应力状态与强度理论T47

第一节概述

第二节平面应力状态分析·主应力第三节强度理论及其应用应力状态和强度理论1、一点处的应力状态§1概述

应力状态概述

构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体表面上的应力表示。目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及其作用面，从而更好地进行强度分析。

单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。单元体如何取？

在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如下图所示。dydzdxzxy应力状态概述

对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。2、强度理论

而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素。

关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。强度理论概述§2平面应力状态分析•主应力

对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss

该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。平面应力状态1、斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：xyzabcdtxytyx(a)sxsytyxsysxtxyefanadabctxytyxtxyx(b)sxsxsysytyxy

可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为，称为截面。斜截面应力应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力拉为正，压为负；2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。

取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力为正，斜截面夹角为正。efbtyxtxyatasa(c)sxsy斜截面应力

由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：⇒ntsydAsina(d)bftyxdAsinatadAtxydAcosaesadAsxdAcosa斜截面应力由此可得，任一斜截面上的应力分量为：⇒其中dA为斜截面ef的面积。斜截面应力解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：例1

图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点=-30°截面上的应力。(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xTFTCF斜截面应力图示示斜斜截截面面上上应应力力分分量量为为：：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°斜截截面面应应力力2、应应力力圆圆由任任一一斜斜截截面面上上应应力力分分量量的的计计算算公公式式可可得得：：两式式两两边边平平方方后后求求和和可可得得：：应力力圆圆而圆圆方方程程为为：：可见见前前式式实实际际上上表表示示了了在在为水水平平轴轴、、为垂垂直直轴轴的的坐坐标标系系下下的的一一个个圆圆，，其其圆圆心心坐坐标标为为：：半径径为为：：如下下图图。。应力力圆圆单元元体体斜斜截截面面上上应应力力（（，）和和应应力力圆圆上上点点的的坐坐标标（（，）一一一一对对应应，，因因此此可可通通过过确确定定应应力力圆圆上上相相应应点点的的坐坐标标来来求求斜斜截截面面上上应应力力（（，）。。因为为圆圆心心一一定定在在轴上上，，只只要要知知道道应应力力圆圆上上的的两两点点（（即即单单元元体体两两个个面面上上的的应应力力）），，即即可可确确定定应应力力圆圆。。tsOC应力力圆圆1）应力力图图的的画画法法已知知x、y、xy、yx，如如右右图图，，假假定定x>y。在、坐标标系系内内按按比比例例尺尺确确定定两两点点：：dabcefatxytytxyxnasxsxsyxsytyxy应力力圆圆以C为圆圆心心，，线线段段CD1或CD2为半半径径作作圆圆，，即即为为应应力圆圆。。连接接D1、D2两点点，，线线段段D1D2与轴交交于于C点。。CC应力力圆圆2）证明明对下下图图所所示示应应力力圆圆可可见见C点的的横横坐坐标标为为：：从D1点按按斜斜截截面面角角的转转向向转转动动2得到到E点，，该该点点的的坐坐标标值值即即为为斜斜截截面面上上的的应应力力分分量量值值。。C2sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a由于于可得得：：应力力圆圆因此此，，C点坐坐标标为为应应力力圆圆圆圆心心坐坐标标，，并并且且该线线段段长长度度等等于于应应力力圆圆半半径径。。从而而证证明明上上述述圆圆确确为为应应力力圆圆。。则：：应力力圆圆应力力圆圆另外外，，E点横横坐坐标标为为：：可见见，，E点坐坐标标值值即即为为斜截截面面上上的的应应力力分分量量值值。。即：：同理理可可得得E点的的纵纵坐坐标标为为：：应力力圆圆应力力圆圆由于于应应力力圆圆上上点点的的坐坐标标与与单单元元体体面面上上的的应应力力分分量量值值一一一一对对应应，，因因此此，，按按比比例例作作图图，，可可通通过过直直接接用用尺尺子子量量出出坐坐标标值值来来求求任任意意斜斜截截面面上上的的应应力力分分量量，，此此即即称称为为图图解解法法。。解：按按一一定定比比例例画画出出应应力力圆圆。。例2用图图解解法法求求图图示示=-30°°斜截截面面上上的的应应力力值值。。因为为图图示示应应力力状状态态有有：：x30°tx=35.7MPasx=63.7MPayn应力力圆圆按一一定定比比例例，，作作出出应应力力圆圆，，并并找找到到斜斜截截面面对对应应的的点点，，量量取取其其坐坐标标可可得得：：则x、y截面面在在应应力力圆圆上上两两点点为为：：EsDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°-30°(s-30°，)20MPa应力力圆圆圆上上一一点点，，体体上上一一面面；；圆上上半半径径，，体体上上法法线线；；转向向一一致致，，数数量量一一半半；；直径径两两端端，，垂垂直直两两面面。。应力力圆圆和和单单元元体体的的对对应应关关系系应力力圆圆3、主主平平面面和和主主应应力力对图图a所示示应应力力状状态态，，作作出出应应力力圆圆（（图图b）。。s1a0s1s3s3主平平面面：：剪剪应应力力=0的平平面面；；主应应力力：：主主平平面面上上的的正正应应力力。。可证证明明：：并规规定定：：可见见：：txsy(a)tsODyDxCA2A12a0(b)主应应力力sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a返回回具体体值值可可在在应应力力圆圆上上量量取取，，即即：：主平平面面位位置置：图图a中1主平平面面的的方方位位角角0对应应于于应应力力圆圆（（图图b）上上的的圆圆心心角角20。主应应力力值值和和主主应应力力平平面面的的计计算算：：由图图b可见见，，A1、A2两点点的的横横坐坐标标为为：：主应应力力应力力圆圆由此此可可得得两两个个主主应应力力值值为为：：因为为1主平平面面方方位位角角的的两两倍倍对应应于于应应力力圆圆上上20，而而主应应力力应力力圆圆所以以，，1主平平面面方方位位角角0为：：对应应的的最最大大切切应应力力为为：：主应应力力应力力圆圆例3求图图a所示示应应力力状状态态的的主主应应力力及及方方向向。。解：1、应应力力圆圆图图解解法法：：因为为：：所以以：：按一一定定比比例例作作出出应应力力圆圆（（图图b）。。ytx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)主应应力力由应应力力圆圆通通过过直直接接量量取取，，并并考考虑虑主主应应力力的的大大小小关关系系可可得得：：由此此可可得得：：主应应力力单单元元体体以以及及主主平平面面的的方方位位如如图图c所示示：：s1sa0s1yx(c)主应应力力2、解解析析法法：：所以以：：⇒主应应力力§7-3强度度理理论论及及其其应应用用ss1、概概述述1）单向向应应力力状状态态：图示示拉拉伸伸或或压压缩缩的的单单向向应应力力状状态态，，材材料料的的破破坏坏有有两两种种形形式式：：塑性屈服服：极限限应力为为脆性断裂裂：极限限应力为为此时，s、p0.2和b可由实验验测得。。由此可可建立如如下强度度条件：：其中n为安全系系数。强度理论论概述2)纯剪应力力状态：图示纯剪剪应力状状态，材材料的破破坏有两两种形式式：塑性屈服服：极限限应力为为脆性断裂裂：极限限应力为为其中，s和b可由实验验测得。。由此可可建立如如下强度度条件：：强度理论论概述3）复杂应力力状态txsx来建立，，因为与之间会相互影响响。研究复杂杂应力状状态下材材料破坏坏的原因因，根据据一定的的假设来来确定破破坏条件件，从而而建立强强度条件件，这就就是强度度理论的的研究内内容。对图示平平面应力力状态，，不能分分别用强度理论论概述4）材料破坏坏的形式式塑性屈服服型：常温、静静载时材材料的破破坏形式式大致可可分为：：脆性断裂裂型：铸铁：拉拉伸、扭扭转等；；低碳钢：：三向拉拉应力状状态。低碳钢：：拉伸、、扭转等等；铸铁：三三向压缩缩应力状状态。例如：例如：可见：材料破坏坏的形式式不仅与与材料有有关，还还与应力力状态有有关。强度理论论概述根据一些些实验资资料，针针对上述述两种破破坏形式式，分别别针对它它们发生生破坏的的原因提提出假说说，并认认为不论论材料处处于何种种应力状状态，某某种类型型的破坏坏都是由由同一因因素引起起，此即即为强度理论论。脆性断裂裂：塑性屈服服：5）强度理论论常用的破破坏判据据有：下面将讨讨论常用用的、基基于上述述四种破破坏判据据的强度度理论。。强度理论论概述2、四个常常用的强强度理论论强度条件件：1）最大拉应应力理论论(第一强度度理论)假设最大大拉应力力1是引起材材料脆性性断裂的的因素。。不论在在什么样样的应力力状态下下，只要要三个主主应力中中的最大大拉应力力1达到极限限应力0，材料就就发生脆脆性断裂裂，即：：可见：a)与2、3无关；b)应力0可用单向向拉伸试试样发生生脆性断断裂的试验来确确定。常用强度度理论实验验证证：铸铁：单单拉、纯纯剪应力力状态下下的破坏坏与该理理论相符符；平面面应力状状态下的的破坏和和该理论论基本相相符。存在问题题：没有考虑虑2、3对脆断的的影响，，无法解解释石料料单压时时的纵向向开裂现现象。常用强度度理论2）最大伸长长线应变变理论(第二强度度理论)实验验证证：a)可解释大大理石单单压时的的纵向裂裂缝；b)铸铁二向向、三向向拉应力力状态下下的实验验不符；；c)对铸铁一一向拉、、一向压压的二向向应力状状态偏于于安全，但但可用。。强度条件件为：第一、二二强度理理论都是是以脆性断裂裂作为破坏坏标志的的。常用强度度理论对低碳钢钢等塑性性材料，，单向拉拉伸时的的屈服是是由45°斜截面上上的切应应力引起起的，因因而极限限应力jx可由单拉拉时的屈屈服应力力求得，即：3）最大切应应力理论论(第三强度度理论)假设最大大切应力力max是引起材材料塑性性屈服的的因素，，则：因为：常用强度度理论实验验证证：c)二向应力力状态基基本符合合，偏于于安全。。b)仅适用于于拉压性性能相同同的材料料。由此可得得，强度度条件为为：a)仅适用于于拉压性性能相同同的材料料；b)低碳钢单单拉(压)时45滑移线吻吻合；存在问题题：没考虑2对屈服的的影响，，偏于安安全，但但误差较较大；常用强度度理论假设形状状改变能能密度vd是引起材材料塑性性屈服的的因素，，即：4）形状改变变能密度度理论(第四强度度理论)因为材料料单拉屈屈服时有有：可通过单拉试验来确定。所以：又：常用强度度理论因此：由此可得得强度条条件为：：实验验证证：a)较第三强强度理论论更接近近实际值值