立体几何知识点与例题

【考点梳理】一、考试内容平面。平面的大体性质。平面图形直观图的画法。两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线彼此平行。对应边别离平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线彼此垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求掌握平面的大体性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（专门是平行和垂直关系）和它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。能运用上述概念和有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。会用斜二测画法画水平放置的平面图形（专门是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各类位置关系的图形，能够按照图形想象它们的位置关系。理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析空间元素的位置关系空间元素间的位置关系-r两条直线的位段关系斜交垂直平行直线i空间元素间的位置关系-r两条直线的位段关系斜交垂直平行直线i异面直线「直线在平面内斜交垂直「相交直线直线与平面的位置关系直线与平面相交i直线与平面平行相交两个平面的位置关系:相交两个平面的位置关系:平行、垂直位置关系的转化判定性质空间元素间的数量关系（1）角相交直线所成的角；异面直线所成的角一一转化为相交直线所成的角；直线与平面所成的角一一斜线与斜线在平面内射影所成的角；二面角——用二面角的平面角来气宇。（2）距离两点之间的距离一一连接两点的线段长；点线距离一一点到垂足的距离；点面距离一一点到垂足的距离；平行线间的距离一一平行线上一点到另一直线的距离；异面直线间的距离一一公垂线在两条异面直线间的线段长；线面距离一一平行线上一点到平面的距离；面面距离——平面上一点到另一平面的距离；球面上两点距离一一球面上通过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方式用类比的思想去熟悉面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。注意下面的转化关系：I线线平行►线面平行面面平行线线垂直►线面垂直面面垂直tI在直接证明有困难时，可考虑间接证法，犹如一法和反证法。求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各类具体方式如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与极点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方式一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点别离作两异面直线的平行线，如此就作出了两异面直线所成的角。，构造一个含。的三角形，解三角形即可。方式二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，如此有利于找到两条异面直线所成的角。。求直线与平面所成的角，一般先肯定直线与平面的交点(斜足)，然后在直线上取一点(除斜足外)作平面的垂线，再连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影)，最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方式通常有：①按照概念作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主如果投影法：即在一个平面a上的图形面积为S，它在另一个平面B上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为。，则S'=Scos9O求角和距离的大体步骤是作、证、算。另外还要特别注意融合在运算中的推理进程，推理是运算的基础，运算只是推理进程的延续。如求二面角，只有按照推理进程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键仍是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析】例1如图7-1，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N别离为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点。求证：EF±GF；求证：MN〃平面EFGH；若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。解(1)如图7-2，作GQ±B1C1于Q，连接FQ，贝GQ±平面A1B1C1D1，且Q为BQ］的中点。在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q别离为A］D］、A1B1>B1C1的中点可证明EF±FQ，由三垂线定理得EFXGFo连DG和EGoVN为CL的中点，由正方形的对称性，N也为DG的中点。在ADEG中，由三角形中位线性质得MN#EG，又EG第平面EFGH，MN平面EFGH，AMN〃平面EFGHo图7-3为图7-2的顶视图。连NH和NE。设N到平面EFGH的距离为h，,VE—NGH=VN—HEG7-3TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"113,AA1,SANHG=3・h•SAHEG2212•二=h•—・EH・HG162XVEH^12+22+12=\6,HG=、2—=h•—・16•v2\o"CurrentDocument"2h=E例2如图7-4,已知^ABC中，ZACB=90°,CD±AB,且AD=1,BD=2,AACD绕CD旋转至ACD,使点A‘与点B之间的距离AB=3。求证：BAZ±平面ACD；求二面角A'—CD—B的大小；求异面直线A'C与BD所成的角的余弦值。图7-4解(1).「CDLAB,ACD±A'D,CD±DB,ACD±平面A'BD,ACDXBA'o又在^A'DB中，A'D=1,DB=2,A'B=、3,AZBA'D=90°,即BA'±A'D,ABA'±平面A'CDo(2)VCD±DB,CD±A'D,AZBDA'是二面角A'—CD—B的平面角。又RtAA'BD中，A'D=1,BD=2,

AZAZDB=60°,即二面角A—CD—B为60°。(3)过A‘作AE〃BD，在平面ABD中作DELA'E于E,连CE,则ZCAZE为A'C与BD所成角。VCD±平面A'BD,DE±A'E,「・A'ELCE。VEA'#AB,ZA'DB=60°,AZDA'E=60°,又A'D=1,ZDEA'=90°,1A'E=—2又..•在RtAACB中，AC=\；ADAB=*.A'C=AC=\31A'E2ARtACEA'中，cos/CA'E=^—="=丁,A'Cv'36即异面直线A'C与BD所成角的余弦值为―。6例3已知三棱锥P—ABC中，PAL平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC。求三棱锥P—ABC的体积V；作出点A到平面PBC的垂线段AE,并求AE的长；求二面角A—PC—B的大小。解(1).「PAL平面ABC,PB=PC,由射影定理得，AB=AC=4。•「PAL平面ABC,「・PALAC。在RtAPAC中，可求出PC=5。贝PB=BC=5。取BC中点D,连AD。<39在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=——。.115.59aV=3,2,5,~F•3=4(2)连PD,贝PD±BC，又AD±BC,ABC±平面PADo又BC谿平面PBC,「・平面PAD±平面PBCo作AE±PD于E,则AEL平面PBC,AE为点A到平面PBC的垂线段。5招在RtAPAD中，由PA•AD=AE•PD,PD=『PA2+PD2=——,；395很得3•^―=AE•^―,工3、13求出AE=—^―(3)作AFXPC于F,连EF,由三垂线定理逆定理，得EFLPC,/.ZAFE为二面角A—PC—B的平面角。在RtAPAC中，由PA•AC=PC•AF,即3•4=5•AF,求出AF=?,..AE3(135v13，，SinE=A=5^12=^，贝^ZAFE=arcsin。4例4如图7-7,已知三棱柱A]B]C]—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB,AC均成45°角，且A1E±B1B于E,A1F±CC1于F。求证：平面A1EF±平面B1BCC1；求点A到平面B1BCC1的距离；当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等？S7-7解(1)已知A1E±B1B于E,A1F±C1C于F,且...B1B〃C1C,・・・B1B±A1Fo又A1EnA1F=A1，AB1B±平面A1EFo・.・平面A1EF±平面B1BCC1o(2)因为/ABB-/AAB-/AAC-/ACC一45°11=1=1=11=,AB—AC/AEB—/AFC—90AB—211=11,11=11=,11=,,RtAABE^RfAACFAE-AF-x：2.•IVt_2^11t_2^1i±,]L—^"Y]A—V—,.\B1E^C1F,AEF=B1C1=2,..・A]E2+A1F2—EF2,...△A]EF为等腰直角三角形，取EF的中点N,连A1N，则A1N±EF,VA1N±平面B1BCC1，•「A]N为点A1到平面B]BCC]的距离。又有A]N=；EF=1,所以点A1到平面B1BCC1的距离为1。(3)如图7-8，设BC、B1C1的中点别离为D、D”连AD,DD1和A1D1，则NEDD/fkjr■-■_/s•.•DD1〃BB1〃AA1，.・・A,A1，D,D1四点共面，.・.AD〃A1D1，•••AjADD]为平行四边形。•.RLIATAAMIAizrS=f口—R•B]C]_LA]D],A]N工平面BCC]B],/.B]C1±D1D,又B1C1LA]N,/.B]C1L平面ADD]A],,BCL平面ADD]A],・.・平面A]ADD]L平面ABCo作A]ML平面ABC于M,则点M在AD上。若AMAN又/AAD/ADD/AMA/AND-Q0°TA]—^Y]1、,Z_TA]^VL/—^—TA]"],Z_7A]【YA7A—Z_^*-]]—,则有RtAA]MA^RtAA]ND],于是A]A=A]D]^V3o即当A]A-<3时，点A]到平面ABC和平面B]BCC]的距离相等。例5如图7-9,已知：PDL平面ABCD,ADLDC,AD〃BC,PD：DC：BC=1:1:•巨o求PB与平面PDC所成角的大小；求二面角D—PB—C的正切值；若AD-]BC,求证平面PABL平面PBC。图7-9解(1)由PDL平面ABCD,BC品平面ABCD,得PD±BCO由AD±DC,AD#BC,得BCXDCo又PDnDC=D，贝BC±平面PDCo所以ZBPC为直线PB与平面PDC所成的角。令PD=1，贝DC=1,BC=v'2，可求出PC=；2。由BC±平面PDC,PC第平面PDC,得BCXPCo在RtAPBC中，由PC=BC得ZBPC=45°,即直线PB与平面PDC所成的角为45°o(2)法一：如图7-10，取PC中点E，连DE，则DELPC。由BC±平面PDC，BC显平面PBC，得平面PDC±平面PBCo则DEL平面PBCo作EFXPB于F，连DF，由三垂线定理，得DFLPB。则ZDFE为二面角D—PB—C的平面角。2在RtAPDC中，求得DE="。在Rt在RtAPFE中…1求得EF=$。在RtADEF在RtADEF中tanZDFE=DEEF即二面角D—PB—C的正切值为口。由PDL平面ABCD,PD品平面PDB得平面PDB±平面ABCDo如图7-11,作CHLBD于H,则CHL平面PDB。作HFXPB于F,连CF,由三垂线定理得CFLPB。则ZCFH为二面角D—PB—C的平面角。在等腰RtAPBC中，求出斜边上的中线CF=1。步求出斜边上的高CH=在RtADBC中，求出DB=112=、§,可进在RtAFHC中，求出HF=」1,..・tanZHFC=竺=十2,HF即二面角D—PB—C的正切值是2o(3)如图7-12，取PB中点G,连AG和EG。步求出斜边上的高CH=图7-12由三角形中位线定理得GE〃BC,GE=；BC。由已知，AD〃BC,AD=^BCo.AD=GE,AD〃GE。则四边形AGED为平行四边形，...AG〃DE。由(2)的解法(一)，已证出DEL平面PBC,AAG±平面PBC。又AG品平面PAB,.平面PAB±平面PBC。例6如图7-13,PA上平面ABCD,四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M,N别离是AB,PC的中点，图7-13求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；求证：MN±平面PCD；当AB的长度转变时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围。解(1)PA上平面ABCD,CD±AD,APD±CDO故ZPDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角。在RtAPAD中，PA±AD,PA=AD,.・.NPDA=45°。(2)如图7-14，取PD中点E,连结AE,EN,又M,N别离是AB,PC的中点，图7-14„1„1・.・EN〃二CD〃工AB.•・AMNE是平行四边形=2=2.MN〃AE。在等腰RtAPAD中，AE是斜边的中线。/.AEXPDo又CDLAD,CD±PD/.CD±平面PAD,.CDLAE,又PDCCD=D,・AEL平面PCD。.MNL平面PCDo(3)：AD〃BC,所以ZPCB为异面直线PC,AD所成的角。由三垂线定理知PBLBC,设AB=x(x>0)。xa2+X2・.・tanZPCB=aX又•..一E(0,8),.・.tan/PCBE(1,+8)。a兀兀又ZPCB为锐角，・.・ZPCBE(丁，=),42兀兀即异面直线PC,AD所成的角的范围为(丁，=)。2例7如图7-15，在正三棱柱ABC—A]B]C]中，各棱长都等于a,D、E别离是AC「BB1的中点，07-15求证：DE是异面直线AC1与BB]的公垂线段，并求其长度；求二面角E—AC1—C的大小；求点C1到平面AEC的距离。解(1)过D在面AC1内作FG〃A]C]别离交AA]、CC1于F、G,则面EFG#WABC〃面A]B]C1,.•.△EFG为正三角形，D为FG的中点，EDXFGo连AE,qE・.・D、E别离为AC、BB]的中点，・•・AE=EC]DE1AC]。又•..面EFG±BB],・.・ED项]，故DE为AC]和鸣的公垂线，计算得DE=Wa。(2)・AC=CC],D为AC]的中点,.CD±AC]，又由(1)可知，ED±AC],.ZCDE为二面角E—AC]—C的平面角，计算得ZCDE=90°o或由(1)可得DEL平面AC],・.・平面AEC]±平面AC],...二面角E—AC]—C为90°。<3用体积法得点C]到平面ACE的距离为？-a。例8如图7-16,已知斜三棱柱ABC—A]B]C]的侧棱与底面边长都是2,侧棱与底面成60°的角，且侧面ABB]A]±底面ABC,求证：B]C±C]A；求二面角C]—AB—C的大小；求三棱锥B]—ABC]的体积。阁F-5解（1）作B1DXAB于D,..•侧面ABB1A1±底面ABC,又Bp谿面ABBA，AB1D±底面ABC。AZB1BA=60°o故^ABB1是正角形。AD是AB的中点。连CD,又^ABC是正三角形，ACDXAB。又CD是B1C在平面ABC上的射影，AB1C±ABo又VBB1C1C是菱形,AB1C±BC1oXVABHBC1=B,AB1C±WABC「又•「AC］谿面ABC1,AB1C±C1Ao（2）V2ACC1A1是菱形，AC1A±A1Co又VBCnAC=C,且由（1）知CABC,ACA±面ABCo1111111AC1A±A1B1o又AB〃A1B1oAC1A±ABo连DE,贝DE#C1A,ADE±ABo又CDLAB,・・・ZCDE是二面角C1—AB—C的平面角。在^CDB]中，CD=B]D=t3,/CDB]是直角，且DE平分ZCDB1，AZCDE=45°o（3）由（1）已证B1C±面ABC”一、_BC<6.•.B]E是三棱锥B]—ABC]的高，且B]E=—=--,6QDE=B]E=^,

•.•SqBcYABXAC尸ABXDE=2X%J6,11云6,•V锥耳—北广3S^BC1.B1E=3•J6•项T。例9如图7-17,已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点。证明AB1〃DBC1；假设AB1XBC1,BC=2。求线段AB1在侧面B1BCC]上的射影长。图7图7-噩解(1)如图7-18,VA1B1C1—ABC是正三棱柱，.•・四边形B1BCC]是矩形。连结B1C，交BC1于E,则BE=EC。连结。£。在左AB1C中,VAD=DC,,DE#AB1，XAB1平面DBC1,DE谿平面DBq’.LAB]〃平面DBC1。(2)作AF±BC，垂足为F。因为面ABC±面B1BCC1,ahI习2而T)口八八挥々士RnfjlllRn阜AR左习2币fr>"RLLHh白影••IAR•AF工平面B[BCC[。连三口B[F，则VB[F/是AB["^在平面B[BCC[内的U射丫影。・BC[_LAB[，•口八Inn*•m汕形r)口LL阜仝日形•/口op—/DLL—0(1°V/TTRn_/C口L•..BC[_LB[F。.四边^形B[BCC[^是矩形，••匕B[BF—匕BCC[—9U，乂匕FB[B—匕C[BC，•.AB1BF^ABCC1，BBBFBF则bC=——=BB。又F为正三角形ABC的BC边中点，因此B]B2—BF・BC=1XC112-2。于是B1F2—B1B2+BF2=3，AB1F^'3，即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为，百。例1U如图7-19(a)，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且匕C1CB—ZBCD—6U°O证明：C]CLBD；3假定CD