狭义相对论应用

第13讲：狭义相对论一应用内容:§18-4,§18-5狭义相对论的时空观（50分钟）光的多普勒效应3.狭义相对论动力学的几个结论（50分钟）4.广义相对论简介要求：理解狭义相对论的时空观，包括同时性的相对性、长度的收缩与时间的延缓.了解光的多普勒效应。.掌握狭义相对论动力学的几个结论，明确当物体运动速度V〈〈C时，相对论力学过渡到牛顿力学，牛顿力学仅适用于低速动动的物体。.了解广义相对论的意义。重点与难点：狭义相对论时空观的理解。狭义相对论动力学的主要结论。作业：问题：P213:7,8,9,11习题：P214:11,12,13,14复习：•伽俐略变换式牛顿的绝对时空观•迈克尔逊-莫雷实验•狭义相对论的基本原理§18-4狭义相对论的时空观OutlookonTime_spaceofSpecialTheoryofRelativitySimultaneity):―、同时的相对性（RelativityofIS)概念Simultaneity):IS)狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。2.例子:Einstein列车：以u匀速直线运动，车厢中央有一闪光灯发出信号，光信号到车厢前壁为事件1,到后壁为事件2;地面为S系，列车为S'系。在S'系中，A以速度v向光接近；B以速度v离开光，事件1与事件2同时发生。在S系中，光信号相对车厢的速度v’]=c-v,v’2=c+v,事件1与事件2不是同时发生。即S'系中同时发生的两个事件，在S系中观察却不是同时发生的。因此，"同时"具有相对性。说明：Lorentz速度变换式中，是求某质点相对于某参考系的速度，不可能超过光速。而在同一参考系中，两质点的相对速度应该按矢量合成来计算。2.解释：在S'系中，不同地点x1'与x2'同时发生两件事ff1Af1—f1f»—nAY1—Y1v1h-与，八l一、-匕一U，八X一X1一X2在S系中

At，+—Ax，At=.广、(1-(—c》由于△t'=0oAx'=x1'-X2'/0，故△t/0O可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。即不同地点发生的两件事，对S'来说是同时发生的，而在S系中不一定是同时发生的。若八X'=X1'-X2'=0，则△t=0，即是同一地点同时发生的两件事，则在不同的惯性中也是同时发生的。进一步说明：若t1'<t2',S'系中，事件1早于事件2;但是随着x1'-X2'的取值不同，t1-12就可能小于零、大于零或等于零，既事件1可能早于事件2,也可以晚于2,或同时发生，两事件的先后次序在不同的惯性系中可能发生颠倒。例：地球上，甲出生于：X],t];乙出生于：X2,t2若X。-x=3000km,t-t=0.06s2121结论：甲哥，乙弟若飞船上看，v=0.6c,t2’-tj=0,甲乙同时出生v=0.8c,t2，<t1，=0,甲弟，乙哥哥*相对论可以证明，关连事件的时序具有绝对性。*同时性的相对性否定了各个惯性系具有统一时间的可能性，否定了牛顿的绝对时空观。*事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后假设在S系中，t时刻在x处的质点经过△t时间后到达x+Ax处，则由：得到At'=因为v>C,UAC,所以△t’与^t同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。得到At'=二长度的收缩（LengthContraction）——洛伦兹收缩S'、S系，棒l相对于S'静止于OX’轴，棒长（固有长度，ProperLength）l=x2'-xf用S的坐标表示，则/Ix'==11<1-P2同时测量t1=t2,则,,x-xv'T7?i，=nvi-p22/v'T7?i，=nvi-p2固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l0表示。即l=1'气：1-P2洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的、厂萨倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短o结论：相对观察者静止，其长度测量值大；相对观察运动，则在运动方向上缩短，只有原长的rMP!倍；在与运动垂直的方向上长度不变。汤普斯金的误解（伽莫夫一物理世界奇遇记，科普读物）:高速运动的物体变扁。这是不对的，长度收缩效应只能测量出来，是看不出来的。直到1955年，JamesTorrel等人才开始纠正了这个错误。长度收缩效应是时空属性，并不是由于物体运动引起物体之间的相互作用而产生的实在的收缩。应该强调的是，狭义相对论中的长度收缩完全是相对的。三、时间的延缓（TimeDilation）:―寸间膨胀S'系中处有一静止的钟，两事件发生在同一地点x',对于时刻t.t」，时间间隔（固有时间，ProperTime）△t'=t2'-t1'oS系中，时刻t1、12由Lorentz变换得到："‘,2主'k1V2）

所以Z=t-1=\G'-1，）=仙'2121即At=At'/^1—p2可见S'系同一地点发生的两个事件的时间间隔小于S系所记录两事件的时间间隔，即运动的钟变慢。在一个惯性系中，先后发生在同一地点的两个事件之间的时间间隔称为该参考系的固有时间。S系观察者发现自己的那些同步钟走了1秒，那只相对自己运动的钟走了还不到1秒，因而他说运动的钟变慢。佯缪：对同一事物，用一种推理得出一个结论，有加速度的人会变而用另一种推理却得到相反得结论。年轻——生命过程将进行缓慢，不易衰老，对身体有好处。生命在于运动*孪生子效^(TwinEffect),不是TwinParadox问题：哥哥——风华正茂弟弟一一白发苍苍中国神话：天上一日，地下一年这种效应能够证明一一971年，美国空军Cs原子钟证明；相对论观点：不会出现Paradox，广义相对论可以解释。四、狭义相对论时空观：1.Lorentz变换坐标的特点：时间坐标与空间坐标互为函数时间坐标与空间坐标都与惯性系的相对运动有关。时空观：时间与空间的测量都与观察者所在的参考系有关，空间与时间的测量不是彼此独立的，并且它们都与物质运动状态有着密切的关系。例一在惯性系S中，有两个事件同时发生，在xx'轴上相距1.0x103m处，从另一惯性系S’中观察到这两个事件相距2.0x103m。问由S’系测得此两

事件的时间间隔为多少？解：由题意知，在S系中，t=t,，即At=t-1=0,"-x1=1.0x103mo21''2121在S’系看来时间间隔为At'=t-1空间间隔为X-M=2.0x103mi-i-ozjk曰/i、,汩21,汩/J’21o由洛伦兹坐标变换式得：由洛伦兹坐标变换式得：-t)_-t)_上G-x)z代入（2）式得-X)2D(2)C212a，(33x103()At=—x2x103==5.77x10-6\s)2c3x103例二半人马星座a星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3x1016m。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座a星之间。若宇宙飞船的速度为0.999c,按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？解：以地球上的时钟计算：2x4.3x1016.2x4.3x1016v0.999x3x108=2.87x108=9a（a为annual之首字母）;若以飞船上的时钟计算：（原时），因为At=At7y1-(vc)2所以得At'=At(1-侦；现=2.87x108x%1-0.9992=1.28x107(s)=0.4a例三假设火箭上有一天线，长Z'=1m，以450角伸出火箭体外，火箭沿水平方向以u=c3）速度运行，问地面上的观察者测得这天线的长度和天线与火箭体的交角各多少？

解•在S’系中.l'=l'cos45o=^2；2(m)l'=l，sin45o=22(m)y'解•在S’系中.l'=l'cos45o=^2；2(m)l'=l，sin45o=22(m)y'。在S系中•ly="'2/2m).1-(u：c)2=V所以l=/+12=\：G「4)lx=l卜+=(2「4(m)=J0..4=0.791(m)0=arctg（.lV'x这就是洛伦兹收缩arctg2=63.43o=63。26'解：由题意知，两个事件的固有时为在s系中的时间间隔At=4.0s,由时间膨胀可得在s’系中两个事件的时间间隔为：At'=A\1-°c■，所以，s’系相对于s系的运动速度为：v=1-（At.At'）」2c=1-（46》」2c=%59c=c*53由洛仑兹变换式可得在s’系测量这两个事件的空间间隔是：vAt.,Ax-vAt3.,Ax=•(\=-『\=-vAtH-(vc2v1-(vc)2(逆变换式也可得到)vAt*一般人的®维方式一一复杂性思维遇到问题时，思考用学过的知识是怎样教我们解决这个问题的，选择以经验为基础的、最有希望的方法，排除其他一切方法，并且沿着这个明显界定的方向去解决问题。爱因斯坦~创造性的思维•发散思维一多角度考虑问题，挖掘所有可供选择的解决方法•形象化思一使自己的思维形象化，非常直观同时性的相对性一一理想列车闪电实验时间相对性一在火炉上和在公园柳荫下与漂亮女郎谈情说爱•善于创造一48篇论文Edison093项专利莫扎克一一00多首乐曲•独创性的组合：质能关系质速关系在不同的事物之间建立联系爱因斯坦：卓别林，伟大一您的电影全世界都能看懂卓别林：爱因斯坦，伟大一您的相对论基本没有人能看懂§18-5光的多普勒效应OpticalDopplerEffectTOC\o"1-5"\h\z前面讨论了机械波的多普勒效应，即运r动物体的频率与参考系的选择有关。本节我0们讨论光的多普勒效应。t如图所示，以光源B为S'系，S'相对于"rS系以速度v运动，以探测器A为S系。开''始时，tA=tB=0，S'系中B发出一脉冲信号。S'系测得此脉冲信号得时间间隔为AtoB°S系测得此脉冲信号得时间间隔应为△tA1=Y△tB，其中7=-,.'1-P2光信号从B-A，需时间八tA2=x/c，其中x=cAtA1为光脉冲在△tA2时间内经过的距离。探测器A测得的时间间隔为：XAt=At+At=yAt+—=yAt+-AtAA1A2BcBcA1v。v\=yAt+y-At=y[1+-jAt即：At=y〈+认t=f上"AtAB"1-PJBS系A钟测得得时间△tA比S'系B钟测得的时间△tB要长。若以△t表示两连续光脉冲的时间差，即振荡周期，则频率可以由1/At求得为：（1R、1/2V=或VA"1+PJB式中VA为S系探测器接收的光信号频率;VB为S'系中光源发出的光脉冲信号频率（即所谓的本征频率）若光源向着探测器运动，则：V若光源向着探测器运动，则：VAf*V11-PjB频率不同，若光源的频率为频率不同，若光源的频率为V察者接受到的频率V为：结论：当光源与观察者之间有相对运动时，观察者接受到的光的频率与光源的,光源与观察者之间相对运动的速率为V,则当光源与探测器相远离时，探测器测得光的频率要小于光的本征频率——红移现象。当光源与探测器相向运动时，探测器测得光的频率要大于光的本征频率蓝移现象。1/2V0[!1/2V011+P其中P=V/c。若光源与观察者互相接近，上式分子取正号，分母取负号，接受到的频率大于原来的频率；若光源与观察者互相远离，上式分子取负号，分母取正号，接受到的频率大于原来的频率。注意：光的多普勒效应不会改变光的颜色。§18-6狭义相对论动力学基础―、相对论质量(RelativiticMass):牛顿力学：质点得质量m为恒量，在外力F作用下，由牛顿运动定律F=ma可知质点得加速度不为零，速度逐渐增大，最终可超过光速c。2.狭义相对论：质量不是恒量。前提条件：系统总质量与总动量守恒，由Lorentz变换式可导出质量与速率的7£关系m忐m=亍—三』I「仍2『—-3\"c)式中m0为粒子的静止质量。?、……一….1J7/1运动物体质量增大了。。FlMg0.40.5。舟心0.80Jl.fl3.简单推导:假设有两个静止质量相同的小球A、B作完全非弹性碰撞。对于静止的S系，假设A碰撞前的速度为v，碰撞后的速度为ux，则(m+m力=mv(1)而在运动的S'系中'，则有'=_mvx(2)Cm+m'=_mvx(2)碰撞前疑撞后（3）碰撞前后，质量守恒，均为m+m0,m为运动质量，m0为静止质量因而：u'=-uTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"xx由Lorentz变换：碰撞前疑撞后（3）u'=——=-uxVx1-应ux解得：工-1=1--Luuc2xx（1）代入（3）得：m+miimv2mm+mc20即m+mo=2-m+m)-m2—0c2两边同乘以m（m+m（）），则有。+m）2=2m化简，得=m21-V2Ic2)所以运动时球的质量为m=,m0——质速关系式（v\2】1-L\"c）m0—静止质量（v=0）m——运动质量（v扑）例子+m)-m2—0c2假设有两个静止时质量均为m的小球，发生完全非弹性碰撞前的分别相对于S系和S’系静止，S’系相对于S系以速度V沿x轴正向运动。下面我们分析一下在两个参照系中的观察者所看到的物理过程。V，J（1）s系中观察者本系小球：v=0，m0,P=0另一小球：v,m,P=mv=mv所以碰撞之刖：总动量（完全非弹性）碰撞之后：由总质量守恒知总质量为（m0+m）u由总动量守恒知动量为：m+m\，这里u为总质量相对S系的速度。由动量守恒定律得：mv=mo+m>（2）S’系中观察者(1)本系小球：v=0,m0,P=0另一小球：-v,m,P=-mv所以碰撞之前：总动量=-mv,（完全非弹性）碰撞之后：饥。+m）uU，总动量=^。+m''，这里u’为总质量相对S’系的速度。由动量守恒定律得：-mv=^0+m）U，由（1）式和（2）式得：u'=-u由洛伦兹速度变换可得："'=u一（2）uvc2），将u'=-u代入上式可得：（v/u）2-2（v/u）+（y/c）2=0，解之得：vju=1±J1-v2/c2；由（1）式得：v：u=m+m/m〉1所以取"+"得：证毕。4.说明：在宏观物体所能达到的速度范围内，质量随速度变化非常小，可以忽略不计。例如：v=104m/sm-m1m0m-m1m0(1"2(104)2"3x108)=5.6x10-10例如v=0.98c，m=5.03m0。v>c时，质量m为虚数，没有意义，因而光速是物体运动速度的极限。当v=c时，分母为零，要求质量m为有限值，则必须m0=0。结论：光子静止质量为零，不存在静止的光子。5.实验验证:M子衰变；2)Bucherer实验：电子质量与速度有关。二、相对论动量相对论动量：、方一mvP=mv—0I(仍2J1-V\"CJ动量守恒普通成立。动量公式与牛顿力学形式完全相同，但是质量的含义不同。2.动力学方程——相对论力学的基本方程。FdPdmvdtdt1AA2J1-V\顷J在v«C时，近似为F=ma，牛顿力学成立。,,F=—(mv)=m—=ma当v〈〈C时，dt00dt0，相对论动力学方程回到牛顿运动定律。-d一dvdm一F=mvJ=m1vdtdtdt，因此外力不仅改变物体的速度还改变物体的质量。当v-c时，dvdtT0，物体速度不再改变，因此光速为物体的极限速度。

，否则表达式无物（4）由m=气."'1—^2c2可知当vTc时，必须m0=0理意义。因此光子静止质量为0。，否则表达式无物三、相对论动能：公式：E=mc2—mc2推导*0质点在力F作用下，速率由0tv,力对质点所作的功等于质点动能的增量，即质点的未动能dtE=jF.dr=j牛^mv)•dr=jd^mv).性=jv.d(mv)dt00式中v.d式中v.d(mv)=mv.dv+v.vdm=mvdv+v2dm(1)又因为：得：m2c2-m2v2两边微分：2mc2dm—2mv2dm—2m2vdv=0(2)得：c2dm=v2dm+mvdv由（1）（2）可得:=c2dm(2)由（1）（2）可得:=c2dm推导过程中的关键:动能的定义质速关系积分古攵有E=jc2dm=mc2—mc2k0m03.说明推导过程中的关键:动能的定义质速关系积分当v<<c时,1<1v2<1v2—,7\==1+待1—=1+飞一(麦克劳林展开)\：1—(vc)22c22c2得：E=—mv2k2与牛顿力学结论相同。四、相对论能量:在相对论动能公式中，等式右端两项具有能量的量纲。可以认为静止能量（RestEnergy）:——所有微观粒子支能及相互作用势能之和

E=mc2相对论能量—一静止能量与动能之和:质能关系，MassEnergyRelation)E=mc2质量变化一一能量变化AE=Amc21932年，英国物理学家J.D.Cockcroft与E.T.Walton利用他们所设计的质子加速器进行核蜕变实验，为此他们于1951年获得Nobel物理学奖。说明：质能关系是相对论最有意义的结论之一，一定的质量相应于的能量，二者的数值只相差一个因子C2；例如：电子：mo=O.91x1O_3okg,E=8.19x10-mJ质子：mo=1.673x1O-2?kg,E=1.5O3x1O-1oJ质量是物质惯性的量度，能量是物质运动的量度；两者是两种属性不同的物理量。对于一个孤立系统，质量与能量守恒，但可以有静质量与动质量的相互转化，相应地就有动能与静能的转化；由能量守恒IE.=Zm.C2=const可得Im.=const——质量守恒在相对论中，二者相同一。在高能物质中，质能关系有很重要的应用。-反应粒子的质量，m-反应粒子的质量，m2O——反应粒子的质量反应前的总动量，Ek2——反应后的总动量m1oc2+Ek1=m2oC2+E「Ek2-Ek1=(m2o-m：E=Ek2-Ek1m=m2O"m1OE=△mc2m1oEk1-k2'1Ok2'1O)C2一核反应释放的能量—量亏损——子能的基本公式则例：氢核与氚核的聚变5）=3.0160497u（in）=1.0086652u00氢的三种同位素:氕：H1]H氘：D2尸氤：T5）=3.0160497u（in）=1.0086652u00氢的三种同位素:氕：H1]H氘：D2尸氤：T3]Hm七He）=4.0026033u,：其中u=1.660552x10-27kg反应前辱静质量€^0301519〃，钧m）=5.0112685u0前0后

静质量减少Am=0.0188834u=0.0311x10-27kg0释放能量AE=Amc2=1.759x107eV=17.59MeV=2.799x10-12JPc1kg核燃料释放的能量为3.35X1014J,是1kg优质煤燃烧所释放的热量(2.93X107J)的1.15X107J倍，即1千万多倍。PcE=mc2E=mc2P=mv由能量公式和动量的关系式带入E=mc2=<1~(v/c得E2=P2c2+m2c40对于光子m=0,E=PcnEhvhP=cc入Ehvm=——c2六•质能公式在原子核裂变核聚变中的应用1、核裂变235U+1n—139Xe+95Sr+21n9205438有些重原子核能分裂成两个较轻的核，同时释放能量，这个过程称为裂变。生成物的总静质量比铀-235的质量要减少0.22u，因此一个铀-235在裂变时释放的能量为(1u=1.66x10-27<g)由于氚核的质量比铀-235核的质量小，所以就单位质量而言，轻核聚变释放的能量要比重核裂变时释放的能量大得多。2、轻核聚变有些轻原子核结合在一起形成较大原子核，同时释放能量，这个过程称为聚变。2H+H—4He

生成物的总静质量比两个氚核的质量要减少0.026u，因此两个氚核在聚变时释放的能量为Q=AE=Amc2（）.026x1.66x10-27）x4x108=3.3x1011J=200MeV例题1:静止的兀+介子衰变为H+轻子和中微子v，三者的静止质量分别为R+气和0，求和中微子的动能。解：衰变公式（方程）为：兀息子）—四++V中微子）而且在衰变过程中动量和能量均守恒：（1）动量守恒因为mv=0，所以中微子不能静止而必须具有动量P生成物的总静质量比两个氚核的质量要减少0.026u，因此两个氚核在聚变时释放的能量为Q=AE=Amc2（）.026x1.66x10-27）x4x108=3.3x1011J=200MeV例题1:静止的兀+介子衰变为H+轻子和中微子v，三者的静止质量分别为R+气和0，求和中微子的动能。解：衰变公式（方程）为：兀息子）—四++V中微子）而且在衰变过程中动量和能量均守恒：（1）动量守恒因为mv=0，所以中微子不能静止而必须具有动量Pv；衰变前总动量为0，因此衰变后PR-Pv=0，即：（1）（2）能量守恒衰变前总能量mc2，衰变后ER+Ev，因此有:E+E=mc2（2）由相对论能量和动量关系:可得：E2=E2+P2c2=m2c4+P2c200c2P2=E2—m2c4RRR（3）c2P2=E2-m2c4=E2-0=E2（4）由（以（3、（4）式可得:（5）联立（2、（5）式可解得：：12+m2^22m71&一m2C22m71根据Ek=mc2-m0c2得：例I设••顶子以琬度.湘「话动.求茏总能量、动能和动姐-

解反"2知道，质子的静能鼠为E产叫疽-938MW