配套课件等差数列及其前

第二等差数列及其前n项【知识梳等差数列的概如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同常数公差an+1-等差中

a如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a，b的等差中项，且A= 等差数列的通项公若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-等差数列的前n项和公已知条前n项和公na1anS nnnS=na1 n 等差数列的性等差数列的常用性质①通项公式的推

(n-m)_(n，m∈N*)；②若{an}是等差数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*

ak+al=am+；③若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d④若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数⑤若{an}是等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)组成公为md的等差数列①若{an}是等差数列

{Snn

也成等差数列，其首项与{an}的

}12②Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则S2m-Sm，S3m-S2m成等差数③关于等差数列奇数项和与偶数项和的性(i)若等差数列{an}的项数为2n，则=n(an+an+1)，S偶-S奇

an an1(ii)若等差数列{an}的项数为2n-1，则S偶=(n-1)an，S奇S-S=a，S奇

(其中S，S分别表示数列{

}中所有

n1 n④两个等差数列

}的前n项和S

之间的关系为

S2n1

⑤数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差数列的充分⑥等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和有最小值.d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn1.(思考)给出下列命题②数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有③等差数列{an}的单调性是由公差d决定的④数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数其中正确题是( ⑤错误.根据等差数列的前n项和公式，Sn=na1nn1d

dn2

)

a1 解得a1

3a13d d3.(2015·温州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a6+a10为一 一 11a1a11

11 A.6或 B.7或 C.5或 D.8或

a4 1

da1>a2>a3>…>a6>a7=0>a8>…，所以S6=S7最大 据前n项和公式知Sn+2=n2a1an722

22

2考点1等差数列的基本运【典例1】(1)(2013高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和S8=4a3，a7=-2，则 A.- B.- C.- (2)(2014浙江高考)已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1=，S2S3=36.①求d及②求m，k(m，k∈N*)的值，使得【规范解答】(1)选A.由S8=4a3⇒8a182

d=4×(a1+2d)；由Sn=na1n2 mk1

所以

【互动探究】本例(1)中，已知条件不变，求Sn=nn 【规律方等差数列运算问题的通性通Sn，知其中三个就能求另外两现了方程的思想.等差数列前n项和公式的用公式

nn1d，若已知通项公式，则使用公式S

na1an2【变式训练】已知等差数列{an}中，a3+a7-a10=0，a11-a4=4，

a3

a10a11a4a

aa12da16da19d

7d

d 所以

1.在等差数列

}中，若a+a+a+a+a=90，则

1a的n值为

10 得5a1+35d=90，即a1+7d=181a10-a14=a1+9d-1=2(a13

2×18=12，故选32.(2013高考)在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比

=4n或

n2 若S5=5，求S6及求d的取值范

=S-

10d

所以 a15d..

或 2或d 2故d的取值范围为{d|d 2或d 2考点2等差数列的判定与证 (2)已知数列1

3

an1

(n≥2，n∈N*)，数{bn}满足 an1①求证：数列{bn}是等差数列②求数列{an}中的最大项和最小项，并说明(2)①因为

an1

1an1所以bn+1-bn=

an

an11 an1又b 5

(2

1)1an

an1

1 an1a1 1 a1

为首项，1为公差的等差2nn

1

1 2n

2，则f(x

(

72x 【易错警示】【规律方法】定义法：证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个等差中：证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后，可递推得提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中，而对于通项【变式训练】数列

}满足

12

2an

{n求证： }为等差数列，并求出{n

}的通项公1an11a设 -1，数列{bn}的前n项和为Bn，对任意n≥2都anB-Bm成立，求正整数m

,

2

1 ,

2

an1

2an

an1 an1所 所

为首1-2公差为-1an11 an1

an1

=-an1

an

n1

bn

n11所以Cn1Cnn n1 3n 3n 3n所

1

19所以

【加固训

1

求证：{an}是等差设

n-30，求数列a2a

}的前n项和

【解析】(1)因为Sn=1 8所以Sn-1=(an- 8①-②得Sn-Sn-1=1(an+2)2-1(an- 2 即an=8

81118

n=nb1n2

2

}满足

2

-

+an-

(1)证明数列{an+1-an}是等差数列(2)求

1

1 1ana31an

成立的最小的正整数an+1- =，即(1=，n-a143

3为首项，2为公差的等差数列3an43

+2(n-1)=

33累加求和得n123

(2+3+…+n=3所以13(1 an n1所以1

1

3

5 a2 a3 an n1 通考点3等差数列性质的应【典例3】(1)(201漳州模拟)等差数列{an}前17项和S17=51，则a5-a7+a9-a1+a1等( ) 【规范解答】(1)选A.由于S17a1172所以88【通关锦囊策略策略若a0，d<0，且满足an 前n项和S最 n若a0，d>0an 前n项和S最 n象或配方法求解，注意高考指重点题策略【通关题组 所以 所以

4所以n<37，则4

4a11下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列p3

{n

}是递增数列；p4：数列{an+3nd其中的真命题为 p3：数列anna =1，数列{an =(an+1-所以4.(2015·福州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(1)求公差d的取(2)S1，S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由

1211d所以

即2a111d13a

aa

d

6d又

7

a

213a

Sn=na1n(n=1，2，3，，12).2所以Sn=n(12-2dnn12

5d [n )]2 因为

d3，所以6

5

【加固训已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 8 设等差数列{an}的前n项和为Sn