测控一-高数4-1微分中值定理

26-26-4一元函数微分学的应微分中值定理费马(Fermat)引理中值定日中值定中值定第三章我们了微分法，解决了曲线的切线及有关变化率问题。一章我们来导数的应用问题

y

(

x0,

x

y

f(

x)

f(x0

dy

f(x0

其误差是 y

f(x0

(|

|充分小而limyf

)是极限关系,x0 系。对此，Lagrange中值定理给出了的解答：y

f(x0x)x——本章我们先给出Rolle定理（它是Lagrange定理的特殊情况），LagrangeRolleLagrangeRolle推广Cauchy26-26-费马(Fermat)引如图4-1-1a,b所示

f(x是

,

内一段光滑线

(x)在

,

内具有连续导数

(x)在x0,fx0附近有什么

f(x)

f(x0

f(x)

f(x0，曲线y

f(xx0,fx0处总有一条水平切4.1.（

f(x在x0的某邻域内有定f(x

()

(x0

f(x在x0可导

f(x0

证x0的某邻域内任取所

f

x)

f(x0f(xx)f(x

f(x)

0f(x0)

f(x

0 f(x)在x0可导，根f(x在x0可导的充f(x0

f(x0存在

(x0

0

f(x)是a,b上一段光滑的曲线图4-1-2a

图4-1-2b

图4-1-2c

图4-1-2d从上面图形来看它们都有一个共在a,b内至y

fx满足条件在a,b上连续

图4-1-在a,b内可导

a

fb则至少存在一点(a,b,f(yCyCyf(x)oa12bx在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的

x满

fx在a,b内至少有一个零点

0在a,b内至少有一 由

fx在a,b上连

x在a,b上可取得最值M和最小值m，从而有m

)

[如果

m，则

fxMx[a,b，因

fx0x(a,b)，于是(a,b内任一点都可作为，均f(0如果

m，由于

f(a)

f(b，故Mm

fa，不妨设M

f(a)

f(b，此时M只能在(a,b)部取得，即至少存在一点(a,b

f(0．26-注①Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可却在(-1,2)x=0使yx02x

x0三个条 例如

y 在 上除f

定理的一切条件

但在内找不到一点能使

(x)又例如

f(x)1

x,

f(0)在[0,1]上除去x=0不连续外，满 定理

但在内找不到一点能使

(x)

f(x)

x,

但也找不到使②定理的结论是在开区间内至少有一使导数

(x)

的点 ξ并未具 的具体函数，点ξ也不一定 是哪一点 f(x)xln(x2)在[-1，0]上满足定理的全部条件，f(x)

x

ln(x

f(x)26-26-4.1.1证明方程

ax1

fx

ax1

010，又

fx，知存在b0

fb0．由零点定理知，在0,b

内至少存在点，使

0即

ax10假设方

f(x)0有两个正根x1

x2

fx20 fx

a ，．因而方

f(x)0最多只有一个正综上，证明方程x5ax10只有一个正根26-26-4.1.2设函

xgx在a,b上连a,b内可fa=gb0.证明至少存在一点(a,b,f()g()f()g()0令Fxfxgxxa,b，则根据连续函数和导数的知Fx在a,b上连续，在a,b内可导，且FaFb0[fxg

0f()g()

f()g()026-26-4.1.3设函

x在0,1上连续，在0,1内可导

证明函数2

(x)

证令Fx

x2

x，x0,1．则Fx在0,10,1内导，且F1F00，由 中值定理知，至少存在一点(0,1)，使F()0，即2f()2f()0由于0，故所以函数2f(x

xf(x)在0,1内至少有一零点由于中值定理对函数有很高的要求，特别是要求函数在端限制了中值定理的应用范围．规律，就是在a,b内的曲线段上至少有

图4-1-26-26-定理4.1.2（日中值定理）设函数

x

在a,b上连续 (2)在a,b内可导则至少存在一点(a,b),

f()

f(b)f(a)b几何解释

yCyyCyf(x)MBAND 1 2x一点C,

分析

条件中与

y

(a)

f(b)b

(a)(

(

所得曲线a,两端点的函数值相等F(x)

f(x)

f(a)

f(b)b

(a)(

F(x)满足定理的条件则在(ab)内至少存在一点使

F()f(

f(b)b

(a)f(b

f(a)

f()(b

a

26-26-

f(b)

f

（(a,b)）称为日公式b2：当

b时

f()

f(b)f

也成立，此时(babf(b)

f(a)

介于a,b之间

0

f(x)在以x和xx的区间[x,xx]或[xx,x]上满足日中值定理的条件，则f(xx)

f(x)

其中介于x与xx如果记

，则有0

xxf(xx)

f(x)

f(xx)x，(0

f(xx)x，(0

推论4.1.1如果函

x在a,b内可导

f(x)0，fx在a,b内为常数x1x2为(a,b内任意不同的两点，不妨设x1x2，显然，f(x)在[x1,x2]上满足日中值定理的条件，因f(x2)

f(x1)

(x1,x2)．

f(0，所

f(x2)

f(x1

f(x(a,b内任意两点处的函数值相等

f(x在

推论4.1.2设函数F(x),G(x在(a,b内可导，且F(x)G(x则在

F

G(xC（其中C为常数证

(x)

F(x)G(x，f(x)

F(x)

f(x)

C，即F

G(x)C例

证明

xarccosx

(12

x 设

(x)

xarccos

x1xf1x

)1xf(x)C, 1x又f(0arcsin0arccos

02

2即C

xarccosx 2 证明当

0时 1

ln(1

x)x.证

(x)

x),fx)在[0x]上满足拉氏定理的条f(x)

f(0)

f()(

0),(0x)f(0)

f(x)

1

ln(1

x)

111x又0x

11

1

1

1

x1x

1

1

ln(1

x)x.26-26-例4.1.5

fx在0,1上连续，在0,1内可导f00,f11，证明至少存在一点0,1，使f()

e1证设F(xex

(x，x0,1Fx在0,1上连续在0,1内可导．

F()(10)，0,1即e0e

f()

e1我们来回顾一下日中值定理的几何意义如果一条续曲线除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么，在曲线上至少有一点C处的切线平行于曲线两端点的连线.x

ft,

两个端点A,Bygty数ta,b，则端点坐标Aga,

a，Bgb,

b，因此端连线AB的斜率为fbfa

．设点C对应的参数为

．gbga．线在C点处的切线斜率为f，从而有fbfa

fg

gb

ga

g定理4.1.3(中值定理)设函数

x、gx满(1)在a,b上连续；(2)在a,b内可导，且gx0,x(a,b)，则在a,b内至少存在一点,使得f(bf(a)

f()g(b)g(a)

g(

f(b)

f(a)

f()

f(b)

f

g()g(b)

g(a)

g(

g(b)

g(a)[

(x)

f(b)

f

g(x)]

0g(b)

g(a)

F(x)

f(x)

f(b)f

g(x)，xa,b．g(b)g(a)例4.1.8设函

x在a,b0

b上连续，在a,b可导，证明在a,b内至少存在一点，使f(b)

f(a)

f()lnba证 中值定理中取gxlnx，故f(bf(a)f()

f(b)f(a)

a

lnbln b，所

af(b)

f(a)

f()lnba例4.1.9设函

x在a,b上连续，在a,b内可导， f

fx0。试证存在,a,b，使

f

ba 分析

f

ee

f(b f

b 证 日中值定理存在a,b.使得fbfab

f 中值定理，存在a,b，使得fbfa

feb 由题

fx0

f

f

ba 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 a证 x1

x2,

(a,b)fx1

(ba)

f(x2)2x2

ab

a2

f(x3)3x3(x)在[a(x)在[a,b]上满足Lagrange定理的条

(a,b)

f(b

f(a)

f(x1)(ba)又fx

(x)

x2在[a,b]满足Cauchyx(a,b)

f(b

f(a)

f(x2

2又fxg2x)

x3在[a,b]满足Cauchy