《三角函数的周期性》练习

1．3三角函数的图象和性质1．三角函数的周期性情景：自然界中存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．从正弦函数、余弦函数的定义可知，角α的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sinα，cosα的值也具有周而复始的变化规律．思考：正弦函数、余弦函数及正切函数它们都是周期函数吗？其周期分别为多少？你能给周期函数下一个定义吗？1．对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的____________．对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的______________．2．正弦函数是______________，______________都是它的周期，最小正周期是________________．3．余弦函数是________________，________________都是它的周期，最小正周期是__________________．4．函数的周期与解析式中__________________有关．答案：1．f(x＋T)＝f(x)周期最小正周期2．周期函数2kπ(k∈Z且k≠0)2π3．周期函数2kπ(k∈Z且k≠0)2π4．自变量的系数最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.说明：(1)周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期，又如，函数D(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x是有理数，,0，x是无理数.))设r是任意一个有理数，那么，当x是有理数时，x＋r也是有理数，而当x是无理数时，x＋r也是无理数，即D(x)与D(x＋r)或者都等于1，或者都等于0，因此在两种情况下都有：D(x＋r)＝D(x)．所以D(x)是周期函数，任何非零有理数r都是它的周期，而最小正有理数不存在，所以D(x)也没有最小正周期．(2)如果不加特别说明，教材中提到的周期，一般都是指最小正周期．难点释疑：对周期函数概念的理解：(1)设f(x)的定义域为A，对任意x∈A，存在常数T≠0，则x＋T∈A.例如f(x)＝sinx(x≠0)不是周期函数，我们可用反证法证之．若f(x)＝sinx(x≠0)的周期为T(T≠0)，∴－T≠0.设x0＝－T是这个定义域内一点，但x0＋T＝0不在定义域内，∴f(x0＋T)＝f(x0)对于定义域有的点不成立，∴f(x)＝sinx(x≠0)不是周期函数．(2)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求，如果只是对某些x有f(x＋T)＝f(x)，那么T就不是f(x)的周期．例如，分别取x1＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，x2＝eq\f(π,6)，则由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))≠sineq\f(π,6)，可知对于eq\f(π,2)而言，虽然正弦函数对2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)都有sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．但由于它不是对“每一个”自变量都有sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝sinx，所以eq\f(π,2)不是正弦函数的周期．(3)周期函数的周期不唯一．例如2kπ(k∈Z，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上证明：设T是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z，k≠0，kT也是函数f(x)的周期．函数y＝Af(ωx＋φ)的周期函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝eq\f(2π,ω).若函数y＝f(x)的周期为T，则函数y＝Af(ωx＋φ)的周期为eq\f(T,|ω|)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0)．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)＋\f(π,4)))的最小正周期是________．答案：4π2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则f(2014)＝________．答案：13．函数y＝4taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))的最小正周期是________．答案：eq\f(π,3)4．(2022·陕西卷)函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的最小正周期是()\f(π,2)B．πC．2πD．4π答案：B5．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω＞0)相交的相邻两点间的距离是________．答案：eq\f(π,ω)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)6．设函数f(x)是周期为2T的函数，若f(x)定义域为R，且其图象关于直线x＝T对称，那么f(x)是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：∵f(x)的图象关于x＝T对称，∴f(T－x)＝f(T＋x)．①又f(x)的周期为2T，∴f(T＋x)＝f(T＋x－2T)＝f(x－T)．②由①、②有f(T－x)＝f(x－T)．令x－T＝t，则f(－t)＝f(t)对一切t∈R都成立，∴f(x)是偶函数．答案：B7．为使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________．解析：要使y＝sinωx在区间[0，1]上至少出现50次最大值，此区间至少含有49eq\f(1,4)个周期．49eq\f(1,4)T≤1，又T＝eq\f(2π,ω)，∴49eq\f(1,4)×eq\f(2π,ω)≤1.∴ω≥eq\f(197,2)π.答案：eq\f(197π,2)8．若函数f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx＋\f(π,3)))的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．解析：T＝eq\f(π,k)，1＜eq\f(π,k)＜2，eq\f(π,2)＜k＜π，而k∈N⇒k＝2或3.答案：2或39．若函数f(x)的定义域为R，对一切实数x，都有f(5＋x)＝f(5－x)