习题1：排序不等式

排序不等式（45分钟100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任意一个排列,则a1+a2+…+an的最小值是()D.无法确定2.(2022·丹东高二检测)已知a,b,c为正数,P=,Q=abc,则P,Q的大小关系是()>Q≥Q<Q≤Q3.设a1,a2,a3为正数,E=++,F=a1+a2+a3,则E,F的关系是()<F≥F≤F>F4.(1+1)……的取值范围是()A.(21,+∞)B.(61,+∞)C.(4,+∞)D.(3n-2,+∞)5.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的()A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3D.以上答案都不对6.若0<α<β<γ<,则F=sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα-(sin2α+sin2β+sin2γ)的符号为()>0<0≥0≤0二、填空题(每小题8分,共24分)7.已知a,b,c为正实数,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)0(填>,≥,<,≤).8.设a,b都是正数,若P=+,Q=+,则二者的关系是.9.设正数a,b,c的乘积abc=1,++的最小值为.三、解答题(10～11题各14分,12题18分)10.设x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn.求证:(xi-yi)2≤(xi-zi)2.其中z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列.11.(2022·镇江高二检测)已知a,b,c∈R+,求证:a+b+c≤++≤++.12.(能力挑战题)利用排序原理证明切比雪夫不等式:若a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn,则aibi≥·.答案解析1.【解析】选B.设a1≥a2≥…≥an>0.可知≥≥…≥,由排序原理,得a1+a2+…+an≥a1+a2+…+an=n.2.【解析】选B.不妨设a≥b≥c>0,则0<≤≤,0<bc≤ca≤ab,由排序原理:顺序和≥乱序和,得++≥++,即≥a+b+c,因为a,b,c为正数,所以abc>0,a+b+c>0,于是≥abc,即P≥Q.3.【解析】选B.不妨设a1≥a2≥a3>0,于是≤≤,a2a3≤a3a1≤a1a2,由排序不等式:顺序和≥乱序和得,++=++≥·a1a3+·a2a3+·a1a2=a1+a3+a2即:++≥a1+a2+a3.4.【解析】选C.令A=(1+1)(1+)…=×××…×,B=×××…×,C=×××…×.由于>>,>>,>>,…>>>0,所以A>B>C>0.所以A3>A·B·C.由题意知3n-2=61,所以n=21.又因为A·B·C=3n+1=64.所以A>4.5.【解析】选,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.6.【解题指南】已知,α,β,γ∈,由y=sinx与y=cosx在的单调性结合排序不等式可判断.【解析】选A.因为0<α<β<γ<,且y=sinx在(0,)上为增函数,y=cosx在上为减函数.所以0<sinα<sinβ<sinγ,cosα>cosβ>cosγ>0.根据排序不等式:乱序和≥反序和则sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα>sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ=(sin2α+sin2β+sin2γ).7.【解析】设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案:≥【拓展提升】审题的技巧无论柯西不等式还是排序不等式,都只是一般的乘积形式,而本题中涉及指数幂的变换,故利用对数运算变为指数乘法运算是一个很有技巧性的解题思路.8.【解析】由题意不妨设a≥b>0.由不等式的性质,知a2≥b2,≥.所以≥.根据排序原理,知×+×≥×+×.即+≥+.答案:P≥Q【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.9.【解析】设a=,b=,c=,则xyz=1,且++可化为++,不妨设x≥y≥z,则≥≥,据排序不等式得++≥z·+x·+y·,及++≥y·+z·+x·,两式相加并化简可得2(++)≥3.即++≥.即++≥.所以++的最小值为.答案:10.【证明】要证(xi-yi)2≤(xi-zi)2,只需证(+)-(2xiyi)≤(+)-(2xizi),只要证xiyi≥xizi.由题设及排序原理知上式显然成立.11.【证明】不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2,≥≥.由排序不等式,可得a2·+b2·+c2·≥a2·+b2·+c2·,①a2·+b2·+c2·≥a2·+b2·+c2·.②由(①+②)÷2,可得++≥a+b+c,又因为a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,≥≥.由排序不等式,得a3·+b3·+c3·≥a3·+b3·+c3·.③a3·+b3·+c3·≥a3·+b3·+c3·.④(③+④)÷2,可得++≥++.综上可知原式成立.12.【解题指南】排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解.【证明】由排序不等式有:a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn,a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1,a1b1+a2b2+…+anbn≥