专题01空间点、直线平面之间位置关系综合题专练解析版-考点培优尖子生专用学年高二数学训练沪教版必修三

（解析版学校 考号 1（2021· 市松江二中高二月考）a，baba//；②aba；③a//ba//；④

a.b

b命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．4【答案】①若ab，则可能a//或者ab②若ab，则可能aa//或者直线a与平面③若a//b，则可能a//或者a

，则由线面垂直的性质定理可得a2（2021·①BMED平行；②CNBE是异面直线；③CNBM60°；④DMBN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 【答案】BMEDCNBEANACDMBNBE，则ANCBM//AN，故ANC或其补角为CNBM因为ANC60，故CNBM所成的角为60因为DMNC，又BC平面CMND，所以DMBC，故DM平面 平面BCN，所以DMBN，确3（202· （1）（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，A1D1都成45°角．则以下判断正确的是（ A（1）（2） B（1）（2）C（1）（2） D（1）（2）【答案】作出过P与两直线相交的直线EFABA1D1

PEP直线EPA1D1相交于某点FP点有且只有一条直线EFAB、A1D14（2021· A．四边 D．交于同一点的三条直【答案】C，设这四条直线分别为l1、l2、l3、l4，取其中两条相交直线l1和l2可确定一个平面，取l3，设其与l1、l2A、BAl1Bl2A、B，从而l3；同理可证明l4，所以每两条都相C正确；D不正确5（2021·市大同中学）已知a和b是成80角的两条直面直线，则过空间一点且a、b都成50角的直线共有 A．2 B．3 C．4 D．无数【答案】将直线ab平移，使两直线经过点P，设直线ab所成角的角平分线为cP直线ab所在平面的直线为d，结合图形，然后通过线线之间的关系进行分析求解，即将直线ab平移，使两直线经过点P设直线ab所成角的角平分线为c过点P垂直于直线ab所在平面的直线为d因为ab所成角为80，当直线lP且直线在直线ab所在平面内且垂直于直线c此时l与直线ab所成角均为18080502当直线l在直线cd所在平面内时，若lP转，此时l与直线a,b所成角相等，且所成8040变化到90，再从90变化到40，所以此时满足条件的l有22综上所述，过空间定点P与ab成500角的直线共有3条6（2021· 市杨浦高级中学高二期末）已知直线a、b是两条不重合的直线，、 A．若aa，则B．若a//b//，//，则aC．若 r，b，a//，则aD．若//a与所成角和b与所成角相等，则【答案】满足a//b//，//，此时a与bBa满足 r，b，a//，此时与相交，故Ca满足//a与所成角和b与所成角相等，此时a与bC7（2021· 市洋泾中学高二月考）关于直线l、m及平面、是 A．若l// m，则l B．若l，m//，则lC．若l//，m//，则l D．若l//，ml，则m【答案】根据已知条件判断直线l、m的位置关系，可判断ABC断m与D选项的正误A选项，若l//，则l与平面因为 m，则l与m平行或异面，A选项错误Bm//，过直线m的平面与的交线a满足a//mla，la，故lm，BC选项，若l//m//，则l与m平行、相交或异面，CD选项，若l//ml，则m、m//或m与相交，D选项错误8（2021·市建平中学高二月考）ABC的三边长分别3､4､5，P为ABC所在平Q

P为ABC则集合Q的子集个数为 【答案】ABC分别P在平面ABC上的射影 和外部，计算直角三角形ABC的内ABCABC解：若PABCABC

，可得射影为ABC1(34513，存在两个点P（ABC的上下两侧2PABC上的射影在ABC的外部，可得射影为ABC的旁心（分线的交点33，成立，且有两个点P443532综上可得，这样的点P4则Q的子集个数为2416D9（2021· 市亭林中学高二期中）设直线ab与平面所成的角相等，则直线ab位置关系为 A．平 C．平行或相 D．平行、相交或异【答案】则直线a,b与平面所成的角相等，则直线a,b的位置关系为平行、相交或异面10（2021· D，且Dl，则下列叙述错误的是 ADBC直线CD在ABADBCADBC【答案】利用反证法判断选项A正确；举例说明选项B3有且只有一条直线与已知直线平行判断选项CD错误．对于选项AADBCADBC共面不共线的三点BCD均在与内，与l又不共线的三点A，B，C均在与内，\与重合，则lADBC是异面直线，所以选项A对于选项BABlCDl，且二面角l为锐二面角时，直线CD在AB平行，所以选项B对于选项CADBC的平行线lAD与l该平面与BCAD另外有平面与BC平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC外的一点有两条直线与BC与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以选项C正确对于选项DADBCAD有且只有一个平面与BCADBC垂直的平面，故选项D1（2021·，BC2，CD1，则异面直线AC与BD所成角的大小 【答案】arccos4或5

155分∠C90，D90和∠B90三种情况，结合异面直线所成角的求法，即求解ABCDAB底面BCDAB1BC2CD当底面直角ABC中，角∠C90时，如图（1）AC//DEACBD所成的角即为直线DE与BDAB1BC2CDBC2BC25

，AE

2，ACDE

51212(5)2(5)2(25(5)2(5)2(255ACBD所成的角为arccos45当底面直角ABC中，角D 在长方体中BDCMACBD所成的角即为直线DE与CMBC2AB1BC2CDBC2

3

2，CMBD

3，AC (5)2(3)2(2(5)2(3)2(2351212(1212(5

155当底面直角ABC中，角∠B90AB1BC2ABBC立arccos4或5

155 12（2021·弧AB的中点，D为母线PB的中点，则异面直线PA和CD所成角的大小 4OP，OCD作DHHCHOD//PAODC（或其补角就是异面直线PA和CDPAPBAB2OP，OCD作DHH因为DPBOD//PAODC（或其补角就是异面直线PA和PAPBAB2，则PO

3,DH

3OH1，所以CH

5OC2OC2OHDH2CH3 522 DH2CH3 522 2 22OD2OC2DC2所以ODC，所以异面直线PA和CD所成角为 413（2021·2PA23MBCPMAC成角的大小 【答案】arccosABN，连接PNMNNMABBCNMBCPMN为异面直线PMAC所成的角，在PMN中，运用余弦定理，ABNPNMNQNMABBCNM//BCPMN为异面直线PMACPA2AM(23)2(NM1PA2AM(23)2(2

15PA2AN(23)2PA2AN(23)2NM2PM2PN 1152在PMN中，由余弦定理可得cosPMN 22NM 异面直线PMAC所成角的大小是

15

1514（2021·则异面直线AB与CD的距离 AB与CD的中点EFAFBFEF、CEDE，证明出EFABCD的公垂线，并计算出EF的长，由此可得出结果AB与CD的中点EFAFBFEF、CEDE因为ABCD2ACADBCBD4EF分别为AB、CD的中点AC2CF则BFCD，AFCD，且BFAC2CFEAB的中点，故EFAB，同理可证EFCDAF2EFAB、AF2

14故答案为：1415（2021·AB与CD所成的角为3，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF的长度 3【答案】13连接BD，取BD的中点O，连接OE、OF，分EOF或EOF2进 合余弦定理可求得EF的长连接BDBD的中点O，连接OE、OFOE分别为BDBC的中点，则OE//CD且OE1CD2同理可知OF//AB且OF1AB2AB与CD所成的角为，则EOF或EOF2 ①若EOF，则△EOF为等边三角形，故EFOE1；3OE2OF22OEOE2OF22OEOFcos33

3综上所述EF1或3故答案为：1或316（2021· 【答案】④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”17（2021·正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线CDAB角的余弦值 【答案】ABCDABCD由正方体性质知BD与CE平行且相等，即CDBE是平行四边形，CDBE，直线CDAB所成角为ABE（或其补角同样棱DF与侧面CEFEFCEF垂直，则可得DF^EF1AB

5，BE 1212122AF2AF2EF

3112(5

3 (2)2△ABEcosABE2252

222

10所以直线CDAB所成角的余弦值为10故答案为：1018（2021· 一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”，质点的运动规则如下运动第i段与第i2所在直线必须是异面直线(其中i是正整数)，质点走完的第99段与第1段所在的直线所成的角是 【答案】991段所在的直线所成的角4段之后又回到起点4为周期99=4991AB1和CD1991段所在的直线所成角为9019（2021·A1B1、CC1的中点，用过D、M、N

513 D1C1、DN的延长线交于点EEM并延长交D1A1的延长线于点G，连接DGAA1于点H，则五边形DNFMHFC2BCAG1ADAH1AA 31 31 5所以HD5，HM 5，MF13，FN5，DN 5 所以五边形DNFMH

51325

51325

51325 20（2021· 市建平中学高二月考）已知异面直线ab所成角为，过空间一点P3且仅有2条直线与a,b所成角都是，则的取值范围 63【答案】63 将直线ab平移交于点P，并作aPb及其外角的角平分线；根据过空间一点P有2条直线与ab所成角都是，可知l1方向上有两条，l2方向上不存在，由此可得范围将直线a,b平移交于点P，设平移后的直线为a,过点P作aPb及其外角的角平分线l,l，则aPb1 在l方向，要使过空间一点P的直线，且与ab所成角都是的直线有两条，则 在l方向，要使过空间一点P的直线，且与ab所成角都是的直线不存在，则 63综上所述：63 6363 21（2021·C1、BABCDA1C1D120P，QADAC的中点 求异面直线D1P与C1Q（1）（2）arcsin6 ABCDACD20，求出棱DDAD//BC11 BC1Q为异面直线D1P与C1Q所成的角或所成角的补角ABCDACD20，所以22h1122h2011

3 解得h2D1DC1C2AD1A1D，则交点为PAC与BD，则交点为Q又因为C1QACC1A1,所以BDC1Q62在RtBCQ中，BC22,BQ2,CQ6，所以cosBCQ 362 因为BCQ0,，所以BCQ 即异面直线DP与CQ所成角为 以DDADCDD1xyzD000B220A1202C1022,DC10,2,2,A1B0,2,2,A1C12,2,设面A1C1B的法向量为nx,yz则

2y2z

x1y1z1，所以n1,1,1nAC 2x2y 1 0202202022221212DC1,n6

36所以63

，即直线C1D与平面A1C1B所成角为 63622（2021·ABAA11AD2EBC的中点求异面直线BB1D1E求点AA1DE的距离（1）

（2）232先判断出DD1E为异面直线BB1D1E所成角.在直角三角形DD1E2tanDD1E2,，即可得到异面直线BB1与D1E所成角为 2利用等体积法，由VAAEDVAAED求出点AA1DECE212CE2122 在直角三角形DDE中，tanDDEDE 22 DD1E为锐角，所以DD1Earctan22即异面直线BB1与D1E所成角为 2设点AA1DEd，则

A

1AEDAEDdAA21在△AA21

3AA2112AA21125AE2DE2AD2,AEDE 所以

1AEDE13 6122 2 122ADE而 1 AA11211ADEA

3 所以16d1，解得：d 6 6即点A到平面A1DE的距离 6323（2021·N分別是CC1A1D1的中点，作出过MNB三点的截面，并求出这截面的周长【答案】253513 连接BMAA1D1DBCC1B1NNF//BMAA1于点FBF同理过点MME//BF交C1D1ENE则五边形BMENF因为C1M//BB1M是CC1

BCM

因为ND PCE所以D1END11所以DE1EC可得DE2，EC4

AQDE2 2AF//BBA1F=A1Q31AF1AF3

2 3

所以BF

5，FN222232

，NE 111125123EM

5，BM 443225所以这截面五边形BMENF5

5135 5 524（2021·AB1BC2CC15M为棱CC1若CM3AM和CD 1若C1M1BMA1B1M（1）52

通过证明BMA1B1BMB1M，再结合线面垂直的判定定理完成证明A1B1平面BB1C1CB1M平面BB1C1CA1B1B1MRtBCM中BM

5BC2BC2BM1 Rt△ABM中tanBAMB1M51 1

即异面直线AM和CD 1121∴BC1

2，结合MCBBCM BMA1B1M25（2021·边长为2求二面角D1A1CAA1C上是否存在一个动点PP在平面D1AC的投影恰好

PC（2）

（3）6A1CP，使得PD1AC

D1AC由线面垂直的性质与判定可得D1AA1D，与题设，即可得解21在EOAOE1AD121

3，OA1AC1

522 222

6(2(2)22

(5)2

3

61则cosEOAOA11

15

25 3 即直线AC与直线AD所成角的余弦值 D1FFMA1CM点，又D1FFMFA1C平面MFD1A1CD1MD1MF即为二面角D1A1CA215在DMF中，DF1DB1 1，FMAFsinCAC 215 21 1 5556551则cosDMFMF5 1 5则二面角D1A1CA的平面角的余弦值为66

D1ACNCHA1C上存在点P，使得P在平面D1AC

D1AC因 D相交所以D1AA1CDD1AA1DADD1A1内作D1QA1DQ点，QHP满足条件26（2021·ABBC2,ADCD

7，PA

3ABC120,GPC上的点BDPAC若GPC的中点，求DGPAC在（2）BG与PD所成角的余弦值（2）（3） 通过证明PABDBDPC，来证得BDPAC作出直线DG与平面PAC所成的角，进而计算出线面角的正切值作出异面直线BGPD所成的角，进而计算出线线角的余弦值在四棱锥PABCDPAABCD，所以PABD因为ABBC2ADCD

7，设 BDOBDAC的垂直平分线，故OAC的中点，且BDAC又 ACA，所以BD平面PAC若GPC的中点，且OAC的中点，则GO//PA且GO1PA3 因为PAABCD，所以GOABCD，所以GOOD故OD平面PAC，故DGO即为DGPAC在△ABCAC2AB2BC22ABBCcosABC44222cos12012所以AC2

3，又OD

2所以tanDGOOD43DGPAC43 取CDH，连接GHBH易得BGH为异面直线BGPD所成角（或其补角PA2因为PAABCD，所以PAADPA2

10则GH1PD10 因为PAABCD，所以PAABPAACPA2PA2

7,PC

15PA2PA2B222所以cosBCP B222所以BG

7BC2BC2CG22BCCGCD2BOBCcos6001,COBCCD2

3,DO

2 BC2CD2 2所以 BODO3，所以cosBCD 22BC所以BH

19BC2BC2CH22BCCHBG2GH2BH所以cosBGH 2BG 所以异面直线BGPD所成角的余弦值为7027（2021·ABD1，M，N，C 三线共点（2） （1）M，NAA1ABMN//A1D1//BC，A1DA1BCD1A1B//D1CMN//MND1C（2）MN//A1B，且MN12D1MCNKD1M，D1MK又因为KCN，CN平面KKABCDAA1D1D所 28（2021·市中国中学高二月考已知空间四边形SABC各边及对角线的长都是求边SA、BC的距离求异面直线SBAC（1）2（2） 将四面体放入正方体中，根据四面体的边长求出正方体的棱长，可证OO1为SABC连接MNSB//MNACMNACSB（1）依题意将四面体SABC放入如图所示正方体因为空间四边形SABC各边及对角线的长都是所以正方体的棱长为2，在矩形MCBE