高等代数-线性空间

高等代数

HigherAlgebra

第六章线性空间一、集合、映射二、线性空间的定义和简单性质三、维数、基与坐标四、基变换与坐标变换五、线性子空间六、子空间的交与和七、子空间的直和八、线性空间的同构一、集合把一些事物聚集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：；

当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：

1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．

用小写字母a、b、c等表示集合的元素．

☆

注：关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔〔G．Cantor〕，他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法

描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2N＝，2Z＝

M＝｛x|x具有性质P｝

M＝｛a1，a2，…，an｝2、集合间的关系

☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作，（读作B包含于A）当且仅当

☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ

☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，那么称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且

约定：空集是任意集合的子集合.3、集合间的运算

交：；

并：

显然有，二、映射设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法那么σ，通过这个法那么σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,那么称σ为称a´为a在映射σ下的象，而a称为a´在映射σ下的M到M´的一个映射，记作:或原象，记作σ(a)＝a´或1、定义注:①设映射,集合，

称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．

例3判断以下M到M´对应法那么是否为映射1〕M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4显然，〔不是〕〔是〕〔不是〕2）M＝，M´＝P，（P为数域）

σ：σ(A)＝|A|，3）M＝P，M´＝，（P为数域）τ：τ(a)＝aE，（E为n级单位矩阵）4〕M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.σ：σ(a)＝a0，

〔是〕〔是〕〔是〕例4

M是一个集合，定义I：

I(a)＝a，即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，例5任意一个在实数集R上的函数y＝f(x)

都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是称为M上的恒等映射或单位映射．

映射的一个特殊情形．

2、映射的乘积设映射，

乘积定义为：

(a)＝τ(σ(a))即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个

映射．

①对于任意映射，有

②设映射，

有注：3、映射的性质:设映射1）若，即对于任意，均存在〔或称σ为映上的〕；2〕假设M中不同元素的象也不同，即（或），

那么称σ是M到M´的一个单射〔或称σ为1—1的〕；3〕假设σ既是单射，又是满射，那么称σ为双射,，使

，则称σ是M到M´的一个满射〔或称σ为1—1对应〕例6判断以下映射的性质1〕M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

〔既不单射，也不是满射〕τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝12）M＝，M´＝P，（P为数域）

σ：σ(A)＝|A|，〔是满射，但不是单射〕〔双射〕3）M＝P，M´＝P为数域,E为n级单位矩阵τ：τ(a)＝aE，〔是单射，但不是满射〕σ：σ(a)＝a0，〔既不单射，也不是满射〕5〕M是一个集合，定义I：I(a)＝a，

〔双射〕4）M、M´为任意非空集合，为固定元素

6〕M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,〔双射〕①对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条件是它们所含元素的个数相同；

②对于有限集A及其子集B，假设B≠A〔即B为A的真子集〕，那么A、B之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.注：如例6中的6〕，σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,4、可逆映射定义：设映射若有映射使得那么称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，①假设σ为可逆映射，那么σ－1也为可逆映射，且〔σ－1〕－1＝σ．注：②为可逆映射，，若σ的逆映射是由σ唯一确定的记作σ－1．③σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．3、设映射，证明：1〕如果h是单射，那么f也是单射；2〕如果h是满射，那么g也是满射；3〕如果f、g都是双射，那么h也是双射，并且这与h是单射矛盾，∴f是单射．证：1）若f不是单射，则存在于是有2）∵h是满射，，即，∴g是满射．又∵3），因为g是满射，存在,使又因为f是满射，存在，使h是满射．∴∵若，由于f是单射，有又因为g是单射，有即,∴因而h是双射．h是单射.一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质§2线性空间的定义与简单性质而且这两种运算满足一些重要的规律,如

引例1空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量同样满足上述这些重要的规律，即

引例2数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算一.线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对，

在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘法还满足下述规那么，那么称V为数域P上的线性空间：加法满足以下四条规那么：①

④

对

都有V中的一个元素β，使得

⑤

⑥

数量乘法与加法满足以下两条规那么：⑦

③

在V中有一个元素0，对〔具有这个性质的元素0称为V的零元素〕数量乘法满足以下两条规那么:;（β称为的负元素）

②

⑧

3．线性空间的判定：注：1．凡满足以上八条规那么的加法及数量乘法也2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．称为线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规那么中的任一条，那么此集合假设集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者例1引例1,2中的Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添用表示．的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，法构成数域P上的一个线性空间，常用

P[x]n表示．上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘例3数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵即n阶方阵A的实系数多项式的全体，那么V关于矩阵例4令的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知其中，又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素.以

f(x)

的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为－f(x)，那么f(A)有负元素－f(A).由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.二、线性空间的简单性质

1、零元素是唯一的.

2、，的负元素是唯一的，记为-．

证明：假设有两个负元素β、γ，则有

利用负元素，我们定义减法：

01＝01＋02＝02．证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，那么有3、4、如果＝0，那么k＝0或＝0.证明：假若则一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标§3维数·基与坐标引入即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？〔基的问题〕问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？〔坐标问题〕一、线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义：V是数域P上的一个线性空间（1）和式

的一个线性组合．称为向量组（2），若存在

则称向量可经向量组

线性表出；使若向量组中每一向量皆可经向量组

线性表出，则称向量组可经向量组线性表出；

假设两向量组可以互相线性表出，那么称这两个向量组为等价的．（3），若存在不全为零的数

，使得

则称向量组为线性相关的；如果向量组不是线性相关的，即只有在时才成立，

则称为线性无关的．

2、有关结论（1）单个向量线性相关

单个向量线性无关

向量组线性相关

中有一个向量可经其余向量线性表出．（2）若向量组线性无关，且可被向量组线性表出，则

若与为两线性无关的等价向量组，则

（3）若向量组线性无关，但向量组

线性相关，则可被向量组

线性表出，且表法是唯一的．二、线性空间的维数、基与坐标1、无限维线性空间假设线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么称V是无限维线性空间．例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量因为，2、有限维线性空间

n维线性空间；常记作dimV＝n.在n维线性空间V中，n个线性无关的向量〔1〕n维线性空间：假设在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是任意n＋1个向量都是线性相关的，那么称V是一个〔2〕基，称为V的一组基；注：零空间的维数定义为0.dimV＝0

V＝{0}下的坐标，记为

有时也形式地记作

〔3〕坐标设

为线性空间V的一组基，则数组，就称为

在基

若注意：向量

的坐标

是被向量

和基

唯一确定的．即向量

在基下的坐标唯一的.

但是，在不同基下的坐标一般是不同的．

3、线性空间的基与维数确实定定理：若线性空间V中的向量组满足

证明：∵线性无关，

ⅰ）线性无关；

ⅱ）可经线性表出,则V为n

维线性空间，为V的一组基．

∴V的维数至少为

n

．任取V中

n＋1个向量，由ⅱ)，向量组可用向量组线性表出.

若是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．

例2

3维几何空间R3＝

是R3的一组基；

也是R3的一组基．∴V中任意n＋1个向量是线性相关的．

故，V是n

维的，就是V的一组基．

一般地，向量空间为n维的，

就是

Pn的一组基．称为Pn的标准基.

①n

维线性空间

V

的基不是唯一的，V中任意

n个②任意两组基向量是等价的．

例3〔1〕证明：线性空间P[x]n是n维的，且注意：线性无关的向量都是V的一组基．

〔2〕证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn－1为

P[x]n

的一组基．

也为P[x]n的一组基．证:〔1〕首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．∴1，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基，从而，P[x]n是n维的.其次，

可经1，x，x2，…，xn－1线性表出．

注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是此时，〔2〕1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．

又对

，按泰勒展开公式有

即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．

在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是

注：此时，假设把C看成是实数域R上的线性空间呢？而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i就为例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性空间的维数与一组基；解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的一组基；它的一组基．注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，数1就是它的一组基.下的坐标，其中

解：设

，则有线性方程组解之得，

．

∴ξ在基

下的坐标为

．

例5在线性空间中求向量在基

一、向量的形式书写法

二、基变换三、坐标变换

§4基变换与坐标变换引入

我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.一、向量的形式书写法

1、V为数域

P上的

n

维线性空间，为V

中的一组向量，

，若

那么记作那么记作2、V为数域

P

上

n

维线性空间，

；为V中的两组向量，若注：在形式书写法下有以下运算规律1)

若

线性无关，则2)

；为V中的两组向量，矩阵

，则

；

；

；若

线性无关，则1、定义设V为数域P上n维线性空间，；

为V中的两组基，若①即，

二、基变换那么称矩阵为由基到基的过渡矩阵；称

①

或

②

为由基到基的基变换公式．

②

2、有关性质

1〕过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证明：若为V的两组基,且由基的过渡矩阵为A，即又由基也有一个过渡矩阵,设为B，即③④比较③、④两个等式，有都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.反过来，设为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基于是有，由A可逆，有即，也可由线性表出.故线性无关，从而也为V的一组基.

并且A就是的过渡矩阵.2）若由基过渡矩阵为A,则由基过渡矩阵为A-1.3）若由基过渡矩阵为A,由基过渡矩阵为B，则由基过渡矩阵为AB.事实上,若则有，三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间

为V中的两组基，且设且ξ在基与基

下的坐标分别为与，

即，与

则或

⑦

称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．

⑥例1在Pn中，求由基

到基

过渡矩阵．其中

解：∵

的过渡矩阵及由基

到基

的并求向量在基下的坐标.

而，∴

到基

由基的过渡矩阵为

故，由基

到基

的过渡矩阵为在基下的坐标就是设在基下的坐标为，则所以在基下的坐标为例2在P4中，求由基

到基

的过渡矩阵，其中

解：设

那么有或

，

从而有

∴由基

到基

的过渡矩阵为一、线性子空间

二、生成子空间

§5线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合假设W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,那么称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念.

维数.一、线性子空间

2、线性子空间的判定

，若W对于V中两种运算封闭，即

那么W是V的一个子空间．证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规那么．定理：设V为数域P上的线性空间，集合

∵，∴.

且对，

由数乘运算封闭，有

，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4〕成立．就是V中的零元，3〕成立．由于

，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3〕、4〕成立．推论：V为数域P上的线性空间,

则由加法封闭，有,即W中的零元W是V的子空间例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,那么R[x]为V的一个子空间．例3

P[x]n是P[x]的的线性子空间．

例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间．

的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数①(＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，；例4

n元齐次线性方程组

(＊)

注②(＊)的一个根底解系就是解空间W的一组基.空间，称W为方程组(＊)的解空间．量乘法构成的线性空间是

n

维向量空间

Pn

的一个子例5设V为数域P上的线性空间，

那么W关于V的运算作成V的一个子空间．即的一切线性组合所成集合.称为V的由生成的子空间，二、一类重要的子空间

——生成子空间定义：V为数域P上的线性空间，

那么子空间，记作．称为的一组生成元.例6在Pn

中，

为Pn的一组基，即Pn

由它的一组基生成.类似地，还有事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成.有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有2、〔定理3〕1）；为线性空间V中的两组向量，则与等价．

2）生成子空间的维数＝向量组的秩．证：1）若

则对

有，

从而可被线性表出；同理每一个

也可被线性表出.

所以，

与等价．

，

可被线性表出，

从而可被线性表出，即

反之，

与等价．

所以,

同理可得，

故，

由§3定理1，

2）设向量组

的秩＝t，不妨设

为它的一个极大无关组．

因为

与等价，

就是的一组基，

所以，的维数＝t．无关组，那么推论：设是线性空间V中不全为零的一组向量，是它的一个极大3、设为P上n维线性空间V的一组基，则的维数＝秩(A).

A为P上一个矩阵，若证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2，那么A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，设即下证线性无关.是V的一组基，又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即②线性无关.从而任取将A的第j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，那么则有即设从而有③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全为零的数线性相关.故为的极大无关组，所以的维数＝r＝秩(A).则向量组与矩阵A的列向量组具有相同线性相关性.所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组的一个极大无关组，从而求出生成子空间的维数与一组基.注：由证明过程可知，若为V的一组基，为

V

的一组基．即在

V

中必定可找到

n－m

个向量设W为

n维线性空间

V

的一个

m

维子空间，4、〔定理4〕为W的一组基，则这组向量必定可扩充，使为

V

的一组基．扩基定理证明：对n－m作数学归纳法．当n－m＝0时，即

n＝m，定理成立．就是V的一组基.假设当n－m＝k时结论成立.因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我们考虑n－m＝k＋1的情形．必定是线性无关的．既然还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量不能被线性表出，把它添加进去，则由定理3，子空间

是m＋1维的．可以扩充为整个空间V的一组基．由归纳原理得证.

由归纳假设，的基例7

求的维数与一组基，并把它扩充为P4的一组基，其中解：对以为列向量的矩阵A作初等行变换由B知，为的一个极大故，维＝3，就是的一组基.无关组.则线性无关，从而为P4的一组基.一、子空间的交二、子空间的和三、子空间交与和的有关性质§6子空间的交与和也为V的子空间，设V1、V2为线性空间V的子空间，那么集合一、子空间的交1、定义任取

则有

同时有

故为V的子空间.

事实上，

称之为V1与V2的交空间.显然有,2、推广

多个子空间的交为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为的交空间.

二、子空间的和1、定义其中，则有

设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合

也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.任取设

事实上，显然有,2、推广

多个子空间的和

为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为的和空间.

V的两子空间的并集未必为V的子空间.例如

注意：皆为R3的子空间，但是它们的并集

并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭，如但是三、子空间的交与和的有关性质2、设为线性空间V的子空间，则以下三

1、设

为线性空间V的子空间

1）若则

2）若则

条件等价:4、维数公式〔定理7〕设为线性空间V的两个子空间，则或3、为线性空间V中两组向量，则注：从维数公式中可以看到，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.

例如，在R3中，设子空间其中，但，则，由此还可得到，是一直线.推论：设为

n

维线性空间V的两个子空间，若，则必含非零的公共向量.即中必含有非零向量.证：由维数公式有又是V的子空间，∴若则故中含有非零向量.①

与②的解空间，则就是齐次线性方程组③

例1、在中，用分别表示齐次线性方程组③

的解空间.

证：设方程组①,②,③分别为

即

设W为③的解空间，任取，有从而

反之，任

取，则有

从而

故例2、在中，设1）求

的维数与一组基；

2）求

的维数与一组基.

解：1)任取

设

则有

(＊)解

得

（t为任意数）(＊)即令

t=1，则得

的一组基

为一维的.

2)

对以为列向量的矩阵A作初等行变换

为3维的，

由B知，为的一个极大无关组.为其一组基.一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和§7.子空间的直和引入有两种情形：由维数公式设为线性空间V的两个子空间，此时

即，必含非零向量.

情形2〕是子空间的和的一种特殊情况直和此时

不含非零向量，即

一、直和的定义设为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和就称为直和，记作注:若有则①分解式唯一的，意即中每个向量的分解式②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.而在和中，向量

(2,2,2)

的分解式是唯一的，事实上，对故是直和.都只有唯一分解式：二、直和的判定分解式唯一，即假设1、(定理8)和是直和的充要条件是零向量则必有证：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式充分性.故是直和.设，它有两个分解式有其中于是由零向量分解成唯一，且即的分解式唯一.2、和是直和则有即是直和.“”任取证：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故证：由维数公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2〕零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间.则必存在一个子空间W，使证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).如，在R3中，设注意：则但5、设分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，若线性无关，则它是的一组基.从而有反之,若直和，则从而的秩为r＋s.所以线性无关.是直和.1、定义中每个向量的分解式三、推广多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和是唯一的，则和就称为直和，记作四个条件等价:2〕零向量分解式唯一，即3）4）2、判定设都是线性空间V的子空间，则下面1）是直和

例1设V1、V2分别是齐次线性方程组①与②的证：解齐次线性方程组①，得其一个根底解系①②解空间：证明:再解齐次线性方程组②.由即得②的一