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文档简介
进行集合的交、并、补运算时 记集合本身和空集的特殊情况空 (答:1,03 3 若ABABA,AB CUABCUACUB,CUAB如:已知关于x的不等式ax50的解集为M,若3M且5M,求实数x2(∵3M,∴a·3532
∵5
a·5552
若pq为真,当且仅当p、q均为若pq为真,当且仅当p、q至少有一个为若p为真,当且仅当p为 f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应 x4例:函y
lgx 义域 令t
x1exx,求f∴xt2∴f(t)et21t2∴f(x)ex21x21x如:求函fx)
x
x)x)f1f(a)f1(b)a,ff1(b)f(a)(yfu),u(x),则y(外层)(内层1如:求ylogx22x的单调区12(设ux22x,由u0则0x1且logu,ux121,如图12u 当x(0,1]时,u,又log1u,∴y2当x[1,2)时,u,又log1u,∴y2零,不影响函数的单调性),反之也对,若f'(x)0呢如:已知a0,函数fx)x3ax在1上是单调增函数,则a的最值是 A. B. C. D.(令fx)3x2a
3x
ax3
a03则xa或x 由已知fx)在[1)∴a
a1,即a3函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)若f(x)f(x)总成fx)为奇函函数图象关于原点对若f(x)fx)总成fx)为偶函函数图象关于y轴对若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)0如:若fx)
a·2xa22x1
为奇函数,则实数a(∵f(x)为奇函数,xR,又0R,∴f(0)a·20a即20
0,∴a又如:fx)为定义在(1,1)上的奇函数,当x(0,1)时,fx)求f(x)在1,1上的解析式
2x,4x(令x1,0x0,1,fx)
2x4x12x 2x又f(x)为奇函数,∴fx)4x114x又f(0)0,∴fx)
24x2
xx
x函数,T是一个周期。如:若fxaf(x),(答:f(x)是周期函数,T2a为f(x)的一个周期即f(ax)fax),f(bx)fbfx)与f(x)的图象关yfx)与fx)的图象关xfx)与fx)的图象关fx)与f1x)yxfx)与f(2ax)的图象关线xa对fx)与f2ax)的图象关(a,0)对将yf(x)个单位yf(x右移a(a0)个单个单位yf(xa)
yf(x下移b(b0)个单
yf(xa)f(x)f(x)
ff如:fx)log2x作出ylog2x1及ylog2x1的图y 反比例函数:ykk0推广为ybx
k0是中心
b
4ac二次函数yax2bxca0ax
顶点坐标为
4acb2 ,对称轴x 开口方向:a0,向上,函数ymin
4acb2a0,向下,ymax
4acb2 如:二次方程ax2bxc0的两根都大于kby 一根大于k,一根小于kfk指数函数:yaxa0,a对数函数ylogaxa0,a y1
“对勾函数yxkkxy 指数运算:a01a0),apap
(amann
(a0),a
n
(a对数运算logaM·NlogaMlogaNM0,N
MlogMlogN,lognM1loga mm对数换底公式logblogcb
bnnloga
logc
如:(1)xR,f(x)满足f(xy)fx)fy),证明f(x)为奇函数(先令xy0f0)0再令y(2)xR,f(x)满足f(xy)fx)fy),证明f(x)是偶函数(先令xytf(t)(t)∴f(t)f(t)f(t)f(t)∴f(t)f(3)证明单调性:fx2fx2x1x2(1)y2x313(2)y
xx(3)x3,y(4)yx4
x9
设x3cos,(5)y4x9,xx(l
1l·R1·R2 R1 sinMP,cosOM,tany SPα 如:若0,则sincostan的大小顺序是又如:求函数y 1 2cosx的定义域和值域 2cosx)1
2sinx sinx 2,如图2∴2k5x2kkZ,0y 1 sinx1,cosx yx 对称点为k,0,kZ 2减区间为2k,2k3k 2图象的对称点为k,0,对称轴为xkk ytanx的增区间为k,kkZ 2振幅|A|,周期T若fx0A,则xx0为对称轴若fx00,则x0,0为对称点,反之也对五点作图:令x依次为0,3,2,求出x与y,依 根据图象求解析式。(求A、、值(x1)如图列出 (x2)解条件组求、正切型函yAtanx,T如:cosx
2(∵x3,∴7x5,∴x5,∴x13 如:函数ysinxsin|x|的值域(x0时,y2sinx2,2,x0时,y0,∴y
x'x
P'(x',y'),则y'y如:函y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得ysinx 4(y2sin2x1原来2倍
142sin x14
4左平移
2
y2sinx1个单位y2sin纵坐标缩短到原来的1 ysin如:1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan4sincos0……称为1的代换2“k·”化为的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象2cos9tan7sin21 6又如:函数ysintan,则y的值coscotA.正值或负 B.负 C.非负 D.正sin(y cos
sin2cos 0,∵cos 0,∵sinsincoscossin
2sincoscoscossinsin
sin2tantantan·
2cos2112sin2cos21tan2
1tan2
sin2
1cos2asinbcos
a2b2sin,tanasincos
2sin 4sin
cos2sin 3(1)角的变换:如
如:已知sincos1tan2,求tan2的值1 (由已知得sincos2sin2又tan3
2sin
1,∴tan2tan
2
1)1tan·
12·
b2c2a2
b
2bccosAcosA
a2Rsin正弦定理:sin
sin
2Rb2Rsinc2Rsin 1a·bsin ∵ABC,∴AB∴sinABsinC,sinABcos 如ABC中,2sin2ABcos2C2求角
2
2
,求cos2Acos2B的值又ABC,∴2cos2CcosC1cosC1或cosC1(舍2又0C,∴C3(2)由正弦定理及a2b21c2得22sin2A2sin2Bsin2Csin2 1cos2A1cos2B4∴cos2Acos2B34反正弦arcsinx,x 2反余弦arccosx0,,x反正切arctanx,xR 2(1)a
c0acbcc0ac(2)ab,cdacb(3)ab0,cd0ac(4)ab011,ab01 (5)ab0anbn,nan(6)|x|aa0axa,|x|axa或x如:若110,则下列结论不正确的是 A.a2C.|a||b||a
D.ab
aba2b22aba,bR;ab
2
a2
ab ab
a,bR a当且仅当ab时等号成立a2b2c2abbccaa,b当且仅当abc时取等号ab0,m0,n0,bbm1an a b 如:若x0,23x4的x(设y23x422 当且仅当3x4,又x又如:x2y1,则2x(∵2x22y22x2y如:证明11
…1n(
……11111……
n 212)解分式不等fx)如:x1x12x23如:对数或指数的底分a1或0a (解集为x|x12 2 会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问求证f(xf(a)证明|f(xf(a)||(x2x13a2a|(xa)(xa1)|(|xa||xa||xa1||xa又|x||a||xa|∴f(x)f(a)2|a|2如:afx)恒成立afx)的最小afx)恒成afx)的最大afx)能成afx)的最小例如:对于一切实数xx3x2a恒成立,则a的取值范围或者x3x2x3x25,∴a定义:an1and(d为常数),ana1n前n项和Sn
a1ann
na1
nnd2性质:an是等差数若mnpq,则amanapaq数列a2n1,a2n,kanb仍为等差数列若三个数成等差数列,可设为ad,a,a
,b是等差数列S,T为前n项和
S2m1
bm a为等差数San2bn(a,b为常数,是关于n的常数 0的二次函数 S的最值可求二次函数San2bn的最值;或者求出a中的正
n
an1an当a10,d0, an1如:等差数列an,Sn18,anan1an23,S31,则n(由anan1an233an13,∴an1又S3
a12
·33a1,∴a aa a
∴S
n定义an1an
为常数,q0),a
a1等比中项:x、G、y成等比数G2xy,或G1na1(q前n
a1qn
(要注意 1
性质:an是等比数若mnpq,则am·anap(n1时,a1S1,n2时,anSn如
满足1
1
……1
2n
1 2
2 解
121
n2时1a1
…… 1
2n1
22
2
12得:1a2 n∴an (n∴an
(n[练习数列
满足S
5 ,a4,求
3
代入得Sn1Sn又S14,∴Sn是等比数列,Snn2时,anSnSn1例如:数列an中,a1a a33解 a3
an
12又
3,∴an由anan1f(n),a1a0两边相n2时,a2a1两边相a3a
f(3) ……an
f(n)ana1f(2)f(3)……∴ana0f(2)f(3)……[练习 数列a,a1,a (a
13n22ancan1c令(c1)xd,∴x
c∴a d是首项为 c
c
a
dc
a
dcn1c
c[练习数列an满足a19,3an1an4,求a 4
2anan
由已知得:
an21∴11
2
an1为等差数列11,公差a an
11n1·11nan∴a
n 如:an是公差为d的等差数列,求a k1k
11
1da a
d 解
k1
1 1∴a
k1k
k1dak ak111
11
1……1
1d a
a
2
3
n11 1 d
an1[练习
11
12
……
1123……(an……
2
n和,可由SnqSn求Sn,其中q为bn的公比。n如:S12x3x24x3…… 1nnx·Sx2x23x34x4……n1xn1nn12:1xS1xx2……xn1n
21xn x1时,Sn 1
1
nnx1时,Sn123……n Sna1a2an1an相Snanan1……a2a12Sna1ana2an1……a1an[练习
1
1
1
1x2∴原f(1)f(2)f1f(3)f1f(4)f1
3 4111131 若每期存入本金p元,每期利率为r,nSnp1rp12r……p1nrpn
r……等差问△若按复利,如问题——按揭的每期还款计算模型(按揭——分期等额归若(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还x元,满足p(1r)nx1rn1x1rn2……x1r11rn 1rn
pr11rnp 排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)nnnAmnn1n2……nm1n
n
m规定:0!组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从nnnAmCmn
nn1……nm1 Am Am
m!nnn组合数性质CmCnm,CmCm1
,C0C1……Cn
xi ,92,93,(i1,2,3,4)且满足x1x2x3x4 A. B. C. D.中间两个分数不相等55x1x2x3(ab)nC0anC1an1bC2an2b2…Cranrbr…Cnbn rnrn b(rnnnnn
Cnrrn 系数和:C0C1Cnn C1C3C5…C0C2C4 n2n2
n1
表示∴共有12项,中间两项系数的绝对值最大,且为第126或第726C5 又如:12x2004aaxax2…… x2004x a0a1a0a2a0a3……a0a2004(令x0,得:a0令x1,得:a0a2a2004
包含关系:AB,“A发生必导致B发生”称B包含A 事件的和(并):AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与事件的积(交):A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积互斥事件(互不相容事件):“AB不能同时发生”叫做A、B“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事AA,AA独立事件:AB发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立A与B独立,A与B,A与B,A与B也相互独立P(A)
若A、B互斥,则PABP(A(4)P(A)1如果在一次试验中ApnAk次的概率:P(k)Ckpk1 104件次品,6 2P4 C C52 P4
C C323次(1件3∴mC2·42613
C2·42·6
52件次品。∴nA5,mC2A2A3
CACAA5A
若分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和性。其中,频小长方形的面组距频样本平均值:x1n
1
……xn样本方差:S2
x2
x2……
x22n如:从10名 与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按 2nC4C6(105C6单位向量|a0|1a0a(4)零向量0,|0| a bab0存在唯一实数,使b OAOB OAOB axiyj,称(x,y)为向a的坐标,记作ax,y,即为向量的坐 设ax1,y1bx2,y 则abx1,y1y1,y2x1y1,x2yax1,y1x1,y1若Ax1,y1,Bx2,y22则ABx2x1,y2y12
x2x1
y2y1
2,A、B两点间距离公2 a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积) 为向a与b的夹角, a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积 ①a·bb· ②(ab)ca·cb· ③a·bx1,y1·x2,y2x1x2 (3)重要性质ax1,y1bx2,y2 ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y2 aba·b|a|·|b|或a·b ab(b0,惟一确定x1y2x2y1 ③ |a|2x2y2,|a·b||a|·|b|④cos
a·b
x1x2 x2y2
x2[练习
|a|·|b|
已知正方形ABCD,边长为1ABaBCbACc,|abc|2 若向量ax,1,b4,x,当x 时a与b共线且方向相 ab均为单位向量,它们的夹角为60o,那么|a3答案:设P1x1,y1,P2x2,y2,分点Px,y,设P1、P2是直线l上两点,P点 l上且不同于P1、P2,若存在一实P1PPP2叫做P分有向线 xx1 xx1 1
,P为PP中点时 y 1 yy y 1 如:ABC,Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3则ABC重心G的坐标是x1x2x3y1y2y3 ※.线∥线线
a∥b,b面,aa∥面a ∥面,面,bPA⊥面,AO为PO在
影,a面,a⊥OAa⊥PO;a⊥POPOa⊥b,a⊥c,b,c,bcOaO αalβa⊥面,b⊥面 =0o时,b∥或b∴∠AOB为所求。) [练习(1)如图,OA为α的斜线OB为其在 影,OC为α内过O点任一直线证明:cosAαOθβB D成的为30°。BD1和底面ABCDHGDCAB(①arcsin3;②60o;③463PFDCAEB如:正方
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