\/、/\/\4/ /\,、C D【答案】I［解析］解：-.AB//CD：."AB^APCDAB:8=尸到AB的距离：点P到C£）的距离..•.2:5=「到48的距离：3.♦.P到48的距离为，故答案为.（2020•上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）已知两个相似三角形的相似比为4：9,则它们的周长比为（ ）A.2：3 B.4：9 C.3：2 D.16：8【答案】B【解析】解：；两个相似三角形的相似比为4：9,•••它们的周长比等于相似比，即：4：9.故选：B.（2020•上海第二工业大学附属龚路中学）如果两个相似三角形的对应高之比是1:2,那么它们的周长比是（）A.1:2 B.1:4C.1：0 D.2:1【答案】A【解析】解：；对应高之比是1：2,.•.相似比=1：2,...对应周长之比是1：2.故选：A.（2018・上海民办兰生复旦中学九年级月考）如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的（ ）A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍【答案】D【解析】解：形状不变周长扩大4倍，则高和底都扩大4倍，所以面积扩大16倍.（2020.上海市西南模范中学九年级月考）在aABC中，AB=3,AC=4,“BC绕着点A旋转后能与△AB'C'重合，那么aABB与△ACC的周长之比为.【答案】3:4.【解析】如图△ABC绕着点A旋转后能与△AB，C重合，/.AB=AB,,AC=AC.ABAB3-AC7^4又由旋转性质知NBAB，=NCAC〈.Z\ABB，sZ\ACC，.AB+AB+BBABJi"AC+AC+CC-AC-4-故答案为：3:4.（2020・上海九年级月考）两个相似三角形对应高的比为2:3,且已知这两个三角形的周长差为4,则较小的三角形的周长为.【答案】8【解析】解：•••两个相似三角形对应高的比为2：3,即相似比为2：3,•,•它们周长的比是2：3,设较小的三角形的周长为2x,则较大的三角形的周长为3x,由题意得，3x-2x=4,解得，x=4,则2x=8,.•.较小的三角形的周长为8.故答案为：8.（2020・上海九年级月考）如图，AB//CD,AD与BC交于点O,若斐=。，则桨= OD3BO【解析】解：：AB〃CD,.".ZOAB=ZODC,XZAOB=ZCOD,.,.△AOB^ADOC,OP_OC.OCOB=5*~OA~~OB?**OD-OA"3?.OA3.« ——OB53故答案为：.11（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O是△ABC的重心，过点O作EF〃BC,分别交AB、AC于点E、F,若BC=6,则EF=.【答案】4【解析】解：・・•连接AO并延长交BC于Q,•・,0是4ABC的重心，AAO：OQ=2：1,AAO：AQ=2：3,VEF/7BC,AAAEO^AABQ,△AEF^AABC,EFAEAO2• _ _ _ "BC~AB~AQ~3VBC=6,・・・EF=4.故答案为：4.（2020・上海九年级月考）如图，正方形的边政在△A8C的边3C上，顶点。、G分别在边A3、AC上，已知△ABC的边8C=15,高A”=10,求正方形DEFG的边长和面积.【答案】正方形。EFG的边长和面积分别为6,36.【解析】解：高4"交QG于M,设正方形DEFG的边长为x,则DE=MH=x,：.AM=AH-MH=\0-x,丁DG//BC,DGAMHnx10-x——= ,即一= BCAH15 10•*.x=6,・••正方形。EFG的面积为：x2=36.答：正方形DEFG的边长和面积分别为6,36.（2020♦上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图所示，梯形A3CO中，AB//CD,对角线AC,BD交于。点，若Saaod-Sldoc=2:3,求Saaob：Sacod-

【答案】Saaob【答案】Saaob:Sacoz>=4:9【解析】U：AB//CD.•.△CDO^AABO***5aaod:Sadoc-2:3AAO：CO=2：35a：Sacod=4:9.重题型二、证明线段成比例吼【例3】(1)（直接用三角形相似得到比例）（2021•上海九年级二模）已知：如图，梯形ABCO中，AD//BC,AB=(1)DC,点E在下底8c上，ZAED=ZB.DC,点E在下底8c上，ZAED=ZB.(1)(2)求证：生AB2ADAE【答案】（1）证明过程见解析：（2）证明过程见解析【解析】证明：（1）,・•梯形ABC。中，AD//BC,AB=DC9ZB=ZC,AB=DC,NADE=NDEC,•：4AED=4B,：.ZC=ZAEDt：.XADEsXDE3.ADDE•• =~，DEEC:.CE・AD=DR；(2)'：AADEs^DEC,.ADDEAE•近一正一而.DEECCDCD7FDE~~AEAE.CEAB2•• = -..ADAE2（2）（换线段）（2018年上海宝山区一模）如图,△ABC中，AB=AC,过点C（2）（换线段）（2018年上海宝山区一模）如图,线OE的延长线于尸，联结8尸，交AC于点G.(1)求证：—=—ACCG（2）若A”平分/BAG交BF于H,求证：8“是“G和“产的比例中项.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）IC尸〃A8QE是中位线,二四边形BCFD是平行四边形，:.DE=EF,.AEDEEFEG"AC-DF-BC-CG(2)联结CH,易证aAB“岂aACH.:.NHCG=/DBH=/HFC,又,:NGHC=NCHF.CHF.HC_GHHFCH:.HC2=HG-HF又,：BH=HC,：.BH2=HGHF,^BH是HG和HF的比例中项.（3）（等量代换）（2018年上海黄浦区一模）如图，BO是△ABC的角平分线，点E位于边8c上，已知80是84与BE的比例中项.（1）求证：ZCDE=-ZABC；2（2）求证：AD'CD^AB'CE.【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析【解析】证明：（1）•••8。是AB与BE的比例中项,又80是/A8C的平分线，则NA8ANO8E,：.&ABDsADBE:.NA=NBDE.又NBDC=NA+NA8O,/.^CDE=^ABD=-ZABC,即证.2（2）•:NCDE=NCBD,ZC=ZC,.,.△CDE^ACBD,.CEDE''~CD^~DB又4ABDs^DBE,.DEAD.CEADCDAB：.ADCD=ABCE.方法总结:证明线段成比例的几种方法（1）直接法：观察要证明的四条线段是否在两个三角形中，若是，设法证明这两个三角形相似：（2）换线段法：若不属于（1）的情况，则观察其中三条线段是否适合（1）的情况，若是，设法把另外一条线段代换一下，变成适合（1）的情况；（3）等量代换法：若（2）也不适合，则观察要证的比例式@=£两端的比巴或£是否能等于另外的比,bdbd证出哪些比相等，最后转换回来，得到@=£.ba当然，在等量代换的过程中，也常常会使用换线段.若不成功，@=£换成4=2后，再进行等量代换的思bdcd考./举一反三1.（2020年上海九年级课时练习）已知：如图，在ABC中，AB=AC,点。、E分别在边4C、AB上，DA=DB,与CE相交于点尸，ZAFD=NBEC.求证：AF=CE；BF2=EFAF-【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析【解析】证明：（1）VDA=DB,/.ZFBA=ZEAC,■:ZAFD=NBEC,1800-ZAFD=1800-ZBEC,即NBE4-ZAEC.'：BA=AC,：.NBFAaAEC.：.AF=CE.X/BFA.aAEC,:.BF=AE.=ZEC4,ZFE4=ZAEC,4EFAsaE4C..EAEF. ,=—...=EFCE.ECEAVEA=BF,CE=AF,•*-BF2=EFAF-

2.（2021・上海九年级期中）如图，在nABCZ）中，的平分线交边BC于点E,交0c的延长线于点尸,点G在AE上，联结GO,NG0F=/F(1)求证：AD2=DGAF;(2)连结BG,如果BG_LA£,且A8=6,AD=9,求A尸的长.【答案】(1)证明见解析：(2)苫指2【解析】(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形,J.AB//DF,AD//BC,平分NBA。，Z.ZBAF=ZDAF=ZF,：.AD=DF,：NGOF=N尸，:.△GDFs^DAF,.DGDF"'~AD~~AF'AD2=DGAF-,(2)解：平分NBA。，/.ZBAE=ZDAF,'."AD//BC,：.ZBEA=ZDAF,：.ZBEA=ZBAE,...△BAE是等腰二角形，，8A=8E=6,

VBG1AE,：.AG=EGt,:ZBEA=ZCEF,：.ZCEF=ZF,：.EC=CF=3fDF=AD=9,.FECE\.• = =—,FAAD3即AG=GE=EF,VAGDF^ADAF,AD=FDf：.DG=FG,：.DG=-AFf3AD2=DGAF/.—AF2=81,3:・af=2瓜.23.（2020.上海交大附中九年级期中）已知：如图，在中，点。、G分别在边A3、8C上，ZACD=/B,AG与8相交于点尸.AB G C（1）求证：AC2=ADAB;（2）若空=与，求证：CG?=DFBG.ACCG【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析【解析】（1）证明：；/ACD=/B,/CAD=/BAC,AAACD^AABC,AAC：AB=AD：AC,ac2=ad*ab；(2)证明：VAACD^AABC,AZADF=ZACG,..ADDFAC-CG*AAADF^AACG,/.ZDAF=ZCAF,BPZBAG=ZCAG,XVZACD=ZB,AAAFC^AAGB,AJ9,~ab~~bg9VZCFG=ZCAG+ZACD,ZCGF=ZBAG+ZB,AZCFG=ZCGF,ACG=CF,*ACCG小-、为ACAD由(1)得： = ABAC.DFCG''CG~~BGACG2=DF-BG.J课后作业（2021・上海九年级一模）在梯形ABC。中，AD//BC,对角线4c与B£＞相交于点O,下列说法中，错误的是（

A.Saaor=^^DOCB.ODOBC.“△A.Saaor=^^DOCB.ODOBC.“△AODOAOCD.S4abdADS4ABeBC【答案】C【解析】解：如图所示:VAD//BC,.,.△AOD^ACOB,S.abc=S.S^ABDaDbc，.,.△AOD^ACOB,S.abc=S.S^ABDaDbc，s△△ABCAD标,故D正确，£)COA0DOCOBs屋BOCz)42二3不，故c错误:•S^AK=Syjaqb+Syobc'S^DBC=*^VD(X7+^VOBC»,,S八AOB=^^DOC»A正确;s-BoeOA=OC's-BoeOA=OC'即S八M)B°4BOCOD=='，故B正确;Uda.i7a.i7故选C.(2021・上海九年级一模)如图，已知在中，NC=90。，点G是aABC的重心，GELAC,垂足为E,如果。8=8,则线段GE的长为(厂8C.一3【答案】c【解析】如图，连接AG并延长交BC丁点。..•点G是aABC的重心，4G7.•・点。为BC的中点，黑=彳，CrD1:CB=8,cd=bd=Lbc=4,2・•GE1AC,ZAEG=90°,,:ZC=90°,ZAEG=ZC=90°,/N£4G=NCAD（公共角），FGAG*,•/\AEGs/\ACD,*'•=---,CDAD,AG_2,'GD~11AG2tEGAG2.«=—,♦♦==—,AD3 4 4。3EG=-.故选：C.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知相似三角形面积的比为9:4,那么这两个三角形的周长之比为（ ）A.9:4 B.4:9 C.3:2 D.81:16【答案】C【解析】：相似三角形的面积比为9：4,,这两个相似三角形的相似比为：3：2,,这两个相似三角形的周长比为：3：2.故选：C.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（ ）A.两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等B.两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等C.两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等D.两个三角形相似，且相似比为1,则两个三角形全等【答案】A【解析】A中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A说法不正确：B中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同.这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等，故B正确：由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1,所以全等，故CD正确.故选：A（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）△ABC^AA.BiC!的相似比为2：3,AAiBiCi^AA2B2C2的相似比为5：4,则△ABC与△A?B2c2的相似比为（ ）【答案】B【解析】VAABC^AAiBiCi,相似比为2：3=10：15,又•••△AiBiCisaa262c2,相似比为5：4=15：12,.,.△ABC与AA2B2c2的相似比为10：12=5：6,故选：B.（2020•上海青浦区•九年级一模）如果两个相似三角形对应边之比是1:2,那么它们的对应高之比是（ ）A.1：2； B.1：4； C.1：6； D.1：8.【答案】A【解析】•••两个相似三角形对应边之比是1:2,又•••相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，,它们的对应高之比是：1:2,故选：A.（2019•上海浦东新区•九年级期中）如果两个相似三角形对应边之比是4：9,那么它们的对应角平分线之比是（ ）.2：3 B.4：9 C.16：81 D.百【答案】B【解析】解：•••这两个三角形对应边之比为4：9••这两个相似三角形的相似比是4：9,••其对应角平分线的比等于相似比，••它们对应的角平分线比是4：9.故选B.（2019•上海市天山初级中学九年级期中）若AABC〜AD瓦'，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB.DE=\A,则这两个三角形的对应中线之比为（ ）A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16【答案】B【解析】••^ABCs^DEF.A、B、C分别与。、E、尸对应，且AB:B£=1:4对应中线之比=1:4.故选B.（2019・上海九年级一模）如图，在AABC中，AO平分NBAC交BC于点D,点E在AO上，如果NABE=NC,AE=2ED,那么△ABE与△AOC的周长比为（ ）A.1：2 B.2：3 C.1：4 D.4：9【答案】B【解析】解：,••A。：ED=3：1,：.AEtAD=2：3,,:NABE=NC,NBAE=NCAD,：.XABEsMACD,••iAABEzLaACD=2:3»故选：B.（2019•上海民办桃李园实验学校九年级月考）已知AABCsad印，点A、3、C对应点分别是£＞、E、F,AB-.DE=3.2,那么Smbc：^\DEF等于（ ）A.3:2 B.9:4 C.16:81 D.81:16【答案】B【解析】VAABC^ADEF,AB:DE=3:2,.""SaABCtSadef=9:4.故选B.TOC\o"1-5"\h\z（2019・上海）如图，四边形ABC。的对角线AC与相交于点O,OA=2,08=3,OC=6,00=4,那么下列结论中，错误的是（ ）A.NOAD=NOBCB.—=- C.= D. 2s■=《CD2 Q00c2 S“9【答案】D【解析】=OB=3,0C=6，00=4,.OAOD2•==一,OBOC3:ZAOD=ZBOC,/.AOAD^AOBC,q4/.ZOAD=ZOBCt■^■=3，故A正确，D错误；OA=2f08=3,0C=6,OD=4,.OAOB1^~OD~~OC~2",/ZAOB=ZDOC,/.AOAB^AODC,.AB_1Cuoe_I"'CD~2'C^oc 2故B正确，C正确;故选D.（2020•上海上外附中九年级月考）如图，尸是AABC内一点，过点尸分别作直线平行于AABC各边，形成三个小三角形面积分别为岳=3,昆=12,S3=27,贝”从呢=【答案】108【解析】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E,过P作AB的平行线交AB于点1、G,过P作AC的平行线交AC于点F、H,VDE//BC,IG//AB,FH//AC,二四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形,△FDP^AIPE^APGH^AABC,>/S]=3,S2=l2,S3=27,・・・FP：IE：PH=1：2：3,.'.AI：IE：EC=1：2：3,AAI：IE：EC：AB=1：2：3：6,SaABC：SaFDP=36:IASaabc=36x3=108.故答案为：108.（2020•上海九年级月考）有一个三角形的三边长为2,4,5,若另一个和它相似的三角形的最短边为4,则第二个三角形的周长为.【答案】22【解析】设另一个三角形的另两边为x、y,•••一个三角形的三边长为2,4,5,另一个和它相似的三角形的最短边为4,•••两个三角形的相似比为马=5，42451• _ _ "'xy2'解得：x=8,y=10,.•.第二个三角形的周长为4+8+10=22,故答案为：22（2019•上海市育才初级中学九年级月考）如图所示，AB//CD,AC、8Z）相交于点E,若面积为3,aBCE的面积为5,则梯形的面积为.【解析】解：•••△CQE面积为3,ABCE的面积为5,

.DE_S^CDE_3"~BE~SACBE~5，又,：ABHCD,AC.8C相交于点E,：./^DCE^ABAE,(3丫二9S^eIBEJl5j259255AABE=3—=—AABE25 3乂••匹.BESm£Z>==5,253一x—Sm£Z>==5,,,梯形的面积=^HABE+S+S、8£+S\CBE= +5+3+5=64故答案为：—.（2019•上海市育才初级中学九年级月考）已知aABC中，点。在边4C上，48制2,AC=8,AD=6,点、E在边A8上，若和"IBC相似，则AE的长是.【答案】9或4【解析】解：:△ADE和AABC相似,而NBAC=NDAE,唠唠.俳,解得AE=9：当崇祭即年哈解得AE=4,综上所述，AE的长为9或4.故答案为9或4.（2018•上海市刘行新华实验学校九年级期中）两个相似三角形的的相似比为2:3,且己知这两个三角形的某对对应边上的高相差为4,则这两条高中较短的长度为【答案】8【解析】设对应边上的较长高为x，则较短高为x-4,根据相似的性质，2x-4则有彳=一一3xx=?所以较短高为12-4=8所以答案为8（2020•上海市民办协和双语学校九年级一模）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请在边长为1个单位的2x3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF.如果&DEF与4ABC相似（相似比不为1）,那么△DEF的面积为.【答案】1:【解析】如图，A8=l,BC=V2-AC=45AB,^BCAC=『«■:DE=e,EF=2,DF=MA£>£:EF:DF=^:2:710=1:72:^5二AB:'BCAC^DEEFDFaABC-QEF

S.DEF=/X2X1=1故答案为：1rArA18.上,（不需写出x18.上,（不需写出x的取值范围）.（2020・上海九年级期末）如图，在△ABC中，BC=12,BC上的高AH=8,矩形DEFG的边EF在边BC顶点D、G分别在边AB、AC上.设DE=x,矩形DEFG的面积为了，那么丁关于%的函数关系式是【答案］y=_产+12x；【解析】解：•••四边形。EFG是矩形，BC=12,BC上的高A，=8,DE=x,矩形£»G的面积为V,.\DGHEF,8-xDG———=^―8 12得£>G=3（8；x）二…苧=_#+12x,3故答案为：y=~x2+\2x.

19.(2019•上海市民办嘉一联合中学九年级月考)如图，”是平行四边形A8CO的边AO上一点，CF交BAAp2的延长线于点E,若A尸=3,—= AB=6,求:AE的长.8c的长.B【答案】(1)A£=4：(2)BC=y【解析】解：(I),・,四边形ABC。是平行四边形，七是B4延长线上一点,：.BEI/CD.AB=CD,：.ZAEF=Z.DCF，/EAF=4CDF，工aAEFs^DCF(A4),.AEAF…~CD~~FDA8=6,..AF_2A8=6,FD~3.AE2••=—6 3:.AE=4.(2)•・•四边形ABCD是平行四边形,・・・AD=BC,..AF_2♦――，FD3

ADAF+FD2+3：AF=3,20.AABC中，AB=5,BC=6,AC=7,点。、£分别在边AB、AC上，且DE//BC.(1)如果AAOE的面积与梯形BCE。的面积相同，求OE的长；(2)如果AAOE的周长与梯形BCEC的周长相同，求CE的长.【答案】(1)3近;(2)［解析】解：(1)vSMDE=S梯形8CEO，, =；•；DEUBC,：.^ADEs^ABC,JAAAC乙SmdeDE5/2 广Smde—=—,vBC=6,:.DE=3y/2；BC2(2)C......=C特"，:.AD+AE+DE=DE+BD+CE+BC...AD+AE=5-DA+7-AE+6,：.AD+AE=9.-,-DE//BC.ADAEDEAD-,-DE//BC.ADAEDEAD9-