高三数学知识点总结

进行集合的交、并、补运算时 记集合本身和空集的特殊情况空 （答：1，03 3 若ABABA，AB CUABCUACUB，CUAB如：已知关于x的不等式ax50的解集为M，若3M且5M，求实数x2（∵3M，∴a·3532

∵5

a·5552

若pq为真，当且仅当p、q均为若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为若p为真，当且仅当p为 f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应 x4例：函y

lgx 义域 令t

x1exx，求f∴xt2∴f(t)et21t2∴f(x)ex21x21x如：求函fx)

x

x）x）f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)（yfu)，u(x)，则y（外层）（内层1如：求ylogx22x的单调区12（设ux22x，由u0则0x1且logu，ux121，如图12u 当x(0，1]时，u，又log1u，∴y2当x[1，2)时，u，又log1u，∴y2零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢如：已知a0，函数fx)x3ax在1上是单调增函数，则a的最值是 A. B. C. D.（令fx)3x2a

3x

ax3

a03则xa或x 由已知fx)在[1)∴a

a1，即a3函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）若f(x)f(x)总成fx)为奇函函数图象关于原点对若f(x)fx)总成fx)为偶函函数图象关于y轴对若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0如：若fx)

a·2xa22x1

为奇函数，则实数a（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)a·20a即20

0，∴a又如：fx)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，fx)求f(x)在1，1上的解析式

2x，4x（令x1，0x0，1，fx)

2x4x12x 2x又f(x)为奇函数，∴fx)4x114x又f(0)0，∴fx)

24x2

xx

x函数，T是一个周期。如：若fxaf(x)，（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期即f(ax)fax)，f(bx)fbfx)与f(x)的图象关yfx)与fx)的图象关xfx)与fx)的图象关fx)与f1x)yxfx)与f(2ax)的图象关线xa对fx)与f2ax)的图象关(a，0)对将yf(x)个单位yf(x右移a(a0)个单个单位yf(xa)

yf(x下移b(b0)个单

yf(xa)f(x)f(x)

ff如：fx)log2x作出ylog2x1及ylog2x1的图y 反比例函数：ykk0推广为ybx

k0是中心

b

4ac二次函数yax2bxca0ax

顶点坐标为

4acb2 ，对称轴x 开口方向：a0，向上，函数ymin

4acb2a0，向下，ymax

4acb2 如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kby 一根大于k，一根小于kfk指数函数：yaxa0，a对数函数ylogaxa0，a y1

“对勾函数yxkkxy 指数运算：a01a0)，apap

(amann

(a0)，a

n

(a对数运算logaM·NlogaMlogaNM0，N

MlogMlogN，lognM1loga mm对数换底公式logblogcb

bnnloga

logc

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)fx)fy)，证明f(x)为奇函数（先令xy0f0)0再令y（2）xR，f(x)满足f(xy)fx)fy)，证明f(x)是偶函数（先令xytf(t)(t)∴f(t)f(t)f(t)f(t)∴f(t)f（3）证明单调性：fx2fx2x1x2（1）y2x313（2）y

xx（3）x3，y（4）yx4

x9

设x3cos，（5）y4x9，xx（l

1l·R1·R2 R1 sinMP，cosOM，tany SPα 如：若0，则sincostan的大小顺序是又如：求函数y 1 2cosx的定义域和值域 2cosx）1

2sinx sinx 2，如图2∴2k5x2kkZ，0y 1 sinx1，cosx yx 对称点为k，0，kZ 2减区间为2k，2k3k 2图象的对称点为k，0，对称轴为xkk ytanx的增区间为k，kkZ 2振幅|A|，周期T若fx0A，则xx0为对称轴若fx00，则x0，0为对称点，反之也对五点作图：令x依次为0，3，2，求出x与y，依 根据图象求解析式。（求A、、值(x1)如图列出 (x2)解条件组求、正切型函yAtanx，T如：cosx

2（∵x3，∴7x5，∴x5，∴x13 如：函数ysinxsin|x|的值域（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y

x'x

P'（x'，y'），则y'y如：函y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得ysinx 4（y2sin2x1原来2倍

142sin x14

4左平移

2

y2sinx1个单位y2sin纵坐标缩短到原来的1 ysin如：1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan4sincos0……称为1的代换2“k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象2cos9tan7sin21 6又如：函数ysintan，则y的值coscotA.正值或负 B.负 C.非负 D.正sin（y cos

sin2cos 0，∵cos 0，∵sinsincoscossin

2sincoscoscossinsin

sin2tantantan·

2cos2112sin2cos21tan2

1tan2

sin2

1cos2asinbcos

a2b2sin，tanasincos

2sin 4sin

cos2sin 3（1）角的变换：如

如：已知sincos1tan2，求tan2的值1 （由已知得sincos2sin2又tan3

2sin

1，∴tan2tan

2

1）1tan·

12·

b2c2a2

b

2bccosAcosA

a2Rsin正弦定理：sin

sin

2Rb2Rsinc2Rsin 1a·bsin ∵ABC，∴AB∴sinABsinC，sinABcos 如ABC中，2sin2ABcos2C2求角

2

2

，求cos2Acos2B的值又ABC，∴2cos2CcosC1cosC1或cosC1（舍2又0C，∴C3（2）由正弦定理及a2b21c2得22sin2A2sin2Bsin2Csin2 1cos2A1cos2B4∴cos2Acos2B34反正弦arcsinx，x 2反余弦arccosx0，，x反正切arctanx，xR 2（1）a

c0acbcc0ac（2）ab，cdacb（3）ab0，cd0ac（4）ab011，ab01 （5）ab0anbn，nan（6）|x|aa0axa，|x|axa或x如：若110，则下列结论不正确的是 A.a2C.|a||b||a

D.ab

aba2b22aba，bR；ab

2

a2

ab ab

a，bR a当且仅当ab时等号成立a2b2c2abbccaa，b当且仅当abc时取等号ab0，m0，n0，bbm1an a b 如：若x0，23x4的x（设y23x422 当且仅当3x4，又x又如：x2y1，则2x（∵2x22y22x2y如：证明11

…1n（

……11111……

n 212）解分式不等fx)如：x1x12x23如：对数或指数的底分a1或0a （解集为x|x12 2 会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问求证f(xf(a)证明|f(xf(a)||(x2x13a2a|(xa)(xa1)|(|xa||xa||xa1||xa又|x||a||xa|∴f(x)f(a)2|a|2如：afx)恒成立afx)的最小afx)恒成afx)的最大afx)能成afx)的最小例如：对于一切实数xx3x2a恒成立，则a的取值范围或者x3x2x3x25，∴a定义：an1and(d为常数)，ana1n前n项和Sn

a1ann

na1

nnd2性质：an是等差数若mnpq，则amanapaq数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列若三个数成等差数列，可设为ad，a，a

，b是等差数列S，T为前n项和

S2m1

bm a为等差数San2bn（a，b为常数，是关于n的常数 0的二次函数 S的最值可求二次函数San2bn的最值；或者求出a中的正

n

an1an当a10，d0， an1如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n（由anan1an233an13，∴an1又S3

a12

·33a1，∴a aa a

∴S

n定义an1an

为常数，q0），a

a1等比中项：x、G、y成等比数G2xy，或G1na1(q前n

a1qn

（要注意 1

性质：an是等比数若mnpq，则am·anap（n1时，a1S1，n2时，anSn如

满足1

1

……1

2n

1 2

2 解

121

n2时1a1

…… 1

2n1

22

2

12得：1a2 n∴an (n∴an

(n［练习数列

满足S

5 ，a4，求

3

代入得Sn1Sn又S14，∴Sn是等比数列，Snn2时，anSnSn1例如：数列an中，a1a a33解 a3

an

12又

3，∴an由anan1f(n)，a1a0两边相n2时，a2a1两边相a3a

f(3) ……an

f(n)ana1f(2)f(3)……∴ana0f(2)f(3)……［练习 数列a，a1，a （a

13n22ancan1c令(c1)xd，∴x

c∴a d是首项为 c

c

a

dc

a

dcn1c

c［练习数列an满足a19，3an1an4，求a 4

2anan

由已知得：

an21∴11

2

an1为等差数列11，公差a an

11n1·11nan∴a

n 如：an是公差为d的等差数列，求a k1k

11

1da a

d 解

k1

1 1∴a

k1k

k1dak ak111

11

1……1

1d a

a

2

3

n11 1 d

an1［练习

11

12

……

1123……（an……

2

n和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。n如：S12x3x24x3…… 1nnx·Sx2x23x34x4……n1xn1nn12：1xS1xx2……xn1n

21xn x1时，Sn 1

1

nnx1时，Sn123……n Sna1a2an1an相Snanan1……a2a12Sna1ana2an1……a1an［练习

1

1

1

1x2∴原f(1)f(2)f1f(3)f1f(4)f1

3 4111131 若每期存入本金p元，每期利率为r，nSnp1rp12r……p1nrpn

r……等差问△若按复利，如问题——按揭的每期还款计算模型（按揭——分期等额归若（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足p(1r)nx1rn1x1rn2……x1r11rn 1rn

pr11rnp 排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）nnnAmnn1n2……nm1n

n

m规定：0!组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从nnnAmCmn

nn1……nm1 Am Am

m!nnn组合数性质CmCnm，CmCm1

，C0C1……Cn

xi ，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4 A. B. C. D.中间两个分数不相等55x1x2x3(ab)nC0anC1an1bC2an2b2…Cranrbr…Cnbn rnrn b(rnnnnn

Cnrrn 系数和：C0C1Cnn C1C3C5…C0C2C4 n2n2

n1

表示∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第126或第726C5 又如：12x2004aaxax2…… x2004x a0a1a0a2a0a3……a0a2004（令x0，得：a0令x1，得：a0a2a2004

包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A 事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积互斥事件（互不相容事件）：“AB不能同时发生”叫做A、B“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事AA，AA独立事件：AB发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立P(A)

若A、B互斥，则PABP(A（4）P(A)1如果在一次试验中ApnAk次的概率：P(k)Ckpk1 104件次品，6 2P4 C C52 P4

C C323次（1件3∴mC2·42613

C2·42·6

52件次品。∴nA5，mC2A2A3

CACAA5A

若分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和性。其中，频小长方形的面组距频样本平均值：x1n

1

……xn样本方差：S2

x2

x2……

x22n如：从10名 与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按 2nC4C6（105C6单位向量|a0|1a0a（4）零向量0，|0| a bab0存在唯一实数，使b OAOB OAOB axiyj，称(x，y)为向a的坐标，记作ax，y，即为向量的坐 设ax1，y1bx2，y 则abx1，y1y1，y2x1y1，x2yax1，y1x1，y1若Ax1，y1，Bx2，y22则ABx2x1，y2y12

x2x1

y2y1

2，A、B两点间距离公2 a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积） 为向a与b的夹角， a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积 ①a·bb· ②(ab)ca·cb· ③a·bx1，y1·x2，y2x1x2 （3）重要性质ax1，y1bx2，y2 ①a⊥ba·b0x1·x2y1·y2 aba·b|a|·|b|或a·b ab（b0，惟一确定x1y2x2y1 ③ |a|2x2y2，|a·b||a|·|b|④cos

a·b

x1x2 x2y2

x2［练习

|a|·|b|

已知正方形ABCD，边长为1ABaBCbACc，|abc|2 若向量ax，1，b4，x，当x 时a与b共线且方向相 ab均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a3答案：设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点 l上且不同于P1、P2，若存在一实P1PPP2叫做P分有向线 xx1 xx1 1

，P为PP中点时 y 1 yy y 1 如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3则ABC重心G的坐标是x1x2x3y1y2y3 ※.线∥线线

a∥b，b面，aa∥面a ∥面，面，bPA⊥面，AO为PO在

影，a面，a⊥OAa⊥PO；a⊥POPOa⊥b，a⊥c，b，c，bcOaO αalβa⊥面，b⊥面 ＝0o时，b∥或b∴∠AOB为所求。） ［练习（1）如图，OA为α的斜线OB为其在 影，OC为α内过O点任一直线证明：cosAαOθβB D成的为30°。BD1和底面ABCDHGDCAB（①arcsin3；②60o；③463PFDCAEB如：正方