高考数学理一轮总复习特效提高题库133直接证明与间接证明(含答案解析)

13.3直接证明与间接证明一、选择题“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理()A小前提错B结论错C正确D大前提错解析大前提，小前提都正确，推理正确，应选C.答案C．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a－b、b－c、c(22(2)(2)a不能能都大于”时，反证时假设正确的选项是()－)1．假设a(2－b、b－c、c(2－a都小于1A)(2))B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1C．假设a(2－b、b－c、c(2－a都不大于1)(2))D．以上都不对解析“不能能都大于1”的否定是“都大于1”，应选B.答案B3．以下命题中的假命题是()．A．三角形中最少有一个内角不小于60°B．周围体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中最少有一个为奇数解析a＋b为奇数?a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．答案D4．命题“若是数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}必然是等差数列”可否成立()．A．不成立B．成立C．不能够判断D．能判断解析∵Sn＝2n2－3n，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1吻合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)，{an}是等差数列．答案B1115．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋b、b＋c、c＋a()．A．都大于2B．都小于2C．最少有一个不大于2D．最少有一个不小于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，11111a＋b＋b＋c＋c＋a＝a＋a＋b＋b＋1c＋c≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能够都小于，即最少有一个不2小于2.答案Dx，则a与b大小关系为()6．设a＝lg2＋lg5，b＝e(x＜0)A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b解析∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝，1而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案A7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝()．A．nB．n＋1C．n－1D．n2解析由(n＋1)*1＝n＋，得n*1＝n－1)*1＋＝n－2)*1＋＝＝n.*11(1(2,答案A二、填空题用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中最少有一个能被3整除”时，假设应为.解析由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中最少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能够被3整除”.答案a、b都不能够被3整除9．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．①反证法，②解析法，③综合法．答案②10．设a，b是两个实数，给出以下条件：a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中最少有一个大于1”的条件是______．(填序号)解析若a＝12，b＝23，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中最少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中最少有一个大于1.答案③11．若是aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．解析第一a≥0，b≥0且a与b不同样为0.要使aabbabbaaabb2＞(abba2，＋＞＋，只需(＋)＋)即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b12．若a，b，c是不全相等的正数，给出以下判断：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；a>b与a<b及a＝b中最少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能够同时成立．其中判断正确的选项是_______．解析①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.选C.答案①②三、解答题11313．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋b＋b＋c＝a＋b＋c，试问A，B，C可否成等差数列，若不能等差数列，请说明原由．若成等差数列，请给出证明．解析A、B、C成等差数列．证明以下：113a＋b＋b＋c＝a＋b＋c，a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋b＋c＝3.aa＋b＋b＋c＝1，c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得222a＋c－bac1∵0°<B<180°，∴B＝60°.A＋C＝2B＝120°.A、B、C成等差数列．|a|＋|b|14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a＋b|≤2.证明a⊥b?a·b＝0，|a|＋|b|要证|a＋b|≤2.只需证|a＋b≤2|a＋b，||||只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．15．若a、b、c是不全相等的正数，求证：a＋bb＋cc＋aa＋lgb＋lgc.lg2＋lg2＋lg2＞lg证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋bb＋ca＋c2≥ab＞0，2≥bc＞0，2≥ab＞0.又上述三个不等式中等号不能够同时成立．a＋bb＋cc＋a∴2·2·2＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lga＋bb＋cc＋a＞lg(abc)，2·2·2a＋bb＋cc＋alg2＋lg2＋lg2＞lga＋lgb＋lgc.16．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同样的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.1(1)证明：a是f(x)＝0的一个根；1(2)试比较a与c的大小；(3)证明：－2＜b＜－1.解析(1)证明∵f(x)的图象与x轴有两个不同样的交点，f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，12c211c，aaa1∴a是f(x)＝0的一个根．11假设a＜c，又a＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f1＞0与f11a