离散时间信号与系统-正在为您选择最快的线路

离散时间信号与系统-正在为您选择最快的线路第一章学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。21.1离散时间信号离散时间信号及其时域表示序列的基本运算常用序列序列的周期用单位脉冲序列表示任意序列序列的能量与功率3离散时间信号(序列)在物理上是指定义在离散时间上的信号样品的集合，样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。在数学上可用时间序列{x(n)}来表示。其中x(n)代表序列的第n个样点的数字，n代表时间的序号，n的可取值范围为-∞﹤n﹤∞的整数。许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体{x(n)}

。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。离散时间信号及其时域表示4离散时间信号及其时域表示

离散时间信号的时域表示1、枚举式：例如：2、公式（封闭式）：例如：零点位置5离散时间信号及其时域表示3、图形式：例如：图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。6序列的基本运算序列的加减将两序列序号相同的数值相加减，即：7序列的基本运算z(1)=x(1)+y(1)…z(2)=x(2)+y(2)z(0)=x(0)+y(0)8序列的基本运算序列的乘积将两序列序号相同的数值相乘，即：9序列的基本运算z(1)=x(1)·y(1)…z(2)=x(2)·y(2)z(0)=x(0)·y(0)10序列的基本运算序列的延时将序列全体在时间轴上移动，即：时左移，时右移，如：11序列的基本运算序列乘常数序列的反褶序列的差分同一序列相邻两个样点之差，分为前向差分和后向差分。前向差分后向差分12序列的基本运算序列的抽取将原来的序列每隔M个样点保留一个样点，去掉其中的M-1个样点而形成的新序列。即：例：求如下图所示的序列x(n)，经M=3的抽取运算后所形成的新的序列y(n)。13序列的基本运算y(-1)=

x(-1·3)y(0)=

x(0·3)y(1)=

x(1·3)解：…14序列的基本运算序列的插值在原来序列的每两个样点之间等间隔的插入L个新的样点，从而变成一个具有更多样点的新序列。即：显然序列的抽取运算与序列的插值互为逆运算。15序列的基本运算序列y(n)是对序列x(n)的插值序列x(n)是对序列y(n)的抽取16序列的基本运算17常用序列单位（脉冲）序列-201mn1-1…1-2-1012n18常用序列单位阶跃序列...0123nu(n)1(n)与u(n)的关系19常用序列矩形序列0123n14

与的关系:20常用序列矩形序列，式中ω0为数字频率21常用序列复指数序列实部与虚部示意图：22常用序列则有：令中σ=0

余弦与正弦序列示意图：23序列的周期性定义若序列x(n)满足且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为以N为周期的周期序列。24序列的周期性正弦序列及其周期按周期序列的定义，其中k为整数，除非p=2kπ/ω0为整数。否则正弦序列没有周期。25序列的周期性求序列的周期。解：当取2时，可得到的最小正周期数3，即序列的周期。26用单位（脉冲）序列表示任意序列

任意序列都可用单位（脉冲）序列

表示成样点值的加权和形式，即：例如对序列用单位脉冲序列的加权可表示为：

27序列的能量与功率有界信号：若存在有界常数B，使序列满足则称序列为有界信号。序列的总能量有界信号的总能量定义为序列各样点值的平方和，即：当时，称信号为能量有限信号。28序列的能量与功率若序列的长度为有限长时，只要信号为有限值，则信号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限长时，即使信号有界，其能量也不一定是有限的。序列的平均功率1、对非周期序列，若序列为无限长，其平均功率定义为：29序列的能量与功率能量为有限值，平均功率等于零的信号称为能量信号。能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率信号。2、对周期为N的周期序列，其平均功率定义为：显然，周期序列通常为功率信号30序列的能量与功率设离散信号的表达式为试判断该信号是能量信号还是功率信号。解：∵该信号为有界信号，其总能量为：可见信号的能量是无限的，但其功率为：∴该信号是功率信号。311.2离散时间系统离散时间系统的定义和性质线性时不变离散系统线性时不变离散系统的基本元件单位脉冲响应与卷积序列的相关性离散时间系统的因果性与稳定性32离散时间系统的定义和性质定义：指将输入序列变换成输出序列的一种运算电路。齐次性：ax(n)ay(n)叠加性：x1(n)+x2(n)y1(n)+y2(n)线性性：a1x1(n)+a2x2(n)a1

y1(n)+a2y2(n)时不变性(延迟性或移不变性)：x(n-m)y(n-m)差分性：x(n)y(n)累加和性：33线性时不变离散系统定义同时满足线性性和时不变性的离散时间系统。即：线性性34线性时不变离散系统时不变性例：试证明以下系统为线性时不变系统。证明：1、线性性设有序列和及常数和，则有∴该系统为线性系统。35线性时不变离散系统2、时不变性：∴系统为时不变系统。在上式中令，则上式右边变为：36线性时不变离散系统的基本元件基本元件1、加法器2、系数乘法器3、延时器37线性时不变离散系统的基本元件如下图就是利用这些元件实现的一个简单的线性时不变系统的框图其数学表达式为y(n)=x(n)+ay(n-1)38单位脉冲响应与离散卷积单位脉冲响应线性时不变离散系统任意激励下的响应与单位脉冲响应之间的关系39单位脉冲响应与离散卷积离散卷积的性质与计算1、卷积的性质：可交换性：结合性：40单位脉冲响应与离散卷积分配性：41单位脉冲响应与离散卷积2、卷积的计算包括以下四个步骤：反褶、移位、相乘、求和1)反褶，先将x(n)和h(m)的变量n换成m，变成x(m)和h(m)，再将h(m)以m=0为轴反褶成h(-m)。2)移位，将h(-m)移位n，变成h(n-m)，n为正数，右移n位，n为负数，左移n位。42单位脉冲响应与离散卷积3)相乘，将h(n-m)与x(m)在相同的对应点相乘。4)求和，将所有对应点乘积累加起来，就得到n时刻的卷积值，对所有的n重复以上步骤，就可得到所有的卷积值y(n)。43单位脉冲响应与离散卷积求：44单位脉冲响应与离散卷积解：先给出x(m)和h(m)的图形x(m)01231/213/2m012m1h(m)0－1－2m1h(－m)45单位脉冲响应与离散卷积x(m)01231/213/2m－101/23/235/23/2046单位脉冲响应与离散卷积012345y(n)n1/23/235/23/247序列的相关性定义：两个序列x(n)和y(n)的线性互相关序列rxy(m)为式中m代表两个序列的相对位移。式中rxy(m)的下标顺序xy表示在上述互相关运算中，x(n)在时间上保持不变，而对y(n)进行相对移位。48序列的相关性1、上式中代表两个序列和间的相对位移。2、序列的互相关运算用于比较两个序列之间的相似性，并根据这种相似性进行信号的检测和测量。3、序列的互相关运算也是一种运算，该运算方式形式上十分类似于卷积运算，因此应格外注意二者的区别。49序列的相关性如果反过来y(n)在时间上保持不变，而对x(n)进行相对移位,则结果ryx(m)为50序列的相关性线性自相关若x(n)=y(n)，则称为x(n)的线性自相关，即显然，当m=0时，有51序列的相关性卷积运算与相关运算的关系上式说明序列y(n)相对参考序列x(n)的互相关运算，可以将y(n)通过具有单位脉冲响应为x(-n)的线性时不变系统得到。52离散时间系统的因果性与稳定性系统的因果性因果性是指系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入，而与n时刻以后的输入无关。系统的因果性表明了系统的物理可实现性。如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果系统，是物理不可实现的。线性时不变因果系统的充要条件为

h(n)=h(n)u(n)53离散时间系统的因果性与稳定性证明：充分性若n<0,h(n)=0，则利用卷积公式，对于任何输入x(n)，其输出为

对某个时刻n0，其输出y(n0)为上式表明n0时刻的输出y(n0)只与m≤n0的所有x(m)有关，而与m>n0的x(m)无关。因此，该系统为因果性系统。54离散时间系统的因果性与稳定性必要性：采用反证法。假定系统为因果性系统，但在n<0时h(n)≠0，按卷积公式，对于任何输入x(n)，n0时刻的其输出y(n0)为这样，由于n<0时h(n)≠0，上式中右边的第二项和式中至少有一项不为零，也就是说，n0时刻的输出y(n0)只少于一个m>n0的x

(m)有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必须有n<0时h(n)=0。

证毕。55离散时间系统的因果性与稳定性系统的稳定性系统的稳定性是指系统对于任何有界输入，输出也应是有界的。通常称这种稳定性为有界输入—有界输出(BIBO)稳定性。系统的稳定条件为56离散时间系统的因果性与稳定性证明：充分性可见，输入是有界时，输出亦有界，因此系统为因果系统。57离散时间系统的因果性与稳定性必要性采用反证法。即对有界的输入，输出为无界，与系统稳定性的假设矛盾。58离散时间系统的因果性与稳定性若系统的单位脉冲响应为h(n)=-anu(-n-1)，讨论系统的因果性与稳定性。解：因果性因在n<0时，h(n)≠0，故系统为非因果系统稳定性591.3线性时不变系统的描述差分方程描述差分方程的求解60差分方程描述N阶前向差分方程式中，x(n),y(n)分别为激励与响应。前向差分方程多用于状态变量分析法。61差分方程描述n阶后向差分方程后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。或62差分方程的求解递推法经典解法时域解法Z域分析法63差分方程的求解例试求一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)的单位脉冲响应，初始条件为y(n)=0(n<0)。解：对单位脉冲响应,x(n)=δ(n),y(n)=h(n),上式可变为h(n)=ah(n-1)+δ(n)h(0)=1h(1)=ah(0)+0=ah(2)=ah(1)+0=a2h(n)=ah(n-1)+0=an写成一般形式为h(n)=anu(n)为因果系统64差分方程的求解

一个常系数线性差分方程是否因果系统，由边界条件（初始）所决定。即初始条件具有y(n)=0(n<0)的形式，且有初始条件向n>0方向递推，其解一般为因果的，反之为非因果。651.4连续时间信号的数字处理抽样定理与A/D转换器抽样信号的恢复与D/A转换器带通信号的抽样661.4连续时间信号的数字处理本节主要介绍模拟信号与数字信号之间相互转换的基本数学原理。为了利用数字系统来处理模拟信号，必须先将模拟信号转换成数字信号，在数字系统中进行处理后在转换成模拟信号。其典型框图如下：67抽样定理与A/D转换器模拟信号数字处理第一步就是将在时间上连续的模拟信号离散化，使之成为在时间上离散的信号。抽样是将连续时间信号离散化的过程，它仅抽取信号波形某些时刻的样值。抽样分为均匀抽样和非均匀抽样，当抽样是可取均匀等间隔点时为均匀抽样，否则为非均匀抽样。实际抽样多为均匀抽样。68抽样定理与A/D转换器理想抽样及其频谱抽样过程：均匀抽样可以看作为一个脉冲调制过程，数学表示为xa(t)为调制信号即输入的模拟信号，p(t)为载波信号是一串周期为T，脉宽为τ的矩形脉冲串，调制后输出的信号就是抽样信号。理想抽样：当τ趋于零的极限情况时，脉冲序列p(t)变成了冲击函数串，称为理想抽样。69抽样定理与A/D转换器理想抽样过程示意图70抽样定理与A/D转换器用M(t)表示冲击函数串M(t)=因此实际上是xa(t)在离散时刻mT的取值xa(mT)的集合。71抽样定理与A/D转换器抽样信号的频谱由频域卷积定理得：其中72抽样定理与A/D转换器将Xa(jΩ)和M(jΩ)带入式中，得73抽样定理与A/D转换器即可见,一个连续时间信号经过理想抽样后,其频谱为周期性信号，且以抽样频率Ωs=2π/T为间隔周期重复。74抽样定理与A/D转换器如图所示（图中仅为其幅度谱）：75抽样定理与A/D转换器理想抽样信号的频谱周期延拓图示例说明1、如果xa(t)的频谱Xa(jΩ)为被限制在某一最高频率Ωh范围内，其频谱如图a所示，则称其为带限信号。对带限信号的抽样满足Ωh≤Ωs/2时,原来频谱和各次延拓分量的频谱不重叠,如图b所示，如采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器对抽样信号进行滤波，就可以不失真的还原出原来的连续信号。076抽样定理与A/D转换器2、但如果信号的最高频率Ωh超过

Ωs/2,则各周期延拓分量产生频谱的交集,将无法不是真的还原出原来的连续信号，即产生了“混叠失真”，如图c所示。Ωs/2通常称为折叠频率或奈奎斯特频率。要想连续带限信号抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率(Ωh≤Ωs/2)，这就是奈奎斯特抽样定理。77抽样定理与A/D转换器A/D转换器的基本原理任何A/D转换器必须包括以下三个基本功能：抽样、抽样保持、量化与编码78抽样定理与A/D转换器量化：将无限精度的抽样信号的幅度离散化，使之变成能用有限字长表示的数字信号。编码：将经量化的数字信号最终表示成为数字系统所能接受并对其实施处理与传输的形式。抽样保持：由于对抽样信号抽样点的值进行量化和编码都需要时间，为了保证在量化和编码期间其值不发生改变，在此之前需对抽样点值加以保持。79抽样信号的恢复与D/A转换器抽样信号的恢复如果抽样信号或通过一理想低通滤波器，就可恢复原信号或。80抽样信号的恢复与D/A转换器由抽样信号恢复原来的连续时间信号的过程的数学原理1）低通滤波器的冲激响应h(t)81抽样信号的恢复与D/A转换器2）理想低通滤波器(filter)的输出抽样内插公式内插函数82抽样信号的恢复与D/A转换器3）内插函数的特性：内插函数波形在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0。这保证了各抽样点上信号值不变。83抽样信号的恢复与D/A转换器4）由抽样内插公式所决定的信号内插恢复过程（1）在抽样点上，信号值不变。（2）抽样点之间的信号则由幅度为抽样值的各内插函数的波形延伸叠加而成。如下图所示：T2T3T04T84抽样信号的恢复与D/A转换器D/A转换器的基本原理译码将数字信号x(n)转换成抽样信号x(nT)=

，零阶保持器的作用是将每个抽样信号的样值保持一个抽样间隔宽度，直到下一个抽样时刻，相当于在一个抽样间隔内进行常数内插，变成模拟信号。图形如下：85抽样信号的恢复与D/A转换器86抽样信号的恢复与D/A转换器零阶保持器的单位冲击响应h1(t)及其频率响应H1(jΩ)分别为h1(t)=10≤

t<T0其他87抽样信号的恢复与D/A转换器其时域与频域幅度波形图分别如下：由H1(jΩ)的波形可见，它是一个低通滤波器，能起到将抽样信号转换成模拟信号的作用。88带通信号的抽样带通信号频谱范围被限制在某一最低频率和某一最高频率范围内：Ω1≤Ω≤Ωh的信号。其有效频带或带宽为Ω=Ωh–Ω1。通常这类信号由带限信号（低通信号）对某个高频的载波调制得来，故其最高频率往往很高。若仍采用带限信号的抽样定理对其抽样，将使抽样数据很大。89带通信号的抽样带通信号的抽样1、带通信号