2021-2022学年山东省德州市庆云县八年级(上)期中数学试卷(附详解)

PAGE324页学年ft东省德州市庆云县八年级（上）学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）以下标志，其中是轴对称图形的有几( )A.1 B.2 C.3 D.4若一个多边形的内角和540°，则该多边形( 边形．A.四 B.五 C.六 D.七A.B.C.D.若𝑃(𝑎+1,2−2𝑎)关𝑥轴的对称点在第四象限𝑎A.B.C.D.4. (图中所标4. (图中所标4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一与原来大小一样的三角形玻璃？应该带块去，这利A.2；𝑆𝐴𝑆 B.4；𝐴𝑆𝐴 C.2；𝐴𝐴𝑆 D.4；𝑆𝐴𝑆在等腰三角𝐴𝐵𝐶中，它的两边长分别8𝑐𝑚3𝑐𝑚，则它的周长( )A.19𝑐𝑚 B.19𝑐𝑚14𝑐𝑚 C.11𝑐𝑚 D.10𝑐𝑚. 𝑡△𝐶𝐴=°𝐴𝐶𝐷𝐸𝐷=𝐸；分别以𝐷，𝐸为圆心、以大于1𝐷𝐸的长为半径作弧，两弧在∠𝐴𝐵𝐶内交于点𝐹；作射2线𝐵𝐹𝐴𝐶于𝐻.若𝐻𝐴=2，𝑃为𝐵𝐶上一动点，𝐻𝑃的最小值( )2

1 C.1 D.无法确定7. 𝐶7. 𝐶在𝐹𝐷的延长线上，=∠𝐴𝐶𝐵==∠𝐷𝐵𝐶的度数( )A.45°B.25°C.15°8. 如图，△8. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐷𝐸𝐹分别为𝐵𝐶𝐴𝐷𝐶𝐸的中点△𝐶的面积𝑚2则阴影部分面积等( A.2𝑐𝑚2B.1𝑐𝑚2C.1𝑐𝑚24. △𝐶. △𝐶𝐵=5𝐶=𝐷𝐷𝐶，𝐵𝐷𝐶𝐵𝐶于𝐸𝐹△的周长( )A.12131410. 10. △𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝐵𝐶𝐷△𝐴𝐵𝐶=3𝑐𝑚，则△𝐴𝐶𝐷的周长( )A.22𝑐𝑚B.19𝑐𝑚C.13𝑐𝑚D.7𝑐𝑚等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角30°，则顶角的度数( )A.60° B.120° C.60°150° D.60°或120°𝑥𝑂𝑦𝐴(0,2)𝑂𝐴为边在右侧作等边三角𝑂𝐴𝐴1，过𝐴1𝑥轴的垂线，垂足为𝑂1𝐴1为边在右侧作等边三角再过𝐴2𝑥轴的垂线垂足为𝑂2𝐴2为边在右侧作等边三角形按此规律继续作下去得到等边三角𝐴2020𝐴2021则𝐴2023的纵坐标( )A.2

B.2

C.2

D.(1)2024214. 14. △𝐴𝐵𝐶==𝑚是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边的垂直平分线，𝑃是直线上的一动点，△𝐴𝑃𝐶周长的最小值．.如图.如图已𝐵=𝐷1=请你添加一个条件，使△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，你添加的条件.(不添加任何字母和辅助). △𝐶𝐷，𝐴𝐸. △𝐶𝐷，𝐴𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线，若∠𝐴𝐵𝐶=30°；16. 16. =⊥𝐴𝐵于⊥𝐴𝐵于𝐴𝐶=𝑚𝑃点𝐵𝐴运动每分钟𝑚𝑄点𝐵𝐷运动，每分钟𝑄两点同时出发，运分钟△𝐶𝐴𝑃与△𝑃𝑄𝐵全等．17. ===∠𝐸𝐶𝐷=90°，且∠𝐸𝐵𝐷=53°，∠𝐴𝐸𝐵= ．20. 𝑂𝐴、𝑂𝐵，在交叉路口附近有两块宣传牌𝐶、𝐷，学校准备在这里安装一盏路灯，要求424页18.如图，𝐴，𝐶，𝐸在同一直线上，分别以𝐴𝐶，𝐶𝐸为边在𝐴𝐸同侧作等边△𝐴𝐵𝐶和等边18.如图，𝐴，𝐶，𝐸在同一直线上，分别以𝐴𝐶，𝐶𝐸为边在𝐴𝐸同侧作等边△𝐴𝐵𝐶和等边△𝐶𝐷𝐸，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝑂，𝐴𝐷与𝐵𝐶交于点𝑃，𝐵𝐸与𝐶𝐷于点𝑄，连接𝑃𝑄.①𝐴𝐷=𝐵𝐸；②𝑃𝑄//𝐴𝐸；③𝐴𝑃=𝐵𝑄；④𝐷𝐸=三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. (1)(2)中𝑥的值．PAGE1324页灯柱的位置𝑃离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置𝑃.(不写画图过程，保留作图痕迹). △𝐶)，𝐶(−1,3)．(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴的对称图形△𝐴1𝐵1𝐶1．(2)画出△𝐴1𝐵1𝐶1向下平移5个单位长度后得到的△𝐴2𝐵2𝐶2．𝐴𝐶𝑀(𝑎𝑏)𝐴2𝐶2𝑀2的坐标是 ．(4)△𝐴𝐵𝐶的面积．22. 𝐴𝑃在𝐵𝑃60°，求：(1)此时轮船与小岛𝑃的距离𝐵𝑃是多少海里．𝑃礁的危险？请说明理由．23. △𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝑂𝑀𝐴𝐶𝑂𝑁𝐵𝐶𝐷、𝐸．(1)若∠𝐴𝐵𝐶=30°，∠𝐴𝐶𝐵=40°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数；(2)已知△𝐴𝐷𝐸的周长11𝑐𝑚，分别连接𝑂𝐴、𝑂𝐵、𝑂𝐶，若△𝑂𝐵𝐶的周长为27𝑐𝑚，求𝑂𝐴的长．24. 𝑃𝑄△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵𝐵𝐶()𝑃𝑄以相同𝐴𝐵出发．(1)如图1，连接𝐴𝑄、𝐶𝑃.求证：△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃；(2)如图1，当点𝑃、𝑄分别在𝐴𝐵、𝐵𝐶边上运动时，𝐴𝑄、𝐶𝑃相交于点𝑀，∠𝑄𝑀𝐶的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(3)如图2，当点𝑃、𝑄在𝐴𝐵、𝐵𝐶的延长线上运动时，直线𝐴𝑄、𝐶𝑃相交于𝑀，∠𝑄𝑀𝐶的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．25. (1)△𝐴𝐵𝐶==𝑚⊥直线𝑚，𝐶𝐸⊥𝑚𝐷、𝐸.=𝐵𝐷+𝐶𝐸．(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷、𝐴、𝐸三点都在直线𝑚上，并且有∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，其中𝛼为任意锐角或钝角．请问结论𝐷𝐸=𝐵𝐷+𝐶𝐸是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．𝐸𝐷𝐴𝐸𝑚(𝐷𝐴𝐸三点互不重合)，点𝐹为∠𝐵𝐴𝐶平分线上的一点，且△𝐴𝐵𝐹和△𝐴𝐶𝐹均为等边三角形，连接𝐵𝐷、𝐶𝐸，若∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐴𝐶，试判断△𝐷𝐸𝐹的形状．答案和解析𝐵【解析】解：第一个、第二个图形不是轴对称图形，第三、四个图形是轴对称图形，共2个轴对称图形，故选：𝐵．这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．𝐵【解析】解：由多边形的内角和公式可得(𝑛−2)×180°=540°解得：𝑛=5故选：𝐵．根据多边形的内角和的公式(𝑛−2)×180°=540°，解方程即可求出𝑛的值．本题考查的是多边形的内角和，利用内角和公式进行列方程解决是本题的关键．𝐶【解析】解：∵点𝑃(𝑎+1,2−2𝑎)关于𝑥轴的对称点在第四象限，∴点𝑃在第一象限，在数轴上表示为：，解得：−1<𝑎<1在数轴上表示为：，

∴{𝑎+1>02−2𝑎>0故选：𝐶．由𝑃点关于𝑥轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．𝑥𝑦组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．𝐵【解析】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故选：𝐵．根据全等三角形的判断方法解答．本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．𝐴8𝑐𝑚+8+3=19𝑐𝑚．当腰长为3𝑐𝑚时，三边长为：3，3，8，3+3<8，不能构成三角形．故三角形的周长为19𝑐𝑚．故选：𝐴．等腰三角形的两腰相等，应讨论当8为腰或3为腰两种情况求解．才能构成三角形．𝐴【解析】解：根据作图过程可知：𝐵𝐻平分∠𝐴𝐵𝐶，当𝐻𝑃⊥𝐵𝐶时，𝐻𝑃最小，∴𝐻𝑃=𝐻𝐴=2．故选：𝐴．根据作图过程可得𝐵𝐻平分∠𝐴𝐵𝐶，当𝐻𝑃⊥𝐵𝐶时，𝐻𝑃最小，根据角平分线的性质即可得𝐻𝑃的最小值．本题考查了作图−复杂作图，垂线段最短，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．𝐶【解析】解：由题意可得：∠𝐸𝐷𝐹=45°，∠𝐴𝐵𝐶=30°，∵𝐴𝐵//𝐶𝐹，∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐸𝐷𝐹=45°，∴∠𝐷𝐵𝐶=45°−30°=15°．故选：𝐶．直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠𝐴𝐵𝐷=45°，进而得出答案．此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠𝐴𝐵𝐷的度数是解题关键．𝐵【解析】【分析】(相等，其中一个三角()𝐹是𝐶𝐸△𝐵𝐸𝐹△𝐵𝐸𝐶𝐵𝐸𝐹△𝐵𝐸𝐶的高；同理，𝐷、𝐸、分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷的中点，可得△𝐸𝐵𝐶的面积是△𝐴𝐵𝐶面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【解答】解：如图，点𝐹是𝐶𝐸的中点，∴△𝐵𝐸𝐹的底是𝐸𝐹，△𝐵𝐸𝐶的底是𝐸𝐶，即𝐸𝐹=1𝐸𝐶，而高相等，22∴𝑆△𝐵𝐸𝐹=1𝑆△𝐵𝐸𝐶，2∵𝐸是𝐴𝐷的中点，∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=1𝑆△𝐴𝐵𝐷，𝑆△𝐶𝐷𝐸=1𝑆△𝐴𝐶𝐷，2 22∴𝑆△E𝐵𝐶=1𝑆△𝐴𝐵𝐶，24∴𝑆△𝐵E𝐹=1𝑆△𝐴𝐵𝐶，且𝑆△𝐴𝐵𝐶=4，4∴𝑆△𝐵E𝐹=1，即阴影部分的面积为1．故选：𝐵．𝐵【解析】解：∵E𝐹//𝐵𝐶，∴∠E𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐷𝐶𝐵，∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝐷，∴∠E𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐵，∴∠E𝐷𝐵=∠E𝐵𝐷，∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐹𝐶𝐷，∴E𝐷=E𝐵，𝐹𝐷=𝐹𝐶，∵𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=8，∴△𝐴E𝐹的周长为：𝐴E+E𝐹+𝐴𝐹=𝐴E+E𝐷+𝐹𝐷+𝐴𝐹=𝐴E+E𝐵+𝐹𝐶+𝐴𝐹=𝐴𝐵+𝐴𝐶=5+8=13．故选：𝐵．根据平行线的性质得到∠E𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐷𝐶𝐵，根据角平分线的性质得到∠E𝐵𝐷∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐹𝐶𝐷∠𝐷𝐶𝐵∠E𝐷𝐵∠E𝐵𝐷，∠𝐹𝐷𝐶∠𝐹𝐶𝐷，于E𝐷=E𝐵，𝐹𝐷=𝐹𝐶，即可得到结果．此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△𝐵𝐷E与△𝐶𝐷𝐹是等腰三角形是解此题的关键．𝐶【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶的周长为19𝑐𝑚，∴𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶=19𝑐𝑚，∵𝐷E是𝐴𝐵的垂直平分线，𝐴E=3𝑐𝑚，∴𝐷𝐴=𝐷𝐵，𝐴𝐵=2𝐴E=6(𝑐𝑚)，∴𝐴𝐶+𝐵𝐶=19−6=13(𝑐𝑚)，∴△𝐴𝐶𝐷的周长=𝐴𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐴=𝐴𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶=13(𝑐𝑚)，故选：𝐶．根据线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐴=𝐷𝐵，𝐴𝐵=2𝐴𝐸=6(𝑐𝑚)，根据三角形的周长公式计算，得到答案．的距离相等是解题的关键．𝐷【解析】解：当高在三角形内部时(【解析】解：当高在三角形内部时(如图1)，顶角是60°；当高在三角形外部时(如图2)，顶角是故选：𝐷．120°𝐵∴𝑂𝐴1=𝑂𝐴=2，∠𝐴𝑂𝐴1=60°，∴𝑂𝐴1=𝑂𝐴=2，∠𝐴𝑂𝐴1=60°，∴∠𝑂1𝑂𝐴1=30°．在直角△𝑂1𝑂𝐴1中，∵∠𝑂𝑂1𝐴1=90°，∠𝑂1𝑂𝐴1=30°，∴𝑂1𝐴1=𝑂𝐴1=1，即点𝐴1的纵坐标为1，同理，𝑂1𝐴1=𝑂1𝐴1=(1)1，𝑂3𝐴3=𝑂2𝐴3=(1)2，2 22𝐴(1)1，223点𝐴(1)2，32…2∴点𝐴2023的纵坐标为(1)2022．2故选：𝐵．根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出𝑂1𝐴1=1𝑂𝐴1=1，𝑂2𝐴2=1𝑂1𝐴2=(1)1，2 2 23𝐴3=12𝐴3=(1)21𝐴2(1𝐴3(1)2，2 2 2 2以此类推，从中得出规律，即可求出答案．此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．13.【答案】𝐴𝐶=𝐴𝐸或∠𝐵=∠𝐷或∠𝐶=∠𝐸【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠𝐷𝐴𝐶=∠2+∠𝐷𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸．又∵𝐴𝐷=𝐴𝐸，∴可以添加𝐴𝐶=𝐴𝐸，此时满足𝑆𝐴𝑆；添加条件∠𝐵=∠𝐷，此时满足𝐴𝑆𝐴；添加条件∠𝐶=∠𝐸，此时满足𝐴𝐴𝑆，故答案为：𝐴𝐶=𝐴𝐸或∠𝐵=∠𝐷或∠𝐶=∠𝐸．根据图形可知证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐵已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用𝐴𝑆𝐴、𝑆𝐴𝑆、𝐴𝐴𝑆证明两三角形全等．法．【解析】解：∵【解析】解：∵直线𝑚是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边的垂直平分线，∴𝐵𝑃=𝐶𝑃，∴△𝐴𝐶𝑃的周长=𝐴𝑃+𝑃𝐶+𝐴𝐶=𝐵𝑃+𝐴𝑃+𝐴𝐶≥𝐴𝐵+𝐴𝐶，∴当𝐴𝐵𝑃𝐴𝐶𝑃的周长最小，1424页PAGE2424页∵𝐴𝐵=9，𝐴𝐶=4，∴△𝐴𝐶𝑃的周长9+4=13，∴△𝐴𝐶𝑃的周长最小值为13，故答案为13．当𝐴、𝐵、𝑃三点共线时，△𝐴𝐶𝑃的周长最小，最小值为𝐴𝐵+𝐴𝐶的长．本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．15°【解析】解：∵∠𝐵+∠𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=180°，∠𝐴𝐵𝐶=30°，∠𝐴𝐶𝐵=60°，∴∠𝐵𝐴𝐶=180°−30°−60°=90°．∵𝐴𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，∴∠𝐵𝐴𝐸=1∠𝐵𝐴𝐶=45°．2∵∠𝐴𝐸𝐶为△𝐴𝐵𝐸的外角，∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐸=30°+45°=75°．∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，∴∠𝐴𝐷𝐸=90°．∴∠𝐷𝐴𝐸=90°−∠𝐴𝐸𝐶=90°−75°=15°．先根据三角形内角和可得到∠𝐶𝐴𝐵=180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵=90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠𝐶𝐴𝐸=1∠𝐶𝐴𝐵=45°，∠𝐴𝐷𝐶=90°，求出∠𝐴𝐸𝐶，然后利用∠𝐷𝐴𝐸=290°−∠𝐴𝐸𝐶计算即可．本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4【解析】解：∵𝐶𝐴⊥𝐴𝐵于𝐴，𝐷𝐵⊥𝐴𝐵于𝐵，∴∠𝐴=∠𝐵=90°，设运动𝑥分钟后△𝐶𝐴𝑃与△𝑃𝑄𝐵全等；则𝐵𝑃=𝑥𝑚，𝐵𝑄=2𝑥𝑚，则𝐴𝑃=(12−𝑥)𝑚，分两种情况：①若𝐵𝑃=𝐴𝐶，则𝑥=4，𝐴𝑃=12−4=8，𝐵𝑄=8，𝐴𝑃=𝐵𝑄，∴△𝐶𝐴𝑃≌△𝑃𝐵𝑄；②若𝐵𝑃=𝐴𝑃，则12−𝑥=𝑥，解得：𝑥=6，𝐵𝑄=12≠𝐴𝐶，此时△𝐶𝐴𝑃与△𝑃𝑄𝐵不全等；综上所述：运动4分钟后△𝐶𝐴𝑃与△𝑃𝑄𝐵全等；故答案为：4．设运动𝑥分钟后△𝐶𝐴𝑃与△𝑃𝑄𝐵全等；则𝐵𝑃=𝑥𝑚，𝐵𝑄=2𝑥𝑚，则𝐴𝑃=(12−𝑥)𝑚，分两种情况：①若𝐵𝑃=𝐴𝐶，则𝑥=4，此时𝐴𝑃=𝐵𝑄，△𝐶𝐴𝑃≌△𝑃𝐵𝑄；②若𝐵𝑃=𝐴𝑃，则12−𝑥=𝑥，得出𝑥=6，𝐵𝑄=12≠𝐴𝐶，即可得出结果．本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．143°【解析】解：∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷=90°，∴∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐵𝐶𝐸，即∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，在△𝐵𝐷𝐶和△𝐴𝐸𝐶中，𝐵𝐶=𝐴𝐶{∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，𝐷𝐶=𝐸𝐶∴△𝐵𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)，∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐸𝐴𝐶，∵∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐸𝐵𝐶=53°，∴∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐸𝐵𝐶=53°，∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐴𝐵=90°−53°=37°，∴∠𝐴𝐸𝐵=180°−(∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐴𝐵)=180°−37°=143°．故答案为：143°．先证明△𝐵𝐷𝐶≌△𝐴𝐸𝐶，进而得到角的关系，再由∠𝐸𝐵𝐷的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．此题考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是熟记全等三角形的判定与性质并充分利用角的和差的转化关系进行求解．①②③⑤【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸是等边三角形，∴𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷=60°，∴180°−∠𝐸𝐶𝐷=180°−∠𝐴𝐶𝐵，即∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，在△𝐴𝐶𝐷与△𝐵𝐶𝐸中，𝐴𝐶=𝐵𝐶{∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，𝐶𝐷=𝐶𝐸∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐴𝐷=𝐵𝐸，故①小题正确；∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(已证)，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐸，∵∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐵𝑃𝑂，∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=60°，故⑤小题正确；∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷=60°(已证)，∴∠𝐵𝐶𝑄=180°−60°×2=60°，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐶𝑄=60°，在△𝐴𝐶𝑃与△𝐵𝐶𝑄中，∠𝐶𝐴𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐸{𝐴𝐶=𝐵𝐶 ，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐶𝑄=60°∴△𝐴𝐶𝑃≌△𝐵𝐶𝑄(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐴𝑃=𝐵𝑄，故③小题正确；𝑃𝐶=𝑄𝐶，∴∠𝐶𝑃𝑄=60°，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝑃𝑄∴∠𝐶𝑃𝑄=60°，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝑃𝑄，∴𝑃𝑄//𝐴𝐸，故②小题正确；∵𝐴𝐷=𝐵𝐸，𝐴𝑃=𝐵𝑄，∴𝐴𝐷−𝐴𝑃=𝐵𝐸−𝐵𝑄，即𝐷𝑃=𝑄𝐸，∵∠𝐷𝑄E=∠E𝐶𝑄+∠𝐶E𝑄=60°+∠𝐶E𝑄，∠𝐶𝐷E=60°，∴∠𝐷𝑄E≠∠𝐶𝐷E，∴𝐷E≠𝑄E，∴𝑃𝐷≠𝐷E，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③⑤．故答案为：①②③⑤．60°△𝐴𝐶𝐷与△𝐵𝐶E全等，根据𝐴𝐷=𝐵E∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵E，△𝐴𝐶𝑃与△𝐵𝐶𝑄𝑃𝐶=𝑃𝑄△𝐶𝑃𝑄是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明𝑃𝑄//𝐴E，所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出𝐴𝑃=𝐵𝑄，所以③正确，根据③可推出𝐷𝑃=E𝑄，再根据△𝐷E𝑄的角度关系𝐷E≠𝐷𝑃．𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶E是解题的关键．由三角形外角的性质可得，𝑥+65=𝑥+(𝑥−5)，解得𝑥=70；(2)因为四边形的内角和是360°，所以𝑥+(𝑥+10)+60+90=360，解得𝑥=100．【解析】(1)根据三角形的外角性质列出方程，解方程得到答案；360°列方程即可得到结论．本题考查三角形外角的性质和多边形的内角和，能够根据题意列出方程是解题关键．20.【答案】解；如图，点𝑃20.【答案】解；如图，点𝑃为所作．【解析】分别作线段𝐶𝐷的垂直平分线和∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，它们的交点即为点𝑃．答此题的关键．21.【答案(−𝑎,𝑏−5) 3【解析】解：(1)如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；(2)如上图所示，△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求；点𝑀(−𝑎,𝑏)(−𝑎,𝑏−5)，𝑏−5)；2 2 (4)𝑆△𝐴𝐵𝐶=4×2−1×1×2−1×2×2−1×1×42 2 =3，故答案为：3．(1)根据轴对称的性质，画出点𝐴、𝐵、𝐶的对称点即可；(2)根据平移的性质即可画图；(3)点𝑀经过第一次变换后坐标为(−𝑎,𝑏)，经过第二次变换后的坐标为(−𝑎,𝑏−5)；(4)用矩形面积减去周围三个三角形面积即可．本题是作图−平移变换，轴对称变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解题的关键．22.【答案】解：22.【答案】解：(1)过𝑃作𝑃𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，∵∠𝑃𝐵𝐷=90°−60°=30°且∠𝑃𝐵𝐷=∠𝑃𝐴𝐵+∠𝐴𝑃𝐵，∠𝑃𝐴𝐵=90°−75°=15°∴𝐵𝑃=𝐴𝐵=7(海里)．(2)由(1)得∠𝑃𝐵𝐷=30°，∴𝑃𝐷=1𝑃𝐵=3.5>3，2∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．△𝐴𝑃𝐵是等腰三角形是解决本题的关键．𝑃作𝐵𝐷△𝐷𝐷△是等腰三角形，即可求解；𝑃𝐷海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．23.【答案】解：(1)∵∠𝐴𝐵𝐶=30°，∠𝐴𝐶𝐵=40°，∴∠𝐵𝐴𝐶=180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐶𝐵=180°−30°−40°=110°，∵𝐷𝑀是线段𝐴𝐵的垂直平分线，∴𝐷𝐴=𝐷𝐵，∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=30°，同理，𝐸𝐴=𝐸𝐶，∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=40°，∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐸𝐴𝐶=110°−30°−40°=40°；(2)连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝐶，∵△𝐴𝐷𝐸的周长11𝑐𝑚∴𝐴𝐷+𝐷𝐸+𝐸𝐴=11(𝑐𝑚)，∴𝐵𝐶=𝐷𝐵+𝐷𝐸+𝐸𝐶=𝐴𝐷+𝐷𝐸+𝐸𝐴=11(𝑐𝑚)；∵△𝑂𝐵𝐶的周长为27𝑐𝑚，∴𝑂𝐵+𝑂𝐶+𝐵𝐶=27(𝑐𝑚)，∵𝐵𝐶=11𝑐𝑚，∴𝑂𝐵+𝑂𝐶=16(𝑐𝑚)，∵𝑂𝑀垂直平分𝐴𝐵，∴𝑂𝐴=𝑂𝐵，同理，𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=8(𝑐𝑚)．【解析】(1)求出∠𝐵𝐴𝐶=110°，根据线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐴=𝐷𝐵，𝐸𝐴=𝐸𝐶，可求出答案；(2)连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝐶，根据三角形的周长公式求出𝑂𝐵+𝑂𝐶，根据线段垂直平分线的性质得到𝑂𝐵=𝑂𝐶，计算即可．的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．24.【答案】解：(1)证明：如图1，∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形∴∠𝐴𝐵𝑄=∠𝐶𝐴𝑃=60°，𝐴𝐵=𝐶𝐴，又∵点𝑃、𝑄运动速度相同，∴𝐴𝑃=𝐵𝑄，在△𝐴𝐵𝑄与△𝐶𝐴𝑃中，∴△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃(𝑆𝐴𝑆)；

𝐴𝐵=𝐶𝐴{∠𝐴𝐵𝑄=∠𝐶𝐴𝑃,𝐴𝑃=𝐵𝑄(2)点𝑃、𝑄在𝐴𝐵、𝐵𝐶边上运动的过程中，∠𝑄𝑀𝐶不变．理由：∵△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃，∴∠𝐵𝐴𝑄=∠𝐴𝐶𝑃，∵∠𝑄𝑀𝐶是△𝐴𝐶𝑀的外角，∴∠𝑄𝑀𝐶=∠𝐴𝐶𝑃+∠𝑀𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝑄+∠𝑀𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶∵∠𝐵𝐴𝐶=60°，∴∠𝑄𝑀𝐶=60°；2𝑃、𝑄𝐴𝐵、𝐵𝐶上运动时，∠𝑄𝑀𝐶不变𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃，∴∠𝐵𝐴𝑄=∠𝐴𝐶𝑃，∵∠𝑄𝑀𝐶是△𝐴𝑃𝑀的外角，∴∠𝑄M𝐶=∠𝐵𝐴𝑄+∠𝐴𝑃M，∴∠𝑄M𝐶=∠𝐴𝐶𝑃+∠𝐴𝑃M=180°−∠𝑃𝐴𝐶=180°−60°=120°，即若点𝑃、𝑄在运动到终点后继续在射线𝐴𝐵、𝐵𝐶上运动，∠𝑄M𝐶的度数为120°．【解析】(1)根据等边三角形的性质，利用𝑆𝐴𝑆证明△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃即可；(2)先判定△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃，根据全等三角形的性质可得∠𝐵𝐴𝑄=∠𝐴𝐶𝑃，从而得到∠𝑄M𝐶=60°；(3)先判定△𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃，根据全等三角形的性质可得∠𝐵𝐴𝑄=∠𝐴𝐶𝑃，从而得到∠𝑄M𝐶=120°．25.【答案】证明：(1)∵𝐵