机械制图之第二章-点线面基础知识和投影

第2章

点、直线和平面的投影

我们知道，点、直线和平面是形成立体的基本几何元素，因此，在学习形体的投影之前，我们首先要掌握这些几何元素的投影规律。第1页，共69页。本章主要内容

1.正投影的投影特性2.点的投影规律3.各类直线的投影特性4.各类平面的投影特性第2页，共69页。

§2.1投影的基本知识本节主要内容：投影法的形成与分类

正投影的投影特性第3页，共69页。一、投影法的形成光源——投影中心光线——投射线预设的平面——投影面得到的图形——投影由投影现象抽象出投影法：第4页，共69页。物体位置改变，投影大小也改变思考:

1、在中心投影下，投影能否反映物体的真实大小?

2、中心投影能否满足绘制工程图样的要求?第5页，共69页。投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画轴测图画工程图样及正轴测图二、投影法的分类第6页，共69页。正投影

斜投影中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。第7页，共69页。三、正投影的基本特性真实性积聚性类似性第8页，共69页。四、投影体系一般要从几个方向观察物体，才能表达清楚物体的形状？三个方向第9页，共69页。单一投影面：单一投影面不能完全确定物体的形状和大小第10页，共69页。两面投影体系：两个投影面有时也不能完全确定物体的形状。第11页，共69页。三面投影体系：V——正投影面W——侧投影面H——水平投影面V、H交线——OX轴H、W交线——OY轴V、W交线——OZ轴第12页，共69页。三面投影第13页，共69页。§2.2点的投影点的投影仍是点。第14页，共69页。一、点的三面投影空间点用大写字母表示：如A。水平投影用相应小写字母：如a。正面投影用相应小写字母加一撇：如aˊ。侧面投影用相应小写字母加两撇：如a〞。●●●XYZOVHWAaaaxaazay●第15页，共69页。HYH

WYWZVX投影面的展开ayayaaO●x●●azaa

线框省略不画●●●XYZOVHWAaaaxaazay●绕Z轴向右旋转90º不动绕X轴向下旋转90º第16页，共69页。点的三面投影YWZXYHaˊa〞aaxazaywayhoY相等的保证方法有：1．画45度辅助线2．用圆规量取第17页，共69页。二、点的三面投影和坐标关系水平投影a反映A点X和Y的坐标；正面投影a‘反映A点X和Z的坐标；侧面投影a"反映A点Y和Z的坐标。●●●XYZOVHWAaaaxaazay●xyz换言之：A点的水平投影a由X、Y坐标确定；A点的下面投影aˊ由X、Z坐标确定；A点的侧面投影a〞由Y、Z坐标确定。第18页，共69页。1.aa⊥OX轴，aa⊥OZ轴aax=aaz=y=Aa（A到V面的距离）aax=aay=z=Aa（A到H面的距离）Z●●YWazaXYHayWOaaxayHa●aay=aaz=x=Aa（A到W面的距离）点的投影规律第19页，共69页。例：已知点的两个投影，求第三投影。解法一:通过作45°辅助线使aaz=aax解法二:用分规直接量取aaz=aax●a●●aaaxaz●●aaaxaza●第20页，共69页。三、特殊位置点的投影1、投影面上的点点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。2、投影轴上的点点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。第21页，共69页。例：已知点的两投影，求其第三投影

e

e’

f’’

e’’

f’

f

d’’xYWz

YH0

d’

d

d

a

a’

a’’A为X轴上的点；D为V面上的点；E为H面上的点；F为W面上的点。第22页，共69页。

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上B点在A点之后、之左、之下。四、两点的相对位置a

a

aXZYWYHb

bb

O第23页，共69页。例：已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985第24页，共69页。重影点：空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？●●●●●aacca（c）重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。判断重影点的可见性：左遮右，前遮后，上遮下第25页，共69页。

§2.3直线的投影一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。第26页，共69页。一、直线的投影根据两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。aabbb●●●●

a●●第27页，共69页。直线垂直于投影面投影重合为一点直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=AB.cos

BA●●●●ab●●AB●●abAMB●a（m）（b）●●●二、直线的投影特性类似性显实性积聚性第28页，共69页。投影面平行线

平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面)正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面直线的投影特性取决于其与三个投影面间的相对位置。三、各类直线及其投影特性第29页，共69页。⑴投影面平行线：两平对一斜水平线与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长βγbaaabb第30页，共69页。正平线baababγ实长α第31页，共69页。侧平线baabba实长αβ第32页，共69页。①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。投影面平行线的投影特性：第33页，共69页。⑵投影面垂直线：两垂对一点铅垂线●aba(b)abZXOYHYWX第34页，共69页。正垂线●c(d)cddcZOYHYW第35页，共69页。侧垂线●efefe(f)ZOYHYW第36页，共69页。2.另外两个投影，

反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的投影面上，投影积聚成一点。投影面垂直线的投影特性:第37页，共69页。⑶一般位置直线：三斜相对应ZYHaOXabbaYWb

三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性:HaβγaAbVBbWabZXOY第38页，共69页。§2.4直线与点及两直线的相对位置

一、直线与点的相对位置：

1、点在直线上2、点在直线外

第39页，共69页。直线上的点具有两个特性：

1、从属性点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2、定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=ac:

cb=ac

:

cb

ABbbaaXOccC第40页，共69页。例：判断点C是否在线段AB上。cabcab●●abcabc●●在不在ab●c●●aabcbc不在XXZXOYHYW第41页，共69页。例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：（应用从属性）解法二：（应用定比性）●aa

bbkab●k●k●aabbk●●k●XZOXYHYW第42页，共69页。例：已知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三点分别在三棱锥的SA、AB、SC棱线上，求此三点的水平投影和侧面投影，然后将它们的同面投影用直线连接起来，并判别ⅠA、ⅡB、ⅢC直线的空间位置。ⅠA是线ⅡB是线ⅢC是线。正平侧平任意abca'b'c'1'2'3'c"a"b"ss's"1231"2"3"第43页，共69页。二、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。⒈两直线平行

空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOXOX第44页，共69页。⒉两直线相交

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点acVXbHDacdkCAkKdbOBcabd

bacdkkX第45页，共69页。⒊两直线交叉

cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′X

同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一点的投影规律。“交点”是两直线上的一对重影点的投影。同面投影也可能平行，但只有一面或两面投影平行，并非三面投影同时平行。第46页，共69页。§2.5平面的投影一般情况下，平面的投影仍然为平面，特殊情况为一条直线。第47页，共69页。一、平面的表示法不共线三个点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线c直线及线外一点b●●●●●●acabcc●●●●●●ababXXXX平面图形c●●●abcab●●●X迹线表示平面正面迹线—PV

水平迹线—PH

侧面迹线—PW第48页，共69页。二、平面的投影特性平面平行投影面——投影就把实形现平面垂直投影面——投影积聚成直线平面倾斜投影面——投影类似原平面显实性类似性积聚性平行ABCabc垂直ABCabc倾斜ABCabc第49页，共69页。三、各类平面的投影特性投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面平面的投影特性取决于其与三个投影面间的相对位置。第50页，共69页。⑴投影面的垂直面：两框对一线投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。ccabcabba积聚性铅垂面γβZ类似性类似性XOYHYW第51页，共69页。⑵投影面的平行面：两线对一框投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。abcabcabc积聚性积聚性显实性水平面ZXOYHYW第52页，共69页。⑶一般位置平面：三框相对应投影特性：三个投影都类似。abcacbabcZXOYHYW第53页，共69页。例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。acbca●abcb思考：此题有几个解？45°ZXOYHYW第54页，共69页。§2.6平面上的直线和点

一、平面上的直线几何条件：1、直线通过平面上的两个已知点，则此直线必在该平面内。2、直线通过平面上一点，并且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。●●MNAB●M第55页，共69页。平面上的投影面平行线一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。第56页，共69页。例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。abcbca

dd解法一：解法二：有无数解！n●m●n●m●abcbcaXX有多少解？第57页，共69页。例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解？第58页，共69页。二、平面上的点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。求作方法：先在面上取线几何条件：点在平面内的一条直线上。第59页，共69页。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。bacakb●cdd利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解k●●abcabkck●XX第60页，共69页。例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。bckadadbck解法一：解法二：cadadbcXX第61页，共69页。例3：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。dede1010m●m●bcXbcaaO第62页，共69页。例4：根据主、左视图完成俯视图。又知属于该体前表面的点N的一面投影，求另两面的投影。第63页，共69页。§2.7直线与平面及两平面的交一、直线与平面相交

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：(1)

求直线与平面的交点。(2)

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们一般只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。第64页，共69页。第65页，共69页。二、两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①

求两平面的交线方法：⑴确定两平