3-第三章-测量误差课件

数字测图原理

——ThePrincipleofDigitalMapping测绘科学与工程学院数字测图原理

——ThePrincipleofDigi1第三章测量误差基本知识§3.1观测误差的分类§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1观测误差的分类2§3.1观测误差的分类第3章测量误差2、误差产生的原因：

（1）人为因素：观测者的感觉器官的辨别能力及技术熟练程度。

（2）仪器原因：仪器的精度和分辨率，自身结构不完善等。（3）外界环境影响：气温、气压、风力、日光、大气折射、烟雾等。

一、测量误差产生的原因

1、误差——测量中真值与观测值之差，称为误差（真误差）。当真值不易测量时，某一量的准确值与其观测值之差也称为误差。§3.1观测误差的分类第3章测量误差2、误差产生的原3§3.1观测误差的分类一、测量误差产生的原因

3、观测条件：人、仪器和环境三方面综合起来称为观测条件。等精度观测：观测条件相同的同类观测称为“等精度观测”，不等精度观测：观测条件不同的同类观测则称为“不等精度观测”。第3章测量误差§3.1观测误差的分类一、测量误差产生的原因第34§3.1观测误差的分类第3章测量误差1、系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。二、测量误差的分类与处理原则测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，分为：2、偶然误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。

§3.1观测误差的分类第3章测量误差1、系统误差5§3.1观测误差的分类1、系统误差2、偶然误差3、粗差

第3章测量误差由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为“粗差”。4、误差处理原则

对系统误差，按其产生原因和规律，加以改正、抵消或削弱。为了防止错误的发生，提高观测成果的精度，要进行多于必要的观测，即“多余观测”。偶然误差不可避免，由此易出现往返差、闭合差、不符值，利用差值大小可评定测量精度。观测者认真负责、细心地作业，粗差是可以避免的。一旦出现含有粗差的观测值，应当舍弃，重新观测。§3.1观测误差的分类1、系统误差第3章测量误差6§3.1观测误差的分类第3章测量误差三、偶然误差的特性

设相同观测条件下，对未知量观测了n次，观测值为L1,L2,…,Ln,未知量的真值为X，则观测值的真误差为：

Δi=X－L

（i=1,2,3,…,n）§3.1观测误差的分类第3章测量误差三、偶然误差的特7§3.1观测误差的分类三、偶然误差的特性

1、频率直方图横坐标表示误差的大小，纵坐标表示误差出现于各个区间的频率除以区间间隔值，每一误差区间上的长方形面积，就代表误差出现在该区间的频率。第3章测量误差§3.1观测误差的分类三、偶然误差的特性第3章测量8§3.1观测误差的分类第3章测量误差2、偶然误差特性1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率高；3）绝对值相等的正误差与负误差，其出现的频率相等；4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。§3.1观测误差的分类第3章测量误差2、偶然误差特性9§3.1观测误差的分类3、正态分布曲线观测次数n→∞的情况下，无限缩小误差区间间隔d△，则频率直方图中各长方条顶边所形成的折线，将变成一条中间高两边低、并向横轴逐渐逼近的光滑的曲线，称为误差分布曲线或正态分布曲线，表示了偶然误差出现的概率。第3章测量误差§3.1观测误差的分类3、正态分布曲线第3章测量误差10§3.1观测误差的分类第3章测量误差参数σ是观测误差的标准差。标准差的平方σ2为方差，方差为偶然误差平方的理论平均值：标准差σ是误差分布曲线拐点的横坐标值：4、正态分布的密度函数

正态分布（或高斯分布）曲线的数学方程式：§3.1观测误差的分类第3章测量误差参数σ是观测误差113.2衡量精度的标准第3章测量误差相同观测条件下，对同一观测值进行的一组观测对应一种误差分布，故组中所有观测值具有相同的精度。精度：反映一组观测值误差分布的密集或离散程度的数值。标准差的大小取决于一定条件下偶然误差出现的绝对值大小。σ愈小，曲线愈陡峭，离散度小，精度较高。σ愈大，曲线愈平缓，离散度大，精度较低。1、标准差σ：3.2衡量精度的标准第3章测量误差相同观测条123.2衡量精度的标准第3章测量误差2、中误差测量工作中，观测个数n总是有限的。当n为有限值时，只能得到σ的估值，常用m表示，即中误差m为标准差的估值。按有限的几次观测的偶然误差求得的标准差称为中误差。3.2衡量精度的标准第3章测量误差2、中误差按有限的几次133.2衡量精度的标准例题：一个中误差对应一个偶然误差的正态分布。m较小时，曲线顶峰较高，两侧迅速逼近横轴，表明小误差出现的机率较大，误差分布较集中；m较大时，曲线顶峰较低，形状平缓，表明误差分布较离散。第3章测量误差3.2衡量精度的标准例题：一个中误差对应一个偶然误差的正态143.2衡量精度的标准第3章测量误差3、相对误差中误差绝对值与观测值之比。k1＜k2，可见L1的量距精度高于L2。

例：丈量两段距离：L1=1000m；L2=80m，中误差分别为：m1=±20mm；m2=±20mm。如何衡量其精度？？3.2衡量精度的标准第3章测量误差3、相对误差？153.2衡量精度的标准4、极限误差

由正态分布曲线：将其在k倍中误差的区间内积分，可得此区间内误差出现的为分别以k=1，k=2，k=3代入上式，得误差落不大于1倍中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率分别为：P（|Δ|≤m）=0.683=68.3%P（|Δ|≤2m）=0.954=95.4%P（|Δ|≤3m）=0.997=99.7%第3章测量误差3.2衡量精度的标准4、极限误差第3章测量误差163.2衡量精度的标准3、极限误差

大于2倍中误差的偶然误差出现的概率约为5%，是小概率事件。一般测量次数有限，大于2倍中误差的误差应该很少遇到。因此，以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”，简称“限差”，即Δ允=２m

现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。第3章测量误差3.2衡量精度的标准3、极限误差第3章测量误差17小结1、测量误差的分类与处理原则2、衡量精度的标准第3章测量误差小结1、测量误差的分类与处理原则第3章测量误差18思考题1.为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特性？能否将其消除?2.观测结果中的系统误差有什么特点，它给观测结果带来怎样的影响?如何减弱或消除？3.相对误差与绝对误差有何区别?第3章测量误差思考题1.为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特193.3算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值

相同观测条件下，对某未知量进行n次观测，观测值分别为l1，l2,…，ln，将这些观测值取算术平均值，作为该量的最可靠值，称为“最或是值”下面证明对多次观测值取平均值的合理性与可靠性：第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值第3章20第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差设未知量的真值为X，则观测值的真误差为：将此列等式相加，得：根据偶然误差第（4）特性，当观测次数无限增多时：故此时有：即当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。计算时，不论观测次数多少，均以算术平均值x作为未知量的最或然值。第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中21第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差二、观测值的改正值

算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值。将此列等式相加并除以n，得将算术平均值代入，得即一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。此特性可用于检核数据计算。第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差二、22第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差三、按观测值的改正值计算中误差（白塞尔公式）衡量观测精度的理想量是标准差，但实际工作中没有无限次观测，故只能用中误差来代替标准差。多数情况下，观测值的真值不可知，故真误差不可知，无法求中误差。实际计算为：对有限的n次观测值求算术平均值，由其计算改正值，用算术平均值代替真值，用改正值代替真误差，按观测值的改正值计算观测值中误差：白塞尔公式推导过程如下：第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差三、23第3章测量误差第3章测量误差24第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差因此可得：按观测值的改正值计算中误差——白塞尔公式第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差因此25第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差总结：等精度观测平差步骤：1.计算算术平均值2.计算观测值的改正值检核3.计算观测值的中误差第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差总结26第3章测量误差

3.4误差传播定律因观测值含有误差，使得其函数受其影响也含有误差，称为误差传播。误差传播定律：反映观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律。一、观测值的函数1、和差函数2、倍函数3、线性函数4、－般函数

第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律因观测值含有误差，使得27第3章测量误差

3.4误差传播定律1、倍数函数

第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律1、倍数函数第3章测28第3章测量误差

3.4误差传播定律2、和差函数

第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律2、和差函数第3章测29第3章测量误差

3.4误差传播定律2、和差函数

3、线性函数

第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律2、和差函数3、线性函30第3章测量误差

3.4误差传播定律对n 次等精度观测，算术平均值及线性函数的中误差分别为：因为是等精度观测，则m1=m2=…=mn=m，m为观测值的中误差。由此得到按观测值的中误差计算算术平均值的中误差的公式：由此可见，算术平均值的中误差是观测值中误差的。因此，对于某一量进行多次等精度观测而取其算术平均值，是提高观测成果精度的有效方法。第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律对n 次等31第3章测量误差

3.4误差传播定律4、一般函数式中xi是中误差为mi的独立观测值，（i=1，2，…n），求Z的中误差。对上式求全微分，并以真误差符号“Δ”替代微分符号“d”，得对上式以中误差平方替代真误差，并将偏导线值平方并开方，得此即误差传播定律的一般形式。其它线性函数、和差函数、倍函数等，都是上式的特例。第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律4、一般函32误差传播定律——应用举例算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m，求：mx第3章测量误差误差传播定律——应用举例算术平均值第3章测量误差33第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定一、不等精度观测及观测值的权

引入：从两个已知点经过两条不同长度的水准路线测定某待定水准点的高程，从此两条路线分别测得的高程是不等精度观测，不能简单地取其算术平均值并据此评定其精度。这时，要引入“权”的概念处理此类问题。“权”的原来意义为秤锤，此处为“权衡轻重”之意。某一观测值或观测值的函数的精度越高（中误差m越小），其权应越大。第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定一、不等精34第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定一、不等精度观测及观测值的权

测量误差理论中，以P表示权，并定义权与中误差的平方成反比：

式中，C为任意正数。权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用m0或σ0表示。因此，权的另一种表达式为：权是一个比值，无量纲。第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定一、不等精35第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定从而得到，中误差的另一种表达式为：例，某水平角一次观测中误差为mß，N次观测算术平均值中误差：以一次水平角观测中误差mß作为单位权中误差，则N次水平角观测的权为：同理，取1km路线的高差测量中误差m0作为单位权中误差，则路线长度Lkm的高差测量中误差，及路线长度Lkm的高差测量的权分别为：第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定从而得到，36第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定二、加权平均值

对某一未知量，L1，L2，…，Ln为一组不等精度的观测值，中误差为m1，m2，…，mn，权为P1，P2，…，Pn。其加权平均值如下，以此作为该未知量的最或是值：

其实用公式为：第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定二、加37第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定二、加权平均值

根据同一量n次不等精度观测值，计算其加权平均值x后，其观测值改正值计算公式为：这些不等精度观测值的改正值应符合最小二乘原则：以x为自变量，以上式求一阶导数，并令其为零：不等精度观测值的改正值还满足：第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定二、加38第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定三、加权平均值的中误差将加权平均值写成线性函数的形式：

则有：

结论：加权平均值的权即为观测值的权之和。第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定三、加权平39第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定四、单位权中误差的计算

根据一组n个对同一量的不等精度观测值，可以计算该类观测值的单位权中误差。取其总和并取平均得：观测量真值未知时，用真误差代替中误差，求单位权中误差：观测量真值未知时，用改正值代替中误差，求单位权中误差：第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定四、单位权40第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定不等精度直接平差步骤第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定不等精度直41第3章测量误差

3.6间接平差原理

每一个观测值都可表达成所选参数的函数，则称这样的函数式为误差方程，并以此为基础求得参数的估计值。这种计算方法称为间接平差法，又称为参数平差法。

一、间接平差原理设某平差问题有t个未知数，有n个观测值，其相应的权已知，平差值方程的一般形式为：

第3章测量误差3.6间接平差原理42第3章测量误差

3.6间接平差原理误差方程的一般形式为：在[pvv]=min的原则下求未知数。第3章测量误差3.6间接平差原理误差方程的一43第3章测量误差

3.6间接平差原理

上式是用以解算未知数的方程组，称为法方程。它的个数与未知数的个数相同。单位权中误差按下式计算二、间接平差计算实例第3章测量误差3.6间接平差原理44数字测图原理

——ThePrincipleofDigitalMapping测绘科学与工程学院数字测图原理

——ThePrincipleofDigi45第三章测量误差基本知识§3.1观测误差的分类§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1观测误差的分类46§3.1观测误差的分类第3章测量误差2、误差产生的原因：

（1）人为因素：观测者的感觉器官的辨别能力及技术熟练程度。

（2）仪器原因：仪器的精度和分辨率，自身结构不完善等。（3）外界环境影响：气温、气压、风力、日光、大气折射、烟雾等。

一、测量误差产生的原因

1、误差——测量中真值与观测值之差，称为误差（真误差）。当真值不易测量时，某一量的准确值与其观测值之差也称为误差。§3.1观测误差的分类第3章测量误差2、误差产生的原47§3.1观测误差的分类一、测量误差产生的原因

3、观测条件：人、仪器和环境三方面综合起来称为观测条件。等精度观测：观测条件相同的同类观测称为“等精度观测”，不等精度观测：观测条件不同的同类观测则称为“不等精度观测”。第3章测量误差§3.1观测误差的分类一、测量误差产生的原因第348§3.1观测误差的分类第3章测量误差1、系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。二、测量误差的分类与处理原则测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，分为：2、偶然误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。

§3.1观测误差的分类第3章测量误差1、系统误差49§3.1观测误差的分类1、系统误差2、偶然误差3、粗差

第3章测量误差由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为“粗差”。4、误差处理原则

对系统误差，按其产生原因和规律，加以改正、抵消或削弱。为了防止错误的发生，提高观测成果的精度，要进行多于必要的观测，即“多余观测”。偶然误差不可避免，由此易出现往返差、闭合差、不符值，利用差值大小可评定测量精度。观测者认真负责、细心地作业，粗差是可以避免的。一旦出现含有粗差的观测值，应当舍弃，重新观测。§3.1观测误差的分类1、系统误差第3章测量误差50§3.1观测误差的分类第3章测量误差三、偶然误差的特性

设相同观测条件下，对未知量观测了n次，观测值为L1,L2,…,Ln,未知量的真值为X，则观测值的真误差为：

Δi=X－L

（i=1,2,3,…,n）§3.1观测误差的分类第3章测量误差三、偶然误差的特51§3.1观测误差的分类三、偶然误差的特性

1、频率直方图横坐标表示误差的大小，纵坐标表示误差出现于各个区间的频率除以区间间隔值，每一误差区间上的长方形面积，就代表误差出现在该区间的频率。第3章测量误差§3.1观测误差的分类三、偶然误差的特性第3章测量52§3.1观测误差的分类第3章测量误差2、偶然误差特性1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率高；3）绝对值相等的正误差与负误差，其出现的频率相等；4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。§3.1观测误差的分类第3章测量误差2、偶然误差特性53§3.1观测误差的分类3、正态分布曲线观测次数n→∞的情况下，无限缩小误差区间间隔d△，则频率直方图中各长方条顶边所形成的折线，将变成一条中间高两边低、并向横轴逐渐逼近的光滑的曲线，称为误差分布曲线或正态分布曲线，表示了偶然误差出现的概率。第3章测量误差§3.1观测误差的分类3、正态分布曲线第3章测量误差54§3.1观测误差的分类第3章测量误差参数σ是观测误差的标准差。标准差的平方σ2为方差，方差为偶然误差平方的理论平均值：标准差σ是误差分布曲线拐点的横坐标值：4、正态分布的密度函数

正态分布（或高斯分布）曲线的数学方程式：§3.1观测误差的分类第3章测量误差参数σ是观测误差553.2衡量精度的标准第3章测量误差相同观测条件下，对同一观测值进行的一组观测对应一种误差分布，故组中所有观测值具有相同的精度。精度：反映一组观测值误差分布的密集或离散程度的数值。标准差的大小取决于一定条件下偶然误差出现的绝对值大小。σ愈小，曲线愈陡峭，离散度小，精度较高。σ愈大，曲线愈平缓，离散度大，精度较低。1、标准差σ：3.2衡量精度的标准第3章测量误差相同观测条563.2衡量精度的标准第3章测量误差2、中误差测量工作中，观测个数n总是有限的。当n为有限值时，只能得到σ的估值，常用m表示，即中误差m为标准差的估值。按有限的几次观测的偶然误差求得的标准差称为中误差。3.2衡量精度的标准第3章测量误差2、中误差按有限的几次573.2衡量精度的标准例题：一个中误差对应一个偶然误差的正态分布。m较小时，曲线顶峰较高，两侧迅速逼近横轴，表明小误差出现的机率较大，误差分布较集中；m较大时，曲线顶峰较低，形状平缓，表明误差分布较离散。第3章测量误差3.2衡量精度的标准例题：一个中误差对应一个偶然误差的正态583.2衡量精度的标准第3章测量误差3、相对误差中误差绝对值与观测值之比。k1＜k2，可见L1的量距精度高于L2。

例：丈量两段距离：L1=1000m；L2=80m，中误差分别为：m1=±20mm；m2=±20mm。如何衡量其精度？？3.2衡量精度的标准第3章测量误差3、相对误差？593.2衡量精度的标准4、极限误差

由正态分布曲线：将其在k倍中误差的区间内积分，可得此区间内误差出现的为分别以k=1，k=2，k=3代入上式，得误差落不大于1倍中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率分别为：P（|Δ|≤m）=0.683=68.3%P（|Δ|≤2m）=0.954=95.4%P（|Δ|≤3m）=0.997=99.7%第3章测量误差3.2衡量精度的标准4、极限误差第3章测量误差603.2衡量精度的标准3、极限误差

大于2倍中误差的偶然误差出现的概率约为5%，是小概率事件。一般测量次数有限，大于2倍中误差的误差应该很少遇到。因此，以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”，简称“限差”，即Δ允=２m

现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。第3章测量误差3.2衡量精度的标准3、极限误差第3章测量误差61小结1、测量误差的分类与处理原则2、衡量精度的标准第3章测量误差小结1、测量误差的分类与处理原则第3章测量误差62思考题1.为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特性？能否将其消除?2.观测结果中的系统误差有什么特点，它给观测结果带来怎样的影响?如何减弱或消除？3.相对误差与绝对误差有何区别?第3章测量误差思考题1.为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特633.3算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值

相同观测条件下，对某未知量进行n次观测，观测值分别为l1，l2,…，ln，将这些观测值取算术平均值，作为该量的最可靠值，称为“最或是值”下面证明对多次观测值取平均值的合理性与可靠性：第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值第3章64第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差设未知量的真值为X，则观测值的真误差为：将此列等式相加，得：根据偶然误差第（4）特性，当观测次数无限增多时：故此时有：即当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。计算时，不论观测次数多少，均以算术平均值x作为未知量的最或然值。第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中65第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差二、观测值的改正值

算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值。将此列等式相加并除以n，得将算术平均值代入，得即一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。此特性可用于检核数据计算。第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差二、66第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差三、按观测值的改正值计算中误差（白塞尔公式）衡量观测精度的理想量是标准差，但实际工作中没有无限次观测，故只能用中误差来代替标准差。多数情况下，观测值的真值不可知，故真误差不可知，无法求中误差。实际计算为：对有限的n次观测值求算术平均值，由其计算改正值，用算术平均值代替真值，用改正值代替真误差，按观测值的改正值计算观测值中误差：白塞尔公式推导过程如下：第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差三、67第3章测量误差第3章测量误差68第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差因此可得：按观测值的改正值计算中误差——白塞尔公式第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差因此69第3章测量误差

3.3算术平均值及观测值的中误差总结：等精度观测平差步骤：1.计算算术平均值2.计算观测值的改正值检核3.计算观测值的中误差第3章测量误差第3章测量误差3.3算术平均值及观测值的中误差总结70第3章测量误差

3.4误差传播定律因观测值含有误差，使得其函数受其影响也含有误差，称为误差传播。误差传播定律：反映观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律。一、观测值的函数1、和差函数2、倍函数3、线性函数4、－般函数

第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律因观测值含有误差，使得71第3章测量误差

3.4误差传播定律1、倍数函数

第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律1、倍数函数第3章测72第3章测量误差

3.4误差传播定律2、和差函数

第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律2、和差函数第3章测73第3章测量误差

3.4误差传播定律2、和差函数

3、线性函数

第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律2、和差函数3、线性函74第3章测量误差

3.4误差传播定律对n 次等精度观测，算术平均值及线性函数的中误差分别为：因为是等精度观测，则m1=m2=…=mn=m，m为观测值的中误差。由此得到按观测值的中误差计算算术平均值的中误差的公式：由此可见，算术平均值的中误差是观测值中误差的。因此，对于某一量进行多次等精度观测而取其算术平均值，是提高观测成果精度的有效方法。第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律对n 次等75第3章测量误差

3.4误差传播定律4、一般函数式中xi是中误差为mi的独立观测值，（i=1，2，…n），求Z的中误差。对上式求全微分，并以真误差符号“Δ”替代微分符号“d”，得对上式以中误差平方替代真误差，并将偏导线值平方并开方，得此即误差传播定律的一般形式。其它线性函数、和差函数、倍函数等，都是上式的特例。第3章测量误差第3章测量误差3.4误差传播定律4、一般函76误差传播定律——应用举例算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m，求：mx第3章测量误差误差传播定律——应用举例算术平均值第3章测量误差77第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定一、不等精度观测及观测值的权

引入：从两个已知点经过两条不同长度的水准路线测定某待定水准点的高程，从此两条路线分别测得的高程是不等精度观测，不能简单地取其算术平均值并据此评定其精度。这时，要引入“权”的概念处理此类问题。“权”的原来意义为秤锤，此处为“权衡轻重”之意。某一观测值或观测值的函数的精度越高（中误差m越小），其权应越大。第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定一、不等精78第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定一、不等精度观测及观测值的权

测量误差理论中，以P表示权，并定义权与中误差的平方成反比：

式中，C为任意正数。权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用m0或σ0表示。因此，权的另一种表达式为：权是一个比值，无量纲。第3章测量误差3.5加权平均值及其精度评定一、不等精79第3章测量误差

3.5加权平均值及其精度评定从而得到，中误差的另一种表达式为：例，某水平角一次观测中误差为mß，N次观测算术平均值中误差：以一次水平角观测中误差mß作为单位权中误差，则N次水平角观测的权为：同理，取1km路线的高差测量中误差m0作为单位权中误差，则路线长度Lkm的高差测量中误差