保险精算练习题

1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款,（1）在每年10％的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。解：(1）5000×（1+4×10%）=7000（元）（2)5000×（1+10%）4。33=7556.8（元）2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年终的存款累计额。解：5000(1+8%）5×（1+11%）5=12385（元）3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11％下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值.解：（1）10000×（1+11％)—4=5934。51(元）2）10000×(1—11%）4=6274.22（元）4．假定1000元在半年后成为1200元，求⑴i(2)，⑵i,⑶d(3)。解：⑴1000(1i(2))1200；因此i(2)0.42⑵1i(1i(2))2；因此i0.442⑶(1i(m))m1i(1d)1(1d(n))n；mn因此，(1d(3))3(1i)1；d(3)0.3433535．当n1时，证明:dd(n)i(n)i。证明：①dd(n)因为，1d(1d(n))nCn01Cn1d(n)Cn2(d(n))2Cn3(d(n))3nnnnd(n)因此获得，dd(n);②d(n)d(n)m(1em);em1Cn2()2Cn3()3Cn4()41mmmmm因此，d(n)m[1(1)]m③i(n)[1i(n)]n1i，即，nln(1i(n))ln(1i)nn因此，i(n)n(en1)en1mCn2()2Cn3()3Cn4()41mmmmi(n)n[(1)1]n④i(n)i[1i(n)]n1i，[1i(n)]nCn01Cn1i(n)Cn2(i(n))21i(n)nnnn因此，i(n)i6．证明以下等式成立,并进行直观解说：⑴amnavmamn；解：amn1vmn1vm,vmanvm1vnvmvmni,amiii因此,avma1vmvmvmnamnmni⑵aavmsmnmn；1vmn1vmvmvmn，am解：amnvmsnii，i因此，amvms1vmvmvmnamnniss(1i)ma⑶mnmn；(1i)m1(1i)ms(1i)m(1i)n1(1i)mn(1i)ms解：mi，nii因此,s(1i)man(1i)m1(1i)mn(1i)msmimn⑷ss(1i)ma。mnmn解:（同上题)略.7．某人今年30岁,其计划每年初存300元，共存30年成立个人存款能从60岁退休开始每年年终获得固定金额，共能领取20年.假定存款利率在前十年为6％，后20年为12%，求每年能取的养老金额。解：s30s10(1i2)20s20(1i1)101(1i2)20(1i2)101i1i2因此60岁时存款有300s3059759.5（元）由此知,Xa20s20，可得X=7774。12(元)8．某单位在20年内每年存入银行5000元成立员工奖赏基金。从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金额奖赏一名有突出贡献的员工，这类奖赏形式将永久连续下去。假定存款的利率为8％，求每次可以提取的最大金额。解:XAX15000s20228809.82。因此X18304.79(元)i9．证明：⑴aisan；nan11vn1vnii证明：anians1(1i)1i,因此ansan11en⑵an；1vn1(1in)1(e)n1enanen1⑶sn

.证明：

(1i)sn

n1(e)n1en110．假定每年第一年收付200元，此后每隔一年增添收付100元,增添到一次收付1000元时不在增添，并向来保持每年1000元的水平连续收付.假定年利率为12%，求这一年金的现值。a100a1100(Ia)91000a解：a8(1i)8181000v94362.94100(1i)1100ii1．依照生命表的基础填补下表:xlxdxpxqx010001000。90.11(900）(150）(5/6）（1/6）2750（150）0。8（0.2)3（600)(300)（0。5)(0。5)4300(180)（0。4）0.65(120）(120）（0）（1）603。已知lxx1000(1),计算:120l0，l120，d33，20p30，30q20;25岁的人起码再活20,最多活25年的概率；⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。解:⑴l01000(10)1000;l1201000(1120)0120120d33l33l341000125312020p30l50730q20l20l500.3l309;l20⑵205q25l45l501l251955p25l80)38)30.074646449⑶((l25194．若lx100000(cx)，l3544000，求：cxc的值；⑵生命表中的最大年纪；⑶从出生计活到50岁的概率;⑷15岁的人在40～50岁之间死亡的概率。解：⑴l35100000(c35)44000.因此，c=90c35⑵lx100000(90x)0,因此，9090x⑶50l504p013l0l40l502⑷2510q15l153。5．证明并作直观解说：⑴nmqxnpxnmpx；lxnlxnmlxnlxnmnpxnmpx证明：nmqxlxlxlx⑵nqxnpxqxn；lxnlxn1lxnlxnlxn1qxn证明:nqxlxlxlxlxnpxn⑶nmpxnpxmpxn.nmpxlxnmlxnlxnm证明：lxlxlxnpxmpxnn6．证明：xtdtlx⑴0lxtx；xtdt1⑵0tpxx；xtpxtpx(xxt)⑶；⑷ttpxtpxxt。xxtdtlx0lxlxllx证明:⑴lxtx0⑵xpxxtdtxlxt11x1dlxt1(lxxlx)10t0lxlxdlxtl0lxtx；pxlxt)DlxtlxDlxlxtxtx((lx)2lx⑶DlxtDlxtlxtDlxtDlx)tpx(xxt)lxlxlx(lxlxttpx(lxt)DlxtlxtDlxttpxxt⑷txlxlxlxlxt.7．分别在死亡平均散布，死亡力恒定和鲍德希假定下,用课本附表1给出的生命表计算：1q251q40；⑶1⑴；⑵550.423解：⑴1q251tpxtq251d25116.98020.000305754l25495650.154略。8．若l407746，l417681,计算401:4⑴死亡平均散布假定；⑵鲍德希假定；⑶假定lx1000100x1q400.008409068解：⑴401tq40；41404tpxe⑵可令t1,p

tx

ll

4140

e0.008426834qx0.00844457341(1t)qx⑶401。9．证明在鲍德希规律下,xqn与n没关。s(x)1x证明：nqxs(xn)s(xn1)1s(x)x因此,xqn与n没关.1某人10岁买了按期生计保险，这一保险使其从18岁到25岁每年获得2000元生计保险金,以附表2变换函数值计算这一年金现值.解：2000N1081N1088120000.22775455.5（元）88a102000N102．证明以下等式成立，并解说其含义。⑴axvpxax1；axNx1NxDxax1vpxax1证明：DxDx⑵ax1vpxax1;证明：因此,

ax1vpxax1ax1vpxax1⑶ax:nax:n(1nEx)；a(1E)Nx1Nxn1(1DXn)Nx1Dx(Nxn1DXn)x:nnxDxDxDx证明：NxNxnaDxx:n⑷naxvnnpxaxn;naxNxn1nExNxn1vnnpxNxn1vnnpxaxn证明：DxDxDxnnEx⑸ax:nmax:mvmmpxaxm:n;证明：ax:nNx1Nxnm1mDxNx1Nxm1ax:mDxvmmpxaxm:nmExNxm1Nxmn1Nxm1Nxmn1DxmDxax:mvmmpxaxm:nNx1Nxm1Nxm1Nxmn1Nx1Nxmn1ax:nmDxDxDx⑹px1ax(1i)ax1px1axNxpx1Nxpx1Nx(1i)ax1px1证明：Dx1Ex1Dx1vpx1Dx13．某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购置了每个月给付k元的生计年金。假定购买后次月开始给付，求k值。12ka50(12)12k(a50121)12k(12.2668311)50000解：21224k338.624．给付50岁的人每个月200元，第一次从60岁开始，共付10年的生计年金变换函数表达式.解：24001010a(12)240010E50a(12)240010E50(a6013a70)5060:10247．以变换函数表达下边改动年金的现值。对（x）第一年终给付1000元，此后每年比上年增添给付500元，，当年给付金额达到5000元时，又以每年1000元的幅度递减，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。解：500v500(Ia)1000v9(Da)1000v14ax14x:8x9:48．假定对全部x,有px(1r)px,证明以利率i和px为基础计算的终生年金现值与以iirpx为基础计算的终生年金现值相等。1和r解：以i,px'为计算基础axtExvttpx'(1)tpx'px'1px'tt1t11i(1)t(1r)tpxpx1pxt1i以i'ir1、px计算raxtExvttpx(1)tpxpx1pxtt1t11i(1r)tpxpx1pxt1i1．假定lx1000(1x),i0.10，求50岁的人投保100000元终生寿险的精115算现值.解：dxlxlxt11000(t1)115100000A1115[vt1(1t)]10000050l50t02．某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡，则在第20年终给付1单位保险金,若被保险人在投保20年此后死亡，则在死亡年年终给付1单位保险金。写出对（x）的保单精算现值的表达式。解：19A(v20tqx)(vt1tqx)t0t20v2019(q)20Atxxt03．某人在30岁时投保了10000元缓期25年的按期寿险，求这一保单的精算现值.mnMxmMxmnmAx:nvt1tqx解:tmDx1000030A25:2010000M55M75100001069.6405D25298.80403.7249因此,22286.354．证明:AxvqxvpxAx1，并说明其意义。证明：AxMx,Ax1Mx1,Cxvx1dxDxDx1MxCxMx1,Dxvxlx,Dx1vx1lx1,vpxDxDx1AxCxMx1vpx(CxMx1)vpxCxvpxMx1DxDx1Dx1Dx1vlx1.vx1dxvdxlxlxvpxAx1vpxAx1vqxvpxAx1vx11lx即（X)寿险精算现值等于在第一年内死亡赔付vqx，在一年后死亡赔付的精算现值vpxAx1之和。5．证明：dAxAx(x)x，并说明其意义。dx证明：AxMxxDyydyDxDxdDyydydAxxDxDxxDxDyydyDxxdxdx(Dx)2AxDxxAvxlnvlxvxlxxA(lnvlxxxAx(x)x6．假定死亡概率qxn变为为qxnk（为常数)，其余年纪的死亡率不变，试证明Ax将增添kvn1px(1An1)。nx解：Ax1vt1dxtvt1tqxlxt0t0n1qAvn1vt1kvn1vt1Axvt1tnpx(qxnk)qxpxqxxxtntt0tn1tn1Axvn1npxkkvn1npxvt1tqxtn1Axvn1npxk(1vt1tqx)tn1Axvn1npxk(1An1)x增添值:vn1npx(qxnk)7．假定ax15.5，Ax0.25,求利率i的值。(1i)Ax1iax0.25(1i)115.5i解：1i218。岁开始投保终生寿险