ch4-7二阶常系数线性微分方程

复复y(n)

f(

解法:只要连续积分n次即得通解y

f(

y)

型不显含未知函数y

令y

P(x)

Py

f(

y)右端不显含自变量x.解法：

y

P(

则

dy

PdP二阶线性微分方程的标准形y

p(x)y

q(x)y

f(x)特点:方程左边关于y’’y’y都是一次当fx)当fx)

0时0时

由线性微分方程解的结构知非齐次线性微分方程的通解 对应齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解二阶线性齐次

y

(x)yQ(x

0定理1若函

y1x

y2x)是方程(1的两个解则y

C1

C2

(C1,C2

是任意常数也是(1的解

y

C2y定义:若在区间I上

y2(x)

常数则称函

y1x)与y2x)I上线性无2如

y1x)

y2(x)是方程(1)的两个性无关

C1

y2yP(x)yQ(x)y

的通第七节二阶常系数线性微分一、二阶常系数齐次线性微分方1、定n阶常系数线性微分方程的标准形y(n)

y(

Pny

f(x)二阶常系数齐次线性微分方程的标准形y

pyqy

pq为常二阶常系数非齐次线性微分方程的标准y

pyqy

f(x)2、二阶常系数齐次线性方程解Euler

yerxy

pyqy

特征方程特征

p

p2,2根据△＝p2-4q的值，可分三种情况pp2pp2pp2

(特征根

r2 两个线性无关的特解为y1

er1x

er2x得齐次方程的通

yCer1

Cer2x1212y

pyqy

特征方程有两个相等的实

(特征根

p2

一特解

y1

ex设另一特解为

u(x)er1

代入原方程并化简u

(2rp)u(r2prq)u

ux

则y2

得齐次方程的通

y

Cx)er1x22特征方程有一对共轭复

(特征根

r1

i

r2

iy1y2

e(i)e(i)

ex(cosxex(cosx

ii重新组

y1(

y

x,1y2

12i(y11

y2

x,得齐次方程的通1yex(CcosxCsinx).12写出相应的特征方程

yr2

pyqyprq求出特征根

根据特征根的不同情况,得到相应的通解特征根的情通解的表达r1r1复根r1, yC1er1xC2er2y(C1C2x)er2 例1

y

3y4

特征方程r2

4

(r

0解

1

r24故所求通

yCex

e4x 例2

4y4

0的通解 特征方程

r2

4

(r

0解得

2故所求通

y

e2x例3

2y5

0的通解 特征方程

r2

50

12i故所求通解1yex1

cos2x

2x).复复微分方程定凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程注意:未知函数的导数(或微分)不能缺少微分方程的称为微分方程的阶(与函数及其导数的几次方无关)微分方程的代入微分方程能使方程成为恒等式称为微分方程的微分方程的解的分通解:微分方程的解中含有独立的任意常特解：

dy

f(x)

g(

称为可分离变量的微分方程齐次方dy

f(y

解法

uy 一阶线性齐次方程

xP(x)yyCe

P(x)dxdy

P(x)

Q(x)

y=

Px

òQxò

P(x

dx+利用公式应注意方程应化 正确选择P(x)和Q(x)对公式中的不定积分求解后不再加CelnP(x,elnP(x)等要化简公式右边括号内外都有“ln|.|”时，绝对值可去掉例:

e

1dx

1e

1dx

eln

1elnx

dxCy(n)

f(x)

特点:右端仅含有自变量解法:只要连续积分n次即得通解y

f(x,

y) 特点不显含未知函数y但显x

令y

P(x)

Py

f(

y型方程不显含x但显y

令y

则y

Pyf(y) 特点方程不显含x与令y

P(x)二阶线性齐次

y

(x)yQ(x

0定理1若函

y1x

y2x)是方程(1的两个解则y

C1

C2

(C1,C2

是任意常数也是(1的解

y

C2y定义:若在区间I上

y2(x)

常数则称函

y1x)与y2x)I上线性无2如

y1x)

y2(x)是方程(1)的两个性无关

C1

y2yP(x)yQ(x)y

的通写出相应的特征方程

yr2

pyqyprq求出特征根

根据特征根的不同情况,得到相应的通解特征根的情通解的表达r1r1复根r1, yC1er1xC2er2y(C1C2x)er2 推广

阶常系数齐次线性方程解1y(n)1

p

y

pny1特征方程1

rn

prn1

pn1r

pn特征方程的通解中的对应若是k重根k (C0C1xCk1 若是k重共轭复根jk[(C0C1xCk1 )cosx(DDx xk1)sinx]ex k例1求方程

y

6

10y

0的通解 特征方程

r36r

0解得r10

3i2故所求通解2y

e3x(Ccos

C3

例2求方程

y(4)

2y

5

0 特征方程

r4

2r

0解得

0

12i3故所求通解3y

C2

ex

cos2x

sin2x).思考求微分方思考题解

yyy2

y2ln

的通解y

yy

lny,y

ln

y2lny

y

ln

lny, y 121zln121

z

特征

通解

Cex

Cex

ln

yCe

Cex22二、二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形y

pyqy

f(x)由线性微分方程解的结构知非齐次线性微分方程的通解 对应齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解二阶常系数非齐次线

y

pyqy

f(x)对应齐次方

y

py

yY

y难点：如何求特解？方法：待定系数法mf(xm

设Pmx

x

次多项式

e0

P(x)ex;

(

x,

(

sinx以上两种的混合注：特解形式与f(x)的类型相同1

(x)

ex

x)

y

pyqy

f(x) 设非齐次方程特

y

Q(x)ex

代入原方程，Q(x)ex

(2

(x)ex

(2

(x)exQ(x)

)Q(x)(2

pq)Q(x)

设另一特解为

u(x)er1回y回

u

(2rp)uer1x(r2

q)uer1x 1

(x)

ex

x)

y

pyqy

f(x) 设非齐次方程特

y

Q(x)ex

代入原方程，

若不是特征方程的根 方程两边必须是同次多项则Q(x)与Pm(x)

Qx)

Qm(

y

Q(x)ex;m(其中QmxPmx同次的多项式m若是特征方程的单根m2m

p

2p

则Q’(x)与Pm(x)可设Q

Qm(

Q(x)m+1

则Qxx

(可设y

(x)ex;

若是特征方程的重

设

Q(x)ex2

p

2p

则Q’’(x与Pm(x)

Q(x)m+2 m(

y

x2Q

(x)ex

y

pyqy

f(x)P(x)em m

不是根y

xke

(x)

k

是单根m1(注:m1

是重根注意上述结论可推广n阶常系非齐次线性微分方程（k是重根次数综上讨

y

pyqy

f(x)P(x)e 1其特解可设为 不是1y

xke

(x)

k

是单根m(注:m

是重根特殊：y

py

m1 m1

不是根y

xkQ

(x)

k

0是单 0是重根例1求方

y

3y2

2

ex

的特y=x(

)ex例1求特解

y

2

xex

P(x)e1.1

解对应齐次方程

y2y

y0特征方

r2

1特征

r1

对应的齐次方程的通解

Y

x)ex1是二重根设原方程的特解

y*

x2(ax

Q(x)ex

(技巧则y*

b)x2

2bx]ex

ax3

将**,(),()

a 6

b 2Q(x)(2p)Q(x)

(2

p

(x)

特解

y*x2(ax1

b)ex1y*

(y*),(

)

x3 x2

a

b 原方程的一个特解

y*

ex6

ex2x3 x2故原方程的通解

y

x)ex

ex363

ex2y

C2)

(C2

1)x

x]ex,

(C1

3

(C1

5)e

y

x)ex

xex32632

xex.

(C1

3

(C1

5)e

C1

11

C 6C由C1

解15

C1 1C1 2所以原方程满足初始条件的特解2y[2e

1(1

1)x]exe

xex363

xex.2、

(x)

ex[P

(x)cosx

Pnx)sinx]lf(x)l

ex[P

助n1]利 公l l

ei

ei eixei [l

(

n(

n(x),(x)互为(x),(x)互为共轭的m次复系数多项式mmax{l,P(x)e(i)x

(x)e(i)x 设

qy

),)由情形1

y

xkQe(i)xm1m12、

(x)

ex[P

cosx

Pnx)sinx]lyl

pyqy

P(x)e(i)x

特解y

xkQ

e(i)xm (i)

特解y

xkQ

e(i)xmym

qy

( y

xkex[Q

ei

eix

解的叠加原)])mR(2)(x)mxkex[R(1)(x)cosmR(2)(x)m 其中R(1xR(2x)是m实系数多

i不是

i

(特殊情形xkex{[Q(x)Q(xkex{[Q(x)Q(x)]cosx[Q(x)Q(x)]isinmmmm

f(x)

ex[P

(x)cosx

P(x)sinx],lnyln

xkex[R(1)(x)cosx

R(2)(x)sinx];mm其中R(1xR(2x)是mmmm 0 i不是1k1

i(xcos2x0sin2x)e0x例1求方

yxcos2x解特征方

r21

特征根

不是y

d)sin2x例 求方程yyxcos2x的通解解①对应齐次方

y

y特征方程

r21

特征

i对应齐次方程通解为

C1cos

C2sinx,②

l(x)

x,Pn(x)y*(axy*(axb)cos2x(cxd)sin2x.

不是特征方程的根设特解代入方程

3b

4c)cos2

(3cx

4a)sin2xcos2x,比较两端同类项的系数，得

3a1,3b4c3c0,3d

解得

a3bcd9

3

xcos2x

9从而所求的通解为y

sinx

1xcos2x3

9混合例3求解混合

y4y

1(2

解特征方

r24特征

y21对应的齐方的通y21

YC1cos2x

C2sin2x.y设设原方程的特解y设

y*

y*

则y*)

(y*

1111

4y

1x，2

4b11214a 解4b

a8b

1y y设(2)设

x(ccos2

dsin2y22则y*y22

(c

2dx)cos2

2cx)sin2x,2(y*2

4cx)cos2

(4c

4dx)sin2x,

4y

1cos2x，24dcos2x

4csin2x

1cos2x,24dcos2x

4csin2x

1cos2x,24d

c

1xsin24c

d 8故原方程的通解y

cos2

sin2x

1x8

1xsin2x.例4设f

为连续函数且满足方程xf(x)

sinx0(xt

f(t求fx的表达式

(P92二P98三,四y即

ysin.f(x)

1(sinx2

x

12思考：12

f(x)

且满足方f(x)

x

xf(求fx)的表达式（练习

二、小小

y

pyqy写出相应的特征方程

r2

prq求出特征根

根据特征根的不同情况,得到相应的通解特征根的情通解的表达r1r1复根r1, yC1er1xC2er