安徽师范大学大一公共课高等数学试卷及答案

安徽师范大学20XX--20XX高等数学A(二)试题与答案一、填空题(2×5=10分)1. 点(2,1,1)xyz10的距离为3. xy x2limxxy

y2

0.交换积分次序

2dx

f(x,y)dydy2

f(x,y)dx.sinx1 sinx1

arcsiny

2,1x0f(x2,(-1,1]f(x)x3,0x1

f(x)的Fourier级数3在x=1处收敛于2.5u=xyz在点(1,1,1)(2,2,1)3.二、选择题(2×5=10分)x2y2fx2y2

在点(0,0)处 ( A )连,但偏导数不存; B.不连;且偏导数不存;C.不连;但偏导数存; D.连,且偏导数存.设第二类曲面积分I1

xyzdzdx,IS 2

xy2zdzdx,其中Sx2y2z21,方向取上SA侧,若S为S在第一卦限部,且与S方向一,则 ( )A1I I1

0; B. I1

0,I2

2S1

xy2zdzdx;C. I1

2S1

xyzdzdx,I2

2xy2zdzdx D. IS 11

2xyzdzdx,I 0S 21设R3内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于P,Q,R在内连续可导，若曲线积分PdxQdy只依赖于曲线L不正确LD的是 （ ）D对内任意光滑闭曲线C，曲线积分C

PdxQdyRdz0；存在上某个三元函数u(x,y,z),使得duPdxQdyRdz;P等式

Q,R

P,

R

在开区域内恒成立;y x x z z yP等式

0在开区域.x y z设函数f(x,y)在开区域D内有二阶连续偏导,且f(x,y)=f (x,y)=0.则下列为f(x,y)在点x 0 0 y 0 0A(x,y)处取极小值的充分条件的是 ( )A0 0A. f (x,y)>0, f (x,y)f (x,y)-xx 0 0 xx 0 0 yy 0 0B. f (x,y)>0, f (x,y)f (x,y)-fxx 0 0 xx 0 0 yy 0 0C. f (x,y)<0, f (x,y)f (x,y)-fxx 0 0 xx 0 0 yy 0 0D. f (x,y)<0, f (x,y)f (x,y)-xx 0 0 xx 0 0 yy 0 0

2 (x,y)>0;xy 0 02 (x,y)<0;xy 0 02 (x,y)>0;xy 0 02 (x,y)<0.xy 0 0A设函数uf(x,y,z)具有二阶连续偏导,则divgrad f= ( )Afxx

f +fyy

; B. f+fx y

+f; C. (f,fz x

,f); D. (f ,f ,f ).z xx yy zz三、计算题(10×3+12×2=54分)设平面xayzb0zx

y2在点(1,1,2)处的法线ab的值.解解:设F(x,y,z)x2y2z则曲面S在点(1,1,2)处的法向量为:(F(F,F,F) (2x,2y,1)x y z (1,1,2)(2,2,1)(2,2,1)由题设可知平面∏通过法线L,故:1a2b0即ab12a30,由此解得a ,b3252.计算第二类曲线积分L

ydxxdy ,其中L为正方形边界x y 1,取顺时针方. x2y2解解:P(x,y)yx2y2,Q(x,y)xx2y2,则I=PdxQdy,L当x当x2y20时, (Qx2y2Pxx2 y2 2 )y.C:x2y220充分小,C完全位L,取逆时针方向。设D为由L与C,则由Green公式得PdxQdy(QP)dxdy0.所以LCD PdxQdyPdxQdy2sin)(sin)cos)cos)LC=2d2.002计算第一类曲面积分 z dS,其中∑为圆柱面x

y

R2(R0介于平面z=0z=hx2y2z2(h>0).解法(一):x=Rcosu,y=Rsinu,z=v,则∑对应于解法(一):x=Rcosu,y=Rsinu,z=v,则∑对应于D:0u,0vh.x Rsinu,yuRcosu,z0x 0y 0z 1ER2F0GuuvvvEGF2R.于是,DvR2vRdudvR2duh00vR2v2dvR1ln(R2v2)h2h2)2lnR]ln20R2h2R解法(二):S:x1R2y2,(y,z)D :RyR,0zhyzx yyR2y2,x z1x2x2yzR.由对称性有:R2y2zx2y2z2dS2zR2zRR2y2dydz2RRRdyR2y2h0zdzR2zDyzRarcsinyRRRln(R2z) 2RlnR2h2ln2 h02R2R2h2R将函数f(x)arctanx展开成x,并求级数n0

(1)n2n

的和.解:∵解:∵f(x)11xn0(1)n(x2)nn0(1)nx2n,∴∴f(x)xft)dtf(0)(1)nxt d()2nn0n00n0x2n12n1此级数的收敛域为[-1,1],又因为f(x)在x=1,令x=1,:n0(1)n2n1f(1)4f(u,zf(exsiny,(1)求2z,2z ;2 2解:∵解:∵xf(u)xf(u)exsiny,yf(u)yf(u)excosyzuzu∴x2z2f(u)e2xsin2yf(u)exsiny, f(u)e2xcos2yf(u)exsiny2zy2(2)zf(exsiny

2z2

e2xz ,f(u)2 2解:将解:将(1)中结果代入方程,得f(u)e2xe2xz 即:f(u)f(u)0这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,相应的特征方程为210特征根为 11 2f(u)CeuCeu,其中CC121 2为任意常数。四、应用题(10×1+6×1=16分)解:设所围成的圆的半径为x,长方形的长、宽分别为y,z。原问题转化为求函数l的铁丝分割成两段解:设所围成的圆的半径为x,长方形的长、宽分别为y,z。原问题转化为求函数SSx2yz在条件x2(yz)l,Lagrange函数L(x,y,z,)2yz(2x2y2zl)。L 0,xL z20,Lyzy2,L x2yzl0xyz2,L0lxl,yzl4解:M(x,y)ds1x 14x2dx114解:M(x,y)ds1x 14x2dx114x2)32L 012101(5 512五、证明题(6×1+4×1=10分)证明级数n1

n1(1)nln .n证明证明lnn11)nnn的单调递减,且lim1)0。故由Leibniz判别法知,nnn1(1)nlnn1n收敛。而limnlnn1n1nlimnlnn1nn1且 发散, 故由比较判别法可知nnn1lnn1发散。综上所述,原级数条件收敛。n19. 设空间闭区域可表示为y,z)/0xxyxzy.若f(t)在[0,1] 上连续, 且F(xyz)f(xfyf(z.:

F(x,y,z)dxdydz

1[1

f(t)dt]36 0左边=左边=1dx1dyyf(x)f(y)f(z)dz1dx1