T结构力学之结构的位移法及习题课讲义

第十一章位移法§11-1位移法的基本概念§11-2等截面杆件的刚度方程§11-3无侧移刚架的计算§11-4有侧移刚架的计算§11-5位移法的基本体系§11-6对称结构的计算§11-7支座位移和温度改变时的计算§11-0简介1位移法与力法一样，是计算超静定结构的一种方法，它比力法有更大的优越性。位移法也可用来解静定结构，也就是说位移法比力法具有更大的通用性。矩阵位移法——随计算机的发展而形成的；位移法渐近法——力矩分配法、无剪力分配法；分层计算法(多层多跨刚架受竖向荷载作用时)；近似法——反弯点法(多层多跨刚架受水平荷载作用时)；D值法(广义反弯点法)。2§11-1位移法的基本概念一、位移法的基本思路将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即：结构拆成杆件结构搭接成第一步第二步第一步：杆件分析找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。第二步：结构分析找出结构的结点力与结点位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。3位移法的实施过程，是把复杂结构的计算问题转变为简单杆件的分析与综合的问题。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。所以位移法又称为刚度法。二、基本未知量力法：力法的基本未知量是多余未知力；位移法：位移法的基本未知量是结构的结点位移(角位移和线位移)。位移法与力法一样，求解的第一步就要是确定结构的基本未知量。4基本未知量的确定：基本未知量数目n=结点角位移数+独立的结点线位移数结点角位移数=结构的刚结点数(容易确定)独立的结点线位移数的确定方法：将所有的刚结点变成铰后，若有线位移则体系几何可变，通过增加链杆的方法使体系变成无多余约束的几何不变体系(静定结构)时，需要增加的链杆数就是独立的线位移数。图11-1FEDCBAFEDCBAn=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧移F)=35图11-2EDCBA(a)(b)确定线位移图EDCBAn=3(C、D、E)+2(D、E点的水平侧移D、E)=5图11-3(a)FEDCBAG(b)确定线位移图FEDCBAGn=1(D)+2(C、F点的水平侧移C、F)=36习题11-1用位移法计算下列各结构时的基本未知量个数。(a)EIEA(1)当EI、EA为无穷大时，(3)(2)当EI、EA为有限值时，(6)习题11-1图(b)(1)当0时，(10)(2)当=0时，(10)(c)(1)当不考虑轴向变形时，(4)(2)当考虑轴向变形时，(9)(d)(1)当0时，(3)(2)当=0时，(2)7三、解题途径以图11-4a所示结构为例，介绍位移法的解题途径。图11-4(a)qABCPAA1、确定基本未知量(2个)

A、A=

2、设法求出A、

方法：把结构拆成杆件(b)qAMABAB(1)AB杆的计算条件是：B端固定，A端有已知位移A、，并承受已知荷载q的作用。(c)PACMACA(2)AC杆的计算条件是：C端简支，A端有已知位移A，并承受已知荷载P的作用。AMACMAB(d)ABQABQABMABMBAqP(e)QBA8注意：此处所说的已知位移仅仅是指，根据结构与荷载知道结构的结点将产生此种位移，并非知道其大小。(3)杆件分析：就是杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算问题。得到的是杆件的刚度方程。3、整体分析(将杆件搭接成结构)杆件搭接时利用在A端各杆位移是相同的。作为变形协调条件。再利用结点A及结构上某杆的平衡条件，即可得到位移法的基本方程。基本方程是用结点位移表示的平衡方程。解平衡方程，即可获得结点位移A、

。4、位移法求解的关键就是求得结点位移。结点位移一旦求出，余下的问题就是杆件的计算问题。95、计算各杆的杆端弯矩将A和代入杆件的杆端弯矩表达式，即可求出各杆端弯矩。6、作弯矩图：根据杆端弯矩和杆件所受荷载作M图。再按第三章的方法作剪力图和轴力图。以上是位移法求解超静定结构的基本过程。从介绍的过程中，大家应该清楚：(1)位移法主要是计算出结构的结点位移，其余是杆件计算。(2)位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支梁；一端固定、一端滑动梁。最后提出：杆件的计算作为预备知识在下一小节介绍。10§11-2等截截面面杆杆件件的的刚刚度度方方程程位移移法法计计算算的的基基础础是是：：单单跨跨超超静静定定梁梁具具有有支支座座移移动动和和外外荷荷载载作作用用时时的的杆杆端端力力的的计计算算。。用到到的的数数据据是是：：形常常数数和载常常数数。(1)已知知杆杆端端位位移移求求杆杆端端弯弯矩矩———形常常数数；(2)已知知荷荷载载作作用用时时求求固固端端弯弯矩矩———载常常数数。一、、由由杆杆端端位位移移求求杆杆端端弯弯矩矩(获得得刚刚度度方方程程)(1)基本本情情况况图11-5所示示为为一一等等接接截截面面杆杆件件AB，截面面惯惯性性矩矩I为常常数数。。已已知知端端点点A和B的角位位移分分别为为A和B，两端垂垂直杆杆轴的的相对对位移移为，拟求求杆端端弯矩矩MAB和MBA。11(2)杆端位位移与与杆端端弯矩矩的符符号规规定AB杆：杆杆端位位移A、B、弦转角角(=/l)、杆端弯弯矩MAB和MBA一律以以顺时针针为正正。特别注注意：：第一一点，式=/l中的是A、B两点的的相对对竖向向位移移。在在结构构中的的杆件件有两两端都都出现现竖向向位移移的情情况(多层多多跨刚刚架中中中间间层柱柱的侧侧移，，就是是这种种情况况)，这时时一定定要注注意取取的是是两端端的相相对侧侧移。第二点点，此时时的弯弯矩符符号规规定，，只是是针对对杆端端弯矩矩而言言，而而不是是针对对杆间间的任任一截截面的的弯矩矩。图11-5MABEIAQABBQBAMBAlBA12当取杆件为为隔离离体时，把把杆端端弯矩矩作为为外力力，一一律以以顺时针针为正正；当取取结点为为隔离离体时，把把杆端端弯矩矩作为为外力力，一一律以以逆时针针为正正。但是是，当当作弯弯矩图图时，，杆端端弯矩矩为杆杆件的的内力力，遵遵循通通常的的符号号规则则，弯弯矩图图画在在受拉拉侧。。(3)刚度方方程的的推导导①图图11-6所示简简支梁梁图11-6(a)MABAEIlABBMBA已知：：两端力力偶MAB、MBA，求杆端转转角A、B。利用第第八章章计算算位移移的方方法——单位荷荷载法法求解。。MPMABMBAM1P=1113APMM1图进行图乘可求得图与q-=-=-BAABBAABBAABAMiMiEIlMEIlMlMlMEI613163)31213221(1=q=lEIi称为线刚度。式中，+-BAABBBMiMi3161=，同理，可求qq(11-2)+--BAABBBAABAMiMiMiMi31616131==即：qq②考考虑虑杆件件两端端的竖竖向相相对位位移时时，求求A、B。图11-6(b)AEIBlBAlBAD===jqq(11-3)14③综合考考虑两种情情况就可得得到下式：：(11-4)D++-D+-lMiMilMiMiBAABBBAABA31616131＝＝qq解(11-4)式，可得式式(11-5)，即：转角位移方方程(11-5)liiiMliiiMBABABAABD-+=D-+=642624qqqq④杆端剪剪力QAB、QBA+-==)(1MMlQQBAABBAAB由平衡条件可得杆端剪力：即：(11-6)D+--==21266lililiQQBABAABqq15⑤刚度方方程两式是杆端端力与杆端端位移之间间的关系，，用矩阵形形式表示，，即称为弯弯曲杆件的的刚度方程。(11-7)D----=BAABBAABlilililiiiliiiQMMqq21266642624----lilililiiiliii21266642624左边的矩阵阵称为弯曲曲杆件的刚度矩阵。其中的元素素称为刚度系数。刚度系数只只与杆件的截截面尺寸和材材料的性质有有关，称为““形常数”。16(4)讨论杆件在一一端具有不同同支座时的刚刚度方程①B端为固定端(图11-7a)图11-7(a)EIBAlMBAMBAAA此时，B=0代入(11-5)式(11-8)可得：liiMliiMABAAABD-=D-=6264qq②B端为铰支座(图11-7b)(b)lAMBAAAEIB此时，MBA=0代入(11-4)式中的第一式，可得：(11-9)liiMAABD-=33q③B端为滑动支座座(图11-7c)lMBAEIBMBABAA(c)17此时，B=0、QBA=QBA=0，代入(11-6)式Alq21=D可得：将此式代入(11-5)式，则有：(11-10)ABAAABiMiMqq-==由以上的分析析过程可知：：利用(11-5)~(11-10)式，可在杆端端位移A、B、已知的情况下下求出杆端弯弯矩。当杆端位移A、B、分别为单位位位移时，各杆杆端力即为杆杆件弯曲时的的刚度系数。例如两端固固定时有A=1MABMBAliQQBAAB6-==iMMBAAB24i==18二、由荷载求求固端弯矩此时，仅考虑虑外荷载作用用，可以用力力法求出各种种单跨超静定定梁在不同荷荷载作用下的的杆端弯矩和和杆端剪力，，把它们称为为“固端弯矩”和“固端剪力”。固端弯矩和固端剪力因只与荷载形式有关，称为载常数。用“mAB、mBA、QAB、QBA表示固端弯矩和固端剪力。为便于计算，将有关结果列于表11-1，供解题时使用。等截面两端固固定梁同时有有荷载和杆端端位移时，可可用“叠加原理”得出各杆端端弯矩和剪力力的表达式(11-12)和(11-13)。式(11-12)BABABAABBAABmliiiMmliiiM+D-+=+D-+=642624qqqq19BABABAABBAABQlililiQQlililiQ+D+--=+D+--=2212661266qqqq式(11-13)表11-1等截面杆件的固端弯矩和固端剪力321两端固支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号203022qlmqlmBAAB+=-=2222lbPamlPabmBAAB+=-=)21(22lblPaQBA+-=)21(22lalPbQAB++=2qlQBA-=2qlQAB+=122qlmBA+=122qlmAB-=207qlQBA-=203qlQAB+=qABlqABlPABba206一端固定另一端铰支5两端固支74固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号qlmAB82-=qlmAB152-=qlQBA101-=qlQAB52+=qlQBA83-=qlQAB85+=D-=BAhtEImaD=ABhtEIma0=BAQ0=ABQ2PQBA-=2PQAB+=8PlmBA+=8PlmAB-=续表11-1PABl/2l/2t1ABt2t=t1-t2qABlqABl21101198一端固定另一端铰支固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号322)3(lalPaQBA--=3222)3(lblPbQAB-+=2222)(lblPbmAB--=PlmAB163-=hltEIQQBAAB23D-==ahtEImAB23D-=aqlmAB12072-=PQBA165-=PQAB1611+=qlQBA4011-=qlQAB409+=续表11-1qABlPABbaPABl/2l/2t1ABt2t=t1-t22215141312一端固定另一端滑动支承固端剪力固端弯矩(以顺时针转向为正)简图编号0=右BQ+=左BPQ+=ABPQ2-==BAABPlmm0=BAQ0=ABQD-=BAhtEImaD=ABhtEIma22-=BAlPam)2(2--=ABallPam0=BAQ+=ABPQ62-=BAqlm32-=ABqlm0=BAQ+=ABqlQ续表11-1qABlPABbaABlP+t1AB+t2t=t1-t223§11-3无侧移刚架的的计算位移法求解超超静定结构时时，根据位移移法的基本原原理，有两种种建立位移法法基本方程的的方法。即：：1、直接杆端弯弯矩法；2、基本体系法法(附加约束法)。无侧移刚架：若刚架的各各结点(不包括支座)只有角位移而而没有线位移移，这种刚架架称为无侧移移刚架。连续梁的计算算属于无侧移移刚架问题。。一、连续梁的的位移法计算算24通过连续梁的的位移法计算算，说明位移移法的解题过过程。图11-8a所示的两跨连连续梁，求作作弯矩图(M图)。图11-8(a)ABC20kN2kN/m3m3m6m1、确定基本未未知量在荷载作用下下，只有一个个基本未知量量，即：B2、计算各杆的固固端弯矩AB梁是两端固定定梁，在跨中中有集中荷载载作用，且在在B端有转角B。BC梁是B端固定、C端简支的梁，，梁上有均布布荷载作用，，且在B端有转角B。)4111(1586208序号－查表mkNPlmmBAAB-==-=-=-25)6111(9862822序号－查表mkNqlmBC-=-=-=3、写出各杆杆端弯矩的的表达式(令各杆的的线刚度度均为i)1522-=+=BABBABimiMqq1544+=+=BBABBAimiMqq933-=+=BBCBBCimiMqq4、建立位位移法基基本方程程(取结点B为隔离体体如图11-8b)MBAMBCB(b)图11-80=+BCBAMM0=BM067=+Biq即，位移法基本方程为：5、求基本本未知量量B(解基本方方程)iB76-=q266、计算各各杆端弯弯矩(将B代入杆端端弯矩的的表达式式)mkNiiimiMBABBAB-=--=-=+=)(72.1615)76(21522qqmkNiiimiMBBABBA=+-=+=+=)(57.1115)76(41544qqm)kNiiimiMBBCBBC-=--=-=+=(57.119)76(3933qq7、作弯矩矩图根据各杆杆端弯矩矩的值，，利用叠叠加原理理作M图如图11-8c。图11-8(c)11.5716.7215.853.21M图(kNm)309需注意：：此时若杆杆端弯矩矩为负值值，表示弯矩矩为逆时时针方向向。278、讨论若在B点作用有有集中力力偶，位位移法的的基本方方程如何何建立。。(a)20kN20kN·m2kN/mABC3m3m6m图11-9此时，对对作用在在B点的集中中力偶，，求固端端弯矩时时不考虑虑。在建建立位移移法的基基本方程程时考虑虑。取B结点为隔隔离体如如右图(b)所示。20kN·mB(b)MBAMBC基本方程程为：MAB+MBC-20=0有：7iB-14=0B=2/i杆端弯矩矩表达式式不变，，弯矩图图如右(c)图所示。。30112339137.5(c)M图(kNm)28例11-1求作图11-9a所示刚架架的弯矩矩图。(a)q=20kN/mABCDEF3I04I04I05I03I06m4m4m5m4m图11-10解：(1)基本未知知量有两两个：B，C。(2)求杆端弯弯矩固端弯矩矩可以查查表mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各杆刚度取相相对值，，设EI0=1，则有2921630==EIiCF43430==EIiBE1440==EIiCD1550==EIiBC1440==EIiBA由式式(11-5)，(11-8)，(11-9)，再再叠叠加加固固端端弯弯矩矩，，可可列列出出各各杆杆杆杆端端弯弯矩矩如如下下：：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33BBBEBEiMqq==34，BBBEEBiMqq==5.12CCCFCFiMqq==24，BCCFFCiMqq==230(3)位移移法法方方程程结点点B平衡衡，，MB=0(图11-10b)BMBAMBCMBE(b)图11-10MBA+MBC+MBE=0将上上步步结结果果代代入入得得10B+2C-1.7=0①①结点点C平衡衡，，MC=0(图11-10c)CMCBMCDMCF(c)MCB+MCD+MCF=0将上上步步结结果果代代入入得得2B+9C+41.7=0②②(4)求基基本本未未知知量量解①、②两方方程程，，得得B=1.15，，C=-4.8931(5)求杆杆端端弯弯矩矩将求求得得的的位位移移代代入入第第2步各各式式可可得得mkNMBA=5.43mkNMBC-=9.46mkNMCB=5.24mkNMCD-=7.14mkNMBE=4.3mkNMEB=73.1mkNMCF-=78.9mkNMCF-=89.4(6)作弯弯矩矩图图如如图图11-10d所示。3.4ABCDEFM图(单位kN·m)1.734.899.814.724.546.943.54062.5(d)图11-10注意：在本题中各杆杆用的是相对对刚度，求出出的位移并不不是真值。如如果要求位移移的真值，刚刚度也必须采采用真值。32如果在本题中中，令i=EI0/4，则有：iBA=iBC=iCD=4i，iBE=3i，iCF=2i。此时得到的位位移为：B=0.282/i，C=-1.202/i。它们都是真值，当EI0值已知时，可直直接求出B、C。例11-2如图所示的刚刚架，求作弯弯矩图。EI=常数8mABCDEFP=20kNq=10kN/m6m8m1(a)图11-1133对于此题，值值得注意的是是：EF杆F端的荷载对E的作用相当于于一个结点力力偶矩。由结点E平衡，即ME=0，有：MED+MEC-20=0基本未知量为为E，令i=EI/8，基本方程为：：7iE+60=0计算结果为：：E=-60/(7i)=-8.57/i。ABCDEF54.292034.2917.1480M图(单位kN·m)(b)图11-1134§11-4有侧移刚架的的计算有侧移刚架：刚架除有结结点转角位移移外，还有结结点线位移(独立的结点线线位移)。注意：计算中忽略轴轴力对变形的的影响。这样样可以减少结结点线位移的的个数，使计计算得到简化化(见图11-12)。(a)CPDDDCCAB图11-12(b)PDABEFC(c)CAPBDPEF221135由于忽略了杆杆件的轴向变变形，图11-12中的每个图的的同层横梁上上结点的水平平侧移相等(即独立的结点点线位移只有有一个)，可以用一个个线位移符号号表示。下面用例题说说明位移法解解有侧移刚架架的基本步骤骤与过程。例11-3图11-13a所示的刚架，，柱的线刚度度为i，梁的线刚度为为2i，均布荷载集度度q=3kN/m，试作结构的弯弯矩图。(a)i2iiBACD8m4mq图11-13解：1、基本未知量量刚结点B的转角B和柱顶的水平平位移(图11-13b)。(b)BACDB362、杆端弯矩表表达式利用前述的相相应公式并叠叠加固端弯矩矩，可得各杆杆端弯矩-D-=-D-=iiiiMBBAB45.12431214622qq+D-=+D-=iiiiMBBBA45q==iiMBBBC6)2(3qqD-=D-=iiMDC75.043(a)3、建立位移法法基本方程首先先，，与与结结点点B角位位移移B对应应，，取取结结点点B为隔隔离离体体(图11-13c)，列力力矩矩平平衡衡方方程程：：(c)MBCMBAB图11-133700，=+=MMMBCBAB(b)①045.110=+D-iiBq利用(a)式可得：然后后，，与与横横梁梁水水平平位位移移对应应，，取取横横梁梁BC为隔隔离离体体(图11-13d)，列出出水水平平投投影影方方程程：：(d)BCQBAQCD图11-13X0，CDBAQQ0=+=(c)这里里关关键键是是求求出出两两竖竖柱柱顶顶端端的的剪剪力力QBA和QCD(图11-13e、f)。(e)q4mQABQBAMBAMABABAM0，BAABBAMMQ6)(41-+-==(f)4mMDCQDCQCDCDDM0，DCCDMQ41-==将以以上上两两式式代代入入(c)可得得：：38024=+++MMMDCBAAB(d)②02475.36=+D-iiBq再利用(a)式可得：4、求求基基本本未未知知量量B和联立立求求解解①①、、②②两两式式，，即即得得B和。iB1737.0=qi158.7=D5、计算各各杆端弯弯矩将基本未未知量B和代入各杆杆端弯矩矩的表达达式，即即有：mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(439mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.06、作M图(图11-13g)13.624.425.694.426M图(单位kN·m)BACD(g)图11-13一般说来来，位移法的的基本方方程是静静力平衡衡方程。注意和和力法基基本方程程对比。。基本未知知量中每每一个转转角有一一个相应应的结点点力矩平平衡方程程，每一一个独立立结点线线位移有有一个相相应的截截面平衡衡方程。。平衡方方程的个个数与基基本未知知时的个个数彼此此相等，，正好解解出全部部基本未未知量。。40例11-4求作图11-16(a)所示刚架架的弯矩矩图，忽忽略横梁梁的轴向向变形。。(a)ABCDEFI1I2I3h1h2h3P图11-16解：(1)基本未知知量柱AB、CD、EF是平行的的，因而而变形时时横梁只只有移动动，横梁梁在变形形后保持持平行(图11-16b)，所以各柱柱顶的水水平位移移是相等等的，只只有一个个独立线线位移。(b)ABCDEFP(2)各柱的杆杆端弯矩矩和剪力力41各柱的线刚度为333hEIi=222hEIi=111hEIi=利用前述述的相应应公式，，可得各各杆端弯弯矩333hiMFED-=223hiMDCD-=113hiMBAD-=由每柱平平衡求得得杆端剪剪力2333hiQEFD=2223hiQCDD=2113hiQABD=(3)位移法方方程取柱顶以以上横梁梁部分为为隔离体体(图11-16c)，由水平方方向的平平衡条件件X=0，得42(c)ABCDEFQABQCDQEFP图11-16=++-0)(QQQPEFCDAB=++D-2332222110)(3hihihiP=++=D22332222113)(3hiPhihihiP求得2hi2hi式中为各立柱之和。(4)柱端弯矩矩和剪力力(将代入第2步各式可可得)-=233hihiPMFE-=222hihiPMDC-=211hihiPMBA43=2233hihiPQEF=2222hihiPQCD=2211hihiPQAB(5)根据杆端端弯矩可可画出M图如图11-16d所示。图11-16(d)ABCDEF233hihPi222hihPi211hihPiM图(6)讨论计算结果果表明，，各柱柱柱端剪力力Q与i/h2成正比。。我们可可以给上上述结果果以新的解释释：荷载P作为各柱总剪力，，按各柱的i/h2比例分配给给各柱，根根据剪力，，即可画出出弯矩图。。44例11-5如图11-14所示的刚架架，求作弯弯矩图。图11-14(a)4mABCDP=28kN2m2m2mi2i2iq=28kN/m在本题中，，基本未知知量是刚结结点B的转角B和结点B(C)的侧向位移移(B、C)。由结点B列力矩平衡衡方程：MB=008428)(32=-+Biq84284)2(6)2(4+D-Biiq即：化简可得：11iB-3i-42=0①45由斜梁BC的水平分力力列水平投投影方程：：X=0。即有06)2(32284)2(124)2(622=D+-D+-iiiBq化简可得：-3iB+5i/3-14=0②②联立求解方方程①、②可得：B=12/i=30/i(b)ABCD562030285610M图(kN·m)图11-14本题应注意两点：(1)因为结点B、C都只能发生生水平位移移，并且位移前后BC杆的长度不不变，所以以应该有=B=C，即只有一个独独立的线位位移；(2)斜杆BC的固端弯矩矩mBC与同跨度(荷载分布长长度)的水平杆的的固端弯矩矩相同。46例11-6作图11-15(a)所示结构的弯弯矩图。lABCDP=3qlqii1iliiEllF(a)图11-15此题中，基基本未知量量个数为2，即刚结点点B的转角B和C(F)点的侧移(C、F)。由结点B列力矩平衡衡方程：MB=0064832=D+++liiqliBBqq即：化简可得：7iB+6i/l+ql2/8=0①①由横梁CF的水平分力力列水平投投影方程(以向左为正正)：03312126222=-D+D+D+qllilililiBqX=0，47可得：6iB+27i/l-3ql2=0②②联解两方程程可得：B=-19ql2/(136i)=29ql3/(204i)ABCDEF0.270.570.850.850.280.430.270.125M图(ql2)(b)图11-15本题应注意以下几点：：(1)因CF杆的线刚度度为无穷大大，所以C点无转动，只只有侧移，基基本未知量为为2。(2)弯矩MCF的值由C点的力矩平衡衡求出。(3)取CF杆为隔离体时时，必须切断断所有的杆件件，并注意列列方程时不要要忘记作用在在C点的水平集中中荷载P。(4)查表计算固端端弯矩m时，注意所求求结构的杆件件与所查表中杆杆件的支承情情况，注意固固端弯矩的正正负号。48例11-7求作图11-17(a)所示刚架的内内力图。(a)q=20kN/mABCEFD4I04I05I03I03I04m6m4m4m5m图11-17解：(1)基本未知量本例与例11-1不同处是除转转角B和C外横梁还有水水平位移。(2)杆端弯矩固端弯矩查表表11-1求得mkNqlmBA===408420822mkNqlmBC-=-=-=7.41125201222mkNmCB=7.41各杆刚度取相对值值，设EI0=1，则有491440==EIiBA1550==EIiBC1440==EIiCD43430==EIiBE21630==EIiCF由式(11-5)，(11-8)，(11-9)，再叠加固端端弯矩，可列列出各杆杆端端弯矩如下：：BBABBABAmiMqq+=+=4033CBBCCBCBBCBCmiiMqqqq-+=++=7.412424CBCBCBCBBCCBmiiMqqqq++=++=7.414242CCCDCDiMqq==33D-=D-=125.1364BBEBEBBEBEliiMqqD-=D-=125.15.162BBEBEBBEEBliiMqq50D-=D-=5.0264CCFCFCCFCFliiMqqD-=D-=5.062CCFCFCCFFCliiMqq(3)位移法方程考虑结点B平衡(图11-17b)BMBAMBCMBE(b)图11-17MB=0，MBA+MBC+MBE=0得10B+2C-1.125D-1.7=0①①考虑结点C平衡(图11-17c)CMCBMCDMCF(c)MC=0，MCB+MCD+MCF=0得2B+9C-0.5D+41.7=0②②51以截面切断柱柱顶，考虑横横梁ABCD的平衡(图11-17d)图11-17(d)q=20kN/mABCDQBEQCFX=0，QBE+QCF=0再考虑柱BE和CF的平衡(图11-17e和f)(e)BEQBEQEBMEBMBE40，EBBEBEEMMQM+-==CFQCFQFCMFCMCF(f)60，FCCFCFFMMQM+-==故截面平衡方程程可写为064=+++FCCFEBBEMMMM037.4375.6=D-+CBqq得③(4)求基本未知量量52联立解①、②、③③三个方程，得B=0.94，，C=-4.94，=-1.94(5)求杆端弯矩将求得的位移移代入第2步各式，得MBA=30.94+40=42.82kNmMBC=40.94+2(-4.94)-41.7=-47.82kNmMCB=20.94+4(-4.94)+41.7=23.82kNmMCD=-34.94=-14.8kNmMBE=30.94+1.1251.94=5.0kNmMEB=1.50.94+1.1251.94=3.59kNmMCF=2(-4.94)+0.51.94=-8.91kNmMFC=-4.94+0.51.94=-3.97kNm53(6)作内力力图由杆端端弯矩矩作出出M图(图11-17g)。图11-17(g)ABCEFD18.647.842.853.593.9726.723.814.88.91M图(kN·m)由每杆杆的隔隔离体体图，，用平平衡方方程可可求出出杆端端剪力力，然然后作作出Q图(图11-17h)。(h)ABCEFD45.229.350.73.72.1554.8Q图(kN)由结点点的平平衡方方程可可求出出杆端端轴力力，然然后作作出N图(图11-17i)。(i)ABCEFD48.9105.52.15N图(kN)(7)校核在力法法中曾曾经详详细讨讨论过过超静静定结结构计计算的的校核核问题题，其其中许许多作作法这这里仍仍然适适用。。54但是要要注意意一点点：在位移移法中中，一一般以以校核核平衡衡条件件为主主；与与此相相反，，在力力法中中，一一般以以校核核变形形连续续条件件为主主。这是因因为在在选取取位移移法的的基本本未知知量时时已经经考虑虑了变变形连连续条条件，，而且且刚度度系数数的计计算比比较简简单，，不易易出错错，因因而变变形连连续条条件在在位移移法中中不作作为校校核的的重点点。图11-17中的内内力图图可进进行平平衡条条件校校核如如下：：C23.814.88.9(k)B42.847.85.0(j)图11-17首先由由图11-17j、k看出，，结点点B和C处的力力矩平平衡条条件是是满足足的。。其次，，在图图11-17l中取柱柱顶以以上梁梁ABCD部分为为隔离离体，，可校校核水水平和和竖向向平衡衡条件件：55图11-17(l)q=20kN/mABCD2.152.1529.3105.548.93.70015.215.20=-=X07.39209.485.1053.290=--++=Y56§11-5位移法的的基本体体系前面提出出的是““直接杆杆端弯矩矩法”求求解超静静定结构构。下面面介绍利利用“位位移法的的基本体体系”求求解超静静定结构构方法。。力法中曾曾经提出出“力法法基本体体系”的的概念，，我们知知道力法基本本体系必必须是静静定结构构。在此通通过提出出“位移移法的基基本体系系”给出出位移法法的另一一种形式式。但是是，需要要注意此此时的基本体系系是一个个比原结结构超静静定次数数更高的的超静定定结构。位移法的的基本未未知量是是位移：：用广义义符号““”表示。。一、基本本体系图11-18a所示刚架架，已知知：q=3kN/m，l=8m，h=4m。有两个基基本未知知量，结结点B的转角1和结点C的水平位位移2。57图11-18(a)CABDii2ilhq原结构(b)CABDq112基本体系采用基本体系如图11-18b所示。即：在B点附加“刚臂约，该附加刚臂只控制转动，不控制线位移。在结点C附加水平支杆控制结点C的水平位移。束”基本体系系与原结结构的区别：通过增增加人为为约束，，把基本本未知量量由被动动位移变变成受人人工控制制的主动动位移。。基本体系系的作用用：基本体系系是用来来计算原原结构的的工具或或桥梁。。它包括括两个特特点：581、基本体体系可以以转化为为原结构构，可以以代表原原结构；；2、基本体体系的计计算比较较简单。。附加约束束的目的就是将结结构拆成成杆件，，使结构构的整体体计算问问题，变变成单个个杆件的的计算问问题，计计算被简简化。二、利用用基本体体系建立立位移法法的基本本方程分析：在在什么条条件下，，基本体体系才能能转化为为原结构构。转化条件件位移法基基本方程程1、控制附附加约束束，锁住结点点位移(1、2为零)。在荷载载作用下下，求得得基本体体系在此此状态下下的内力力；同时时可知，，在附加加约束上上有约束束力矩F1P(顺时针为为正)和水平约约束力F2P(向右为正正)；而在原原结构上上F1P和F2P是不存存在的的。592、再控控制附附加约约束，，使基基本体体系产产生结结点位位移1和2。此时时，附附加约约束中中的约约束力力F1和F2将随之之改变变；若若控制制1和2使与原原结构构的实实际值值正好好相等等，则则约束束力F1和F2即完全全消失失，附附加约约束失失去作作用，，与原原结构构完全全相同同。通过以以上两两步的的过程程，可可知基基本体体系转转化为为原结结构的的条件件是：：基本本体系系在给给定荷荷载以以及结结点位位移1和2共同作作用下下，在在附加加约束束中产产生的的总约约束力力F1和F2应等于于零。。即：转转化条条件(位移法法的基基本方方程)为：F1=0F2=0(11-14)3、F1和F2的计算算利用““叠加加原理理”，，分别别考虑虑外荷荷载和和1、2单独作作用时时，基基本体体系中中的附附加约约束力力。60(1)荷载单单独作作用：：相应应的约约束力力为F1P和F2P(图11-19a)。图11-19(a)CABDqF1PF2P(2)单位位位移1=1单独作作用：：相应应的约约束力力为k11和k21(图11-19b)。(3)单位位位移2=1单独作作用：：相应应的约约束力力为k12和k22(图11-19c)。(c)k22k122=1(4)叠加结结果，，考虑虑到式式(11-14)有：(11-15)22221212+D+D=PFkkF12121111+D+D=PFkkF(b)k21k111=1614、位移法基本方方程(11-16)02222121=+D+DPFkk01212111=+D+DPFkk式(11-16)的物理意义是是明确的，由由此式可求出出位移1和2。与前面的直直接杆端弯矩矩法是相通的的。注意：kii——主系数，且kii>0；kij——副系数，且kij=kji；FiP——自由项；副系数、自由由项可为任意意值。关于位移法和和力法，利用用基本体系方方法，基本未未知量数目一一旦确定，即即可写出其典典型方程。三、基本体系系法(附加约束法)的解题过程1、荷载作用下下F1P、F2P的计算。62(1)作基本体系在在荷载单独作作用下的MP图(图11-20a)。(a)CABD4F1PF2P4MP图图11-20(2)取结点点B为隔离离体(图11-20b)，求得F1P=4kN·m。(b)BF1P40(3)取柱顶顶以上上横梁梁BC为隔离离体(图11-20c)，已知立立柱BA的固端端剪力力QBA=-qh/2=-6kN，求得F2P=-6kN。(c)CBQCD=0F2PkNqhQBA62=-=-2、基本本体系系在单单位转转角1=1单独作作用下下，求求k11、k21。图为图(图11-21a)。M1(1)在基本体系中，当结点B有单位转角1=1时，其弯矩63图11-21(a)k21k116i2i4iABCD1M图(2)取结点点B为隔离离体(图11-21b)，得k11=4i+3(2i)=10i。(b)Bk114i6i(3)取柱顶顶以上上横梁梁BC为隔离离体(图11-21c)，已知立立柱BA的柱顶顶剪力力QBA=-6i/4=-1.5kN，求得k21=-1.5i。(c)CBQCD=0k216iQBA-1.5ih==-3、2=1作用下下求k12、k22其弯矩图为图(图11-22a)。M2(1)在基本体系中，当横梁BC有单位水平位移2=1时，(2)取结点点B为隔离离体(图11-22b)，得k12=-1.5i。64(b)Bk121.5i0(a)k22k121.5iABCD1.5i0.75i2M图图11-22(c)CBk22QBAi12ih2==34QCDi3ih2==316(3)取柱顶以上上横梁BC为隔离体(图11-22c)，已知立柱BA的柱顶剪力力QBA=12i/h2=3/4i，立柱CD的柱顶剪力QCD=3i/h2=3/16i，求得k22=15i/16。注意：此题中求k12比求k21要简单，解题题时注意应用用。4、位移法基本方方程将求得的各系系数和自由项项代入方程式式(11-16)，得基本方程程如下：65ii0616155.121=-D+D-ii045.11021=+D-D该基本方程与与前面在§11-4中得出的方程完全相相同。5、求出基本未未知量1和2i158.72=Di1737.01=D6、作弯矩图利用下列叠加加公式作原题题刚架的M图。PMMMM+D+D=2211(11-17)杆端弯矩计算算如下：66mkNiiiiMAB-=--=62.134)158.7(5.1)1737.0(2mkNiiiiMBA-=+-=42.44)158.7(5.1)1737.0(4mkNiiMBC==42.4)1737.0(6mkNiiMDC-=-=69.5)158.7(75.0注意：杆端弯矩计计算过程中，，以顺时针为为正。根据杆端弯矩矩作出刚架的的M图如图11-23所示。CABD图11-23M图(kN·m)4.4213.625.69667四、多个基本本未知量的位位移法基本方方程当结构有n个基本未知量量时，其位移移法的基本方方程为：00022112222212111212111=+D++D+D=+D++D+D=+D++D+DnPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkLLL(11-18)上式与力法的基本方程程是对应的，，在这里nnnnnnkkkkkkkkkLLLLLLLLLL212222111211结构的刚度矩阵其中系数称为为结构的刚度系数，且有kij=kji，因此结构刚度矩阵是对称阵阵。其主系数数恒大于零；；副系数可为为正，可为负负，也可为零零。68§11-6对称结构的计计算由第九章力法法中讨论过的的情况可知，，作用于对称结构上的任意荷载，可以分解为为对称荷载和反对称荷载两部分分别计计算。在对称称荷载作用下下，弯矩图、、轴力图及变变形图是正对对称的，而剪剪力图是反对对称的。在反反对称荷载作作用下，剪力力图是正对称称的，而弯矩矩图、轴力图图及变形图是是反对称的。。利用这些规规则，计算算对称连续续梁或对称称刚架时，，我们只需需计算这些些结构的半边结构就可以。这这里对第九九章讲的““半刚架””法做些相相应的补充充。一、半边结结构的取法法1、奇数跨69图11-24所示对称结结构，在对对称荷载(图a)和反对称荷荷载(图c)作用下，可可取图b、d所示半边结结构进行计计算。(a)qCABDE图11-24(b)CABq(c)ABDEC2P2P(d)CAB2P采用位移法法计算时，，图b有一个基本本未知量，而图d有两个基本本未知量。。702、偶数跨图11-25a所示对称结结构在对称称荷载作用用下，可取取图b所示半边结结构进行计计算。(a)CDBAEFIq图11-25(b)CBAq图11-26a所示示对对称称结结构构在在反反对对称称荷荷载载作作用用下下，，在在对对称称轴轴上上，，柱柱CD没有有轴轴力力和和轴轴向向位位移移，，但但是是有有弯弯矩矩和和弯弯曲曲变变形形。。(a)CDBAEFI2P2P图11-2671(b)C1D2BAEFI2P2PC2D12I2I图11-26故图图a可简简化化为为图图b所示示的的结结构构，，中中间间两两根根分分柱柱的的抗抗弯弯刚刚度度为为原原柱柱的的一一半半。。成成为为奇奇数数跨跨的的结结构构，，中中间间跨跨的的跨跨度度为为零零。。(c)C1D1BA2P2I(d)C1D1BA2P2I此时时的的半半边边结结构构可可如如图图c、d所示示，，有有三三个个基基本本未未知知量量。。中中间间柱柱CD的总总内内力力为为两两根根分分柱柱内内力力之之和和，，即即CD柱的的总总弯弯矩矩和和总总剪剪力力为为分分柱柱弯弯矩矩和和剪剪力力的的两两倍倍，，总总轴轴力力为为零零。。72二、举举例确定图图11-27中对称称结构构的基基本未未知量量并选选取半半边结结构。。(a)CBPP图11-27(a)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(b)CBPP(b)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD(c)CBPP(c)CBP基本未知量3个(A、D、A)AD73(d)PP图11-27(d)PCB基本未知量4个(A、D、A、D)AD(e)PPCB(e)PCB基本未知量4个(A、D、A、D)AD例11-8求作图11-28a所示吊桥结构的内力图，吊杆的EA等2201m于横梁EI的。74图11-28(a)DABCEIq