低扭曲几何映射研究

UniversityofScienceandTechnologyofAdissertationfordoctor’sGeometricMapswithLow ChunxueWang Prof.LigangLiuFinishedTime: May,2016新形式，并在曲面造型、计算机动画与视觉、地理信息系统、物理仿真、虚机科学中的广泛应用，越来越多基于低几何的工程技术难题被解决。本对于亏格为0的封闭三角网格曲面，我们提出了一种尽可能保刚性的球面参数化方法（ARAP方法。该方法是平面域上尽可能保刚性参数化在球面域的量保刚性地到该球面上。通过分析二维及三连续和离散的ARAP能ARAP能量的球面参数化的优化模型。该模型的求解涉及到一个算法，包括局部/全局算法更新球面顶点坐标和迭代更新半径。该方法克服了以AMIPS能量优化的球面参数化模型。给定一个初始的有效参数化，即使初始的比较大，我们通过求解一个带有非线性约束的非线性优化问题来BlockCoordinateDescent方法的迭代优化算法，得到了最优半径球面上的低法得到的球面参数化结果均能在保证双射的基础上，具有最低的最大和平对于图像特征点匹配问题，我们通过构造平面网格上低的方法来由SIFT算法1]含有噪音的若干图像特征点对应，我们希望能从噪音的特征点对应中寻找出尽可能多的具有几何信息的对应点。针对该问题，我们提出了基于拟共形函数空间的过滤方法，将该问题转化成关于ltrmi系数和拟共形函数的带约束的优化问题，并提出了一种基于变量分离方法和迭代最小二乘方射函数的稀疏线性系统求解问题和关于Bltrmi系数的带有线性约束的凸二次规划问题。为了衡量算法的准确率，我们定义了刻画特征点匹配准确性的统计量Fmeur，并分别在数据和真实图像上做了测试。实验结果表明，我们的方法能够筛选出的具有几何一致性的特征点对应，并且对参数的选择和噪音均不敏感。：数字几何数据低几何三角网格曲面球面参数化图像特征点匹配拟共形Withthedevelopmentof3Dscanningtechnology,digitalgeometricdatahas-eanewtypeofmulti-mediafollowedsound,imageand,andwidelyusedthefieldsofsurfacemodeling,computeranimationandvision,geographicinformationsystem,physicalsimulation,virtualreality,scientificcomputingvisualizationandsoon.Theresearchofthisthesisisbasedonthebasicdigitalgeometricdataoftriangularmesh.Findinggeometricmapswithlowdistortionbetweensurfacesisabasicandimportantproblemincomputergraphics,computervision,medicalimageprocessingandsoon.Amongthem,surfaceparameterizationandregistrationaretwoimportanttechniques.Withthedevelopmentofdigitalgeometryprocessingandthewideapplica-tionofsurfacedifferentialgeometryincomputerscience,moreandmoreengineeringproblemsbasedonthemapswithlowdistortionaresolved.Inthisthesis,basedontriangularmeshes,wefocusontheproblemoffindingmapswithlowdistortion,in-cludingsphericalparametrizationwithlowdistortionandmapswithlowdistortionbetweenplanarmeshes.Forclosedgenus-zerotriangularmeshes, resentanas-rigid-as-possiblespher-icalparametrizationmethod(ARAPmethod),whichisanextensionofplanarARAPparametrizationapproachtospherical.Ouraimistofindanoptimalsphereonwhichparametrizationtrianglescanbeembeddedinarigidity-preservingmanner.WeyzethesmoothanddiscreteARAPenergyandformulateoursphericalparametriza-tionmodelfromthediscreteARAPenergy.Thesolutionisnontrivialastheenergyin-volvesalargesystemofnon-linearequationswithadditionalsphericalconstraints.Tothisend, roposeanefficienttwo-stepiterativealgorithmincludingalocal/globaliterativeschemetocalculatetheparametrizationcoordinatesanditerativeupdatingra-dius.Thismethodoptimizesrigiddistortiondirectly,which esthedrawbacksofpreviousworkoptimizingonlyangledistortionorareadistortion.Experimentalre-sultsshowthatARAPsphericalparametrizationhasthebestrigidity-preservingertycomparedwithpreviousForclosedgenus-zerotriangularmeshes,resentamethodtofindabijectivesphericalparametrizationwithlowdistortion(BLDmethod),includingconformalandisometricsphericalparametrization.Previousmethodsforsphericalparametrizationcannot,ingeneral,controltheworstcasedistortionofalltrianglesnorguaranteebi-jectivity.Tosurmountthesedisadvantages,weformulateoursphericalparametrizationmodelbasedonAMIPSenergy.Givenaninitialbijectivesphericalparametrization,evenwithhighdistortion,wedevelopanon-linearconstrainedoptimizationproblemtorefineit,withobjectivepenalizingthepresenceofdegeneratetrianglesandaldistortion.Byusingadynamicadjustingparameterandaconstrained,iterativeinexactBlockCoordinateDescentoptimizationmethod,weefficientlyandrobustlyachieveabijectiveandlowdistortionparametrizationwithanoptimalsphereradius.Experimen-talresultsshowthat,ourmethodcanachieveboththelowestaldistortionandaveragedistortiononnumerousmodelsundergoingsimpletocomplexshapes.Inad-dition,ourmethodisfast,efficient,robusttoinitialparametrizationandinsensitivetoparameterchoice.Forthefeaturematchingproblemofimages,wefindgeometricallyconsistentcor-respondencesintwoimagesbyconstructingthemapswithlowdistortionbetweenplanarmeshes.GivenasetofcandidatematchesprovidedbySIFTdescriptors[1],whichmayincludemanyoutliers.Ourgoalistoseleubsetofthesematchesretainingmuoregeometricinformation.Tosolvethisproblem,resentafilteringmethodbasedonthespaceofalldiffeomorphisms,formulateaconstrainedoptimizationin-volvingboththeBeltramicoefficienttermandquasi-conformalmap,andsolvedbyanefficientiterativealgorithmbasedonvariablesplittingmethodanditerativereweightedleastsquaresmethod.Ineachiteration,wesolvetwosubproblemsincludingalin-earsystemandalinearlyconstrainedconvexquadraticprogramming.Tomeasurethematchingaccuracy,wedefineastatisticF-measureandtestouralgorithmonbothsyn-theticdataandrealimages.Experimentalresultsshowthatourmethodenablespro-ducingmorecorrectcorrespondencescomparedwiththestate-of-the-artapproaches,isinsensitivetoparameterchoiceandrobusttooutliers.:digitalgeometricdata,geometricmapswithlowdistortion,triangularmeshes,sphericalparametrization,featurematchingofimages,quasi-conformalmaps····························································· 第1章绪 研究背景和研究意 研究问 曲面表 的定 的应 研究现 球面参数 平面三角网格上低···································· 本文内容及结构安 第2章连续及离散形式下曲面上的几何···················连续形式下曲面的微分几何概念和性 曲 曲 曲面之间的············································ 离散曲面上的几何······································· 三角网格上的基本概 三角网格上的······································· 本章小 第3章尽可能保刚性的球面参数 引 预备知 ARAP能 尽可能保刚性的平面参数化方 基于三维ARAP能量的球面参数化模 从局部到整体的球面参数化方 实验结 3.5算法分析3.5.1不同初始参数化的球面参数化3.5.2不同分辨率网格的球面参数化3.5.3算法的收敛性 3.5.4复杂几何网格的球面参数化3.6本章小结 第4章低的有效球面参数化4.1引言4.2预备知识4.2.1MIPS4.2.2AMIPSBlockCoordinateDescent4.34.4数值实验 4.4.1保长度的球面参数化 4.4.2保角度的球面参数化 4.5算法分析 4.5.1不同初始参数化的球面参数化 4.5.2不同分辨率数据的球面参数化 4.5.3参数的动态调整 4.5.4算法的收敛性 4.6本章小结 第5章基于拟共形的图像特征点匹配5.1引言 5.2相关工作 5.2.1低维形变空间 5.2.2基于函数空间的形变空间 5.2.3拟共形 5.3预备知识 5.4基于拟共形空间的图像特征点对应问题的模型5.5数值实现 5.5.1三角网格上离散 .25.6数值实验5.6.1数据算法分析5.8本章小结 第6章总结与展望 6.1本文工作总结 6.2未来工作展望 参考文献 致谢 在读期间的学术与取得的研究成果图几种曲面几种曲面表示[3]网格参数化的应用 交互式几何建模 曲面对应 3 插值问题[113]插值问题[113]边界插值问题[113] 2.1从参数域Ω的方向导数¯到曲面S上的切方向w的变换 2.2的各向异性 三角网格曲面上不同类型的几何 极小化不同下的网格变形 f的奇异值分解[147]································ 三角网格曲面的一邻域及半边结构 尽可能保刚性的平面参数化方法 不同意义下的Lτ[161] 尽可能保刚性的球面参数化的流程 局部求解中的最优旋转矩阵Rτ 顶点i的一邻域四面体及二面角 ARAP球面参数化在不同模型上的表现 不同初始参数化下ARAP球面参数化的表 不同分辨率网格上ARAP球面参数化的表 图3.9中各模型的三维ARAP能量曲 复杂几何网格的ARAP球面参数化 4.1参数化f|t和逆g|t[87] 4.2g的分解 原始三角形及参数化三角形上的定义 最大和平均关于s的变化曲线 不同半径更新策略的比较 简单模型上Harmonic，Hierarchical，ARAP及BLD的结果比较 复杂模型上Harmonic，Hierarchical，ARAP及BLD的结果比较 顶点数量大于400K的0亏格封闭网格数据的保长度球面参数化 保角度的球面参数化比较 不同初始参数化的结果比较 不同分辨率数据的球面参数化 网格尺寸差异较大的数据上的球面参数 4.13Cow模型上不同参数s的结果比较 4.14能量函数（单个三角形上）Beltrami系数与共形度量RBF数据上的结果比较同一物种的不同动物图像上的特征点匹配5.35.5Beltrami5.35.5的所有例子的能量曲线σϵ表不同方法的平均面积和平均角 的比 不同方法的平均刚性（长度 的比 模型统计及算法表现 不同保长度球面参数化方法的实验效果及运行时间 真实图像上图像匹配准确率的比较 运行时间比较 第1 绪研究背景和研究意随着三维技术的不断发展，计算机性能及能力的持续提高以及2001SigGraph会议首次提出以来，数字几何处理造离散曲面，然后经由三维打印得到产品原型。为了保证离散曲面的近精度，常常通过离散曲面共形映到典范区域，然后用DelaunayRefinement方法重新三研究问和点云，在众多的曲面表示中，三角网格因其结构简单、表达能力丰富、绘图 几种曲面表示的定f，从广义上来讲，定义了两个数据集/AB（数域、形状、图像等）间的光滑函数，记作fA→B。对于A中每个元素a，按照规则f，B中有唯一确定的元素b与之对应，则b称为元素a在f下的象，记作：b=f(a)；a称为b关于f的原象。数据集/空间A中所有元素的象的集合称为f(A)Af的定义域。特别地，B中每个元素都有原象，f建立了数据集/A和数据集/B的一一对应关f是数据集/空间A到数据集/空间B上的一一。当A和B都是非空数集且A到B是一对一或者多对一情形，则f恰恰是数学领域定义的函数。基于不同的数据集/空间，我们指定f特定性质，比如连续性、插值性等。在定义给出的基础上，我们定义不同数据集/空间上的几何度量，使得在该度量下f具有极小的变形。图1.2给出不同数据集/空间上f的定义。𝑓:𝑓:ℝ2→𝑓:𝕄→𝑓:𝕄→𝑓:𝕄→𝑓:ℝ3→图 三角网格曲面（TrianglularMesh）M可表示为集合{VKP}VM的顶点集合；KM上的拓扑连接关系的集合（顶点，边，面PM所有顶点的属性集合（顶点位置坐标，点法向量及点颜色等K{VEF}，其中V={i},E={i,j}，F={i,jk}分别表示M的点集合、边集合和面集合。如果{ijEij互为邻居，并记i的一邻域点N(i)={j|{ijE及顶点i的度|N(i)|。我们以递归方式给出im阶星形邻域点：Star0(i)=∪Star1(i)=∪Starm(i)

N对于边e={ij}∈E，定义e的一邻域点和m阶星形邻域点（m≥∪N(e)=N N(j)−{i,∪Star(e)=Star(i)Starm(e)=Starm(i)

∪对于面f{ijkF，定义f的一邻域点和m阶星形邻域点（mN(f)=N

N

NStar(f)=

∪

∪Starm(f)=

此外i的一邻域面T(i){f|iffF}，则边e的一邻域面T(e)= T T(j)，面f的一邻域面T(f)=T(i)T T(k)−{i,j,k}。以此类推分别得到im邻域面、em邻域面及fm邻域面Tm(i)=T∪Tm(e)=TTm(f)=T

T T

Tm(k)−{i,j,MgNv、Ne、NfNbM的顶点数、边数、三角面片数和边界数g=(Ne−Nv−Nf−Nb+M上洞的个数。特别地，对于半球面网格的亏格为0，球面网格的亏格为0。图1.3给出了不同类型及不同亏格数的三角 图 不同类型及不同亏格数的三角网格曲面：(a)亏格为0的单边界网格；(b)亏格为)1.1MN的拓扑连接关系相同，即存在从KM到KN的一一ΓM−N，则ΓM−N被称为M到N的同构，并且称M和N是拓扑同构的。0M的球面参数化问题就是构造一个与M拓扑同构的球面网格S，使得KM到KS的是一一的。接下来我们详细描述在三角网格上的定义。f给定三角网格MsV{v1v2vnvMnv个网格顶点，其vi={xiyizi}∈R3。M的拓扑关系决定的三角F={f1f2,...,fn}，ft={v0v1v2是三角形t的三个顶点。M的拓扑关系决定的E=f {e1e2ene}，其中el={vlvl是边l的两个顶点。显然，M={VEF是′连续曲面S的分片线性近，因此，M上最自然的空间便是分片线性连续函数空间（ContinuousPiecewiseLinearMaps，简称CPLM。换句话说，M上的每一个三角形t的三个顶点分别被到对应三角形的三个顶点，相邻三角这样就定义了三角网格上的全局连续的一一。特别地，每个三角形fj经过′仿射变换Ajfj，相邻三角形的不同仿射变换在公共边上具有相同的对应点，则仿射变换的Jacobian矩阵在每个三角形上是常数矩阵。在空间，的好坏一般通过Jacobian矩阵的奇异值刻画。第二章我们会详细描的应数化的诞生是在公元前2000多年前，由古希腊人和古埃及人最早应用在绘图学领域。20世纪90年代，平面参数化被首次引入计算机图形学，实现了三维曲面的二维纹理图像贴图[4–6]。在接下来的几十年中，参数化[7;8]被不断地研究，并广泛地应用到数字几何处理的其他领域，包括网格编辑[9;10]、细节迁移[11–13]、网格修复（补洞[1416、网格形变[17–22]、曲面拟合[23–26]、重新网格化[27–33]、网格压缩[21;28]、法向[34]、医学可视化[35–37]，数据库建立[20]、传感器网络[38–40]等，如图1.4所示。网格编辑 细节迁移 网格修复 网格形变 曲面拟合 重新网格化 网格压缩法向 医学可视化 数据库建立 传感器网络图 法。不同的参数域不同的求解问题，因此也会导致不同的参数化质量，例如球面参数化针对亏格为0的封闭曲面，加之球面域的非凸非线性的球面约束，相对。几点：（1）局部性，即对小范围区域网格顶点的修改，不引起整个网格顶点的变列举了几类交互式几何建模的方法，如图1.5所示。复重心坐标复重心坐标有界调和权多层次变形保刚性形变 均值坐标 格林坐标 局部重心坐标图 并且该插值用户指定的一组稀疏对应关系。一般地，该应该满足以下几个条件：（1）双射（一一（2）特征点对应（满足用户指定的稀疏对应关题[14;35;61–70]；(c)基于曲面间内在的几何量（Gromov-Hausdorff距嵌入、测地一致性等[54;71–78]1.6所示。Delaunay三角化得到。因此，图形处理中的图像匹配问题完全可以转化成曲面对应问题来求解。图像特征点匹配问题，是指给定两图像{piqi}NiSIFT算法[1]想法是，从两图像出发，定义关于图像像素值的匹配函数、像素值的约束函数此外，基于图的谱方法[83;84]巧妙地将该问题转化成线性代数中的矩阵问题，对于数据量不是很大的情形，也具有很好的效果，如图1.7所示。 图 曲面对低维变形空间 谱方法 基于图像像素值图 研究现球面参数应用提供了基本工具，例如重新网格化、曲面拟合、曲面重建及曲面等。对（刚性）等几何度量能尽量保持跟原始网格一样。文献[85–87综述了部分比较流行1.8展示 图1.8 几种典型的球面参数化结果：(a)Isenburg等人的方法[88]；(b)Gotsman等人的方法[89]；(c)Gu等人的方法[35]；(d)Friedel等人的方法[90]；(e)Zayer等人的方法[91]；(f)等人的方法[92]；(g)Shen等人的方法[93]；(h)Wan等人的方法[94]不考虑量的球面参数格的拓扑同构。Kent等人采用类似吹气球的方法将三角网格顶点到球面上，但并不能保证一一[95]。Kobbelt等人[96]和Alexa[19]等人采用球面松弛策略，Isenburg等人[88]提出了由拓扑连接信息生成球面网格的算法，由于该算法需要把个算法的缺点是生成的球面参数化很不均匀。Shapiro等人[98]采用累进网格[99]的下来通过顶点操作将之前删除的顶点依次添加到当前球面上。该算法能保证2003年，Gotsman等人[89]首次将平面凸组合方法[97;100]推广到球面参数化αixi

ωijxj= i=1,...,

∥xi∥2= i=1,...,ωij{i,j}∈Enegative {i,j}∈ωij −

i= {i,j}/αixii=1nv是待求解的量。他们利用谱图理论（SpectralGraphTheory[101]）及ColindeVerdiere理论[102]分析了该系一存在的条件。特别地，ωij取保角权重[103]或者中值权重[104]时，均可得到保角度球面参数化。但是2005年，Saba等人[105]提出了一种快速有效求解(1.1)的算法，首先利用由Isenburg等人[88]算法得到一个初始有效的球面参数化，在此结果基础之避免了直接求解(1.1)而导致的解的出现。基于Gotsman等人[89]平面的凸组合在球面域的推广，等人[106]提出了一种新的算法，仅仅需要求解一个线性系统即可得到。 [107]将该问题转化成极坐标系下求解，大大降低了该问题的非线性程度。Haker等人[36]极投影到球面上的过程，并不能保证参数化的有效性。为减小该方法的变形，Kharevych等人[108]采用基于圆模式的边界保 极投影依然不能避免三角形的翻转。Sheffer等人[109]ABF平面参数化方法[110]组变为求解一个非线性方程组，因此算法的效率大大降低，仅仅适合规模较小的网格。Gu等人[35]推广了平面域保角参数化方和能量，采用分层的共轭梯度方法优化。该算法对于规模较大细节较多的网格，收敛非常慢。2007年，等人[112]改进了之前的算法[111]，采用基于Lagrange-Newton方法的球面参数化算法，效率明显提高。由于保角度球面参数化结果会产生很大的面积，越来越多的研究学者保面积。Prun等人[33]推广了平拉能至面域与Shpiro等人[98]算法类似，采用累进网格的算法[99]，通过优化球面上拉伸度量的非线将的顶点添加到球面上。累进网格的算法同样被等人[92]使用，不同的是，他们在将的顶点添加到面时首局采保使该落一域，后局球面拉能。206年Sn等[3]采网平滑算优化保积能量和保角度能量。Friedl等人[0]量的无约束问题，并解释了拉伸能量如何在保角度能量和保面积能量之间Zyr人1]在坐标优保积量和角能量平，并法首先需要用户输入一个周期切割线，将原始网格沿着该线切割成拓扑同构于户输入的周期切割线较敏感，即不合适的周期切割线可能引入非常大的。2013Praun等人[33]的方法类似，Wan等人[94]采用累进网格的算法[99]优化保面积能量和保角度能量的平均，逐次添加点的过程采用拉格朗日乘子法可以严格保证能量的下降。由于该算法添加点的过程是局部操作的，得到的球面参数化很容易陷入局部最优解，在几何较复杂的区域依然会很大平面三角网格上（配准）问题而提出。平面三角网格曲面的问题，是指给定平面上形状A和BA{pi}B{qi}，AB之间的f。本质上来说，平面三角网格曲面的问题是平面三角网格曲面界插值问题。图1.9和图1.10分别给出了两种插值问题的示意图。下面分别介绍 图 插值问题，Bookstein[114]（Thin-platesplines）的弯曲能量（Bendingenergy）的优化问题，给出了插值函但是由于图像匹配中特征的匹配本身具有确性，Rohr等人[115]提出了不精确薄板样条的 问题中，大大提高了匹配的准确率。除了薄板样条被作为重要工具广泛应用之外，Rueckert等人[116]利用 图 边界插值问题FFD模型（Free-FormDeformations）来求解该问题，Sorzano等人[117则采用了向量样条的正最近，很多研究学者将目光转移到如何找到可以显示控制局部单射性和扭量，出了量研成。于面角格特性复上24年，m等利用拟共形求解平面三角网格上的插值问题，并且能够处理插值点变形较大的情形。体来说，是迭代求满足插点约束的拟形f和lif)i等人9]eier（-p）的eier严格满足对应点约束。2015年，ui和Ng[10]提出了一种基型f和 量的显示控制，Weber等人[121]提出利用局部 求解平面三角网格上的极 [122]，并将其推广至非平面的三角网格曲面情形。但是上述Shllr等人123]通过添加惩罚能量项改进了以往旋转不变的变形能量41124–126]不能保证无翻转的情形。ipmn127]首次提出了通过构造有界的最大子空间来实现函数量的有界性及单射性质，但是由于用户给定的上界决定127]Pornne和ipmn53]提出了求解复平面上不同连续函数空间有界量的局部单射的算法。针对不同空间的基函数，该算法在理论上给出了Chen和Weber[128]利用平面的特殊性及复分析理论[129]，在平面（1）C满足用户输入的上界。该方法处理的情况恰恰是Lipman[127]的一种特殊情况，因此继承了Lipman[127]的缺点。不同于上述几种算法，Chen[130]利用连续情形下平面上黎曼度量矩阵的性质，实现了平面上角度有界的形状变形，并且该 ，Levi和 优 上界 ，Levi和 [132]通过修改网格的拓扑连接关系，来求解固定边界的平面三角网格上的单射问题。Fu等人并不能保证的单射性质。于此同时，Weber和在边界插值问题中，重心坐标（BarycentricCoordinates）是一个很重要的工具，已经被广泛研究和使用。在平面三角网格的插值中，函数一般被写成实可以被预先计算好，在交互过程中，只要计算对应的系数即可，方便高效。因此，能力及插值能力等。Wachspress和Eugene[134]首次将关于凸多边形的Wachspress坐标应用到有限元计算中，并被推广到更的凸多面体[43;135;136]。HormannFloater[137]利用中值坐标（MeanValueCoordinates）处理任意平面多边形的插值问题，并且具有连续、局部单射、易于实现的性质。Lipman等人[47]使用格林坐标（GreenCoordinates）得到了具有严格插值性质的保形，后来Weber等人[52]提出了格林坐标的更一般形式，并应用到平面形状插值问题中。Weber和Gotsman[138]计算了复空间的C∞连续的保角，但是并不能严格满足插值条件。针对该问题，Weber等人[139]提出了基于双调和方程解的(BiharmonicCoordinates)，自然插值边界条件，但是该方法并没有给射性质[140]，一个例外情形是凸多边形区域的Wachspress坐标[141]。Weber等人[142]从复分析的角度分析了上述提到的几种坐标的性质。Schneider等人[143]利组合几种均值坐标的方法求解了两个简单平面多边形区域的双射，但是并不能得C∞连续及上界的局部单射，但是该方法解的存在性强烈依赖于用本文内容及结构安本文围绕低几何问题，以三角网格数据为基础，对低的球面参参数化作为数字几何处理的一个基本问题，越来越多的应用要求参数化的尽可能小针对亏格为0的封闭网格本文提出了一种尽可能保刚性（s-iidoble（AAP方法后给出针对该优化模型的两步迭代算法。算法的开始需要用户输入一个有效的全局（ol/lbl）思想求解得到每个顶点在球面上的坐标；第二步，给定每个顶点在球面上的坐标，我们更新球面半径尽可能使每个三角形保形地从原始网格到当前半径的球面上。与现有的均衡角度和面积的球面参数化方法比该方得的均长（性）最。AP保刚性球面参数化不控制最大刚性的问题，我们提出了最大和平均均比较小的球面参数化方法（BD方法，包括保角度和保长度两种类型。我们的模型是基于改进的PS（otIometricCoordinateDescent方法优化得到每个顶点的球面参数化坐标；第二步，给定当前基于平面三角网格上低几何的研究，该应用到图像特征点匹配问题中。给定具有若干对特征点对应的两图像，其中的噪对应。采用拟共形函数空间作为匹配空间，建立了基于该空间的匹配模Beltrami系数的线性约束的凸二次规F-measure评估算法的准第一章首先介绍了低几何的研究意义和背景，然后给出了该课题以往方法采用的优化角度能量和面积能量的方式，介绍了尽可能保刚性的球面参数化方法（ARAP方法。第四章中针对球面参数化中最大不可控的问题，介绍了如何将AMIPS能量应用到球面参数化问题中，从而得到了最大和平均都比较小的有效球面参数化方法（BLD方法。第2 其在离散曲面上相应的离散形式及在该离散形式下几何的各种定义。连续形式下曲面的微分几何概念和性曲CR3r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t∈[a,或r=r(t),t∈[a,r(t)kCk类曲线。特别地，C1类曲线定义 我们称Ck类曲线C:r(t)是正则的，当且仅R3

{r(t),r(t),...,r(m)(t)},∀t∈[a,b],m≤C1′r(t)̸=0,∀t∈[a, 其中，r′(t)称为曲线在r(t)处的切向 若以l(c,d)表示曲线C:r(t)在区间[c,d]⊆[ab]的弧长，则l(c,d)

∫′∥r c接下来，我们利用曲线C:r(t)r(s)处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在r(s)的曲率：κ(s):=∥r′′ 因此κ(s)将切向量的导数r′′(s)和法n(s)紧密联系在了一起，即r′′(s)= 其中，n(s=r′()⊥(s)⊥∥⊥是指逆时针旋转90◦C:r(t)，我们可以定义一组正交向量：{αβαβ} Cr(tFrenet标架。其中αr()/(s)∥βr()/(s)∥。一个定义2.2我们称Ckr1I1R3r2I2R3是等价的，如果存在一个Ckϕ:I1→I2，使得r1(t)=r2(ϕ(t)),∀t∈且′ϕ(t)̸=0,∀t∈r2r1Ck曲线集合的一种等价曲线的微分几何性质（弦长、Frenet标架和曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质，这恰恰也是我们在低几何研究中要用到的很重要的性曲S⊂R3x(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)∈Ω⊂x(u,vkkCk类曲面。特别地，C1定义 我们称Ck类曲面x(u,v)是正则的，如果满足以下条件x(uvCkx(uv)、y(uvz(uv具有直k阶的连续偏x(u,v)是同胚，即逆S→Ω存在且连续对于任意xu(u0v0)∈S，xu(u0v0)=∂x(u0v0)，xv(u0v0)=∂x(u0 xuxv̸=0给出曲S:x=x(u,v)上的C:u=u(t),v=或x=x[u(t), du+

=xu vdx=xudu+ ds2=dx2=(x +x

=x

+2xxdudv+xdv u u 定义2.4 我们称(2.6)式中关于微分du，dv的二次形式为曲面S的第一基本形式，用I表示：I=Edu2+2Fdudv+ E=xu·xu,F=xu·xv,G=xv· 假设曲线CA(t0)，B(t1)AB表示

∫ ∫t√ 1

du s dt= E( )2+2F +G( dt S:x=x(uv)(uv)∈Ω⊂R2决定的。给定参数(u0v0)处的方向导数¯=(uwvw)T，考虑(u0v0)的直线(uv)=(u0v0t¯在曲面上的对应曲线Cw(t)=x(u0+tuw,v0+x(u0,v0)处的方向w=∂Cw(t)t0。通过链式法则，我们可以w=J¯Jx(u0v0)J

=[x,x 雅克比矩阵非常直观地刻画了从参数域¯到曲面S2.1图 从参数域Ω的方向导数¯到曲面S上的切方向w的变换(2.8)(2.10SIJTJ¯1dudv¯2δuδv是参数域上的两个单位方向导数，则¯1¯2的夹角：θ¯=arccos(¯T¯2)=arccos(duδu+Sw1w2wTw2=(Jw1)T(Jw2)=¯TI¯ w1w2θ=

wT 1·2Eduδu+F(duδv+dvδu)+= √ Edu2+2Fdudv+ Eδu2+2Fδuδv+w1w2∥w1∥

)¯1

Edu2+2Fdudv+ ∥w2∥ )¯2 ∫∫σ dσ

|xu× D(u,v)u(xu×xv)2=x2x2−(xuxv)2=EG−F2>u ∫∫σ EG−F DS的(u0,v0)¯=(uw,vw)TS上对应的x(u0,v0)处的方向导数w，则(u0,v0)附近的圆区域被到曲面上 椭圆的两个正交轴的长度分σ1=λ1σ2=λ2，即正交σ1和σ2恰恰是雅克比矩阵J的两个奇异值。det(I−σId)=√ σ1σ2

1/2(E+G) (E−G)2+4F√ 1/2(E+G) (E−G)2+4FE、F、G图 的各向异性曲面之间定义 假设两个曲S1:x1=x1(u1, (u1,v1)∈D1⊂S2:x2=x2(u2, (u2,v2)∈D2⊂u2=u2(u1,v2=v2(u1,其中函数u2(u1,v1)，v2(u1,v1)∂(u,v

2=

̸=∂(u1,

则S1和S2之间的一一对应关系称为S1到S2的=u2=u2(u1,v2=v2(u1,使x2=x2[u2(u1,v1),v2(u1,v1)]=x2(u1,S1S2具有相同的参数(u1v1)S1S2S1x1(u1v1与S2上的点x2[u2(u1,v1),v2(u1,v1)]S1上的曲线u1=u1(t),v1=v1(t)(t0≤t≤t1)与曲面S2上的曲线x2[u2(u1(t),v1(t)),v2(u1(t),v1(t))](t0≤t≤t1)对应。因此，参数变换建立了两曲面上的点和曲线的一一对应关系。接下来定义2.6曲面S1与曲面S2之间的一个（变换）F称为等距（变换）或保长（变换如果F能够保持曲面上任意曲线长度不变。定理2.1曲面S1与曲面S2之间的一个（变换）F是等距的充要条件I1= 定义2.7曲面S1与曲面S2之间的一个（变换）F称为保角（变换F能够保持曲面上对应曲线的夹角不变。定理2.2曲面S1与曲面S2之间的一个（变换）F是保角的充要条件I2=c(u2,v2)I1,c(u2,v2)> 定义2.8曲面S1与曲面S2之间的一个（变换）F称为保面积（变换F能够保持曲面上对应区域的面积不变。定理2.3曲面S1与曲面S2之间的一个（变换）F是保面积的充要条 F1G G其中Ei，Fi，Gi分别是曲面Si(i12的第一类基定理2.4 曲面S1与曲面S2之间的一个（变换）F是等距（变换）的充要条件是F既是保角（变换）又是保面积（变换，即面的内蕴量（曲线的弧长、夹角及曲面域的面积，因此，等距是曲面间最拓扑同构于球的曲面倒球面上，除了球面本身之外的曲面均不存在等距。离散曲面上的几何论和研究定义在三角网格曲面上的各种几何。三角网格上的基本概定义 给定两个拓扑同胚的三角网格曲面M1和M2，则原象M1和M2之间的对应关系称为M1到M2的特别地，三角网格的参数化是一种特殊的，即从参数域D到三角网格曲面M的一一。定理 给定两个拓扑同胚的三角网格曲面M1和M2，M1到M2的定理 给定两个拓扑同胚的三角网格曲面M1和M2，M1到M2的FM2上的每个三角形定向一致（无翻转三角形定理 给定两个拓扑同胚的三角网格曲面M1和M2，M1到M2的FM1M2在几何的应用中，的局部单射性质和全局双射性质是该问题求解向排列（无翻转出现，因为的雅克比矩阵是局部定义的，因此，局部l数化及平面网格形变的求解过程中，大部分科研成果都是利用雅克比矩阵考虑（）素图2.3展示了三角网格曲面上不类型的几何。 （A）全局双 （B）局部单 （C）局部翻图 （MetricDistortion。这些几何度量一般是通过几何前后两个曲面上对应元素的面积、角度和长度来描述。因此，对于两个拓扑同胚的三角网格曲面M1和M2，我们除了要求M1到M2的F是局部单射或者全局双射，还需要极小化该的。例如，图2.4中展示了极小化不同的下的网格变形结果。(A)展示了变形要求，其中红色的点代表固定不动，绿色的点代表被强制移动至箭头方向；(B)和(C)分别是满足以上位置约束的角度极小和长度极小（A）网格变形 （B）角度极图 极小化不同下的网格变形三角网格上

（C）长 在数字几何处理的很多应用中，要求的量越低越好，例如纹理映射，曲面对应等。因此，三角网格曲面上质量的好坏主要取决于的大 假设原始三角网格曲面M1上的三角形Ti经过f的作用变为三角网格曲面M2上的τi，即f(Ti)=fJf=[fu,fv]。特别地，如fM1JfTi2.1.2节对雅克比矩阵各向异性的介绍可知，对Jf做奇异值分解（SVD）可得 Jf=UΣVT= VT UV分别是R3×3R2×2的正交矩阵，且对应的列向量分别U1，U2，U3V1，V2。考虑三Ti上的任(uv附近处的圆域经过f的作用变为椭圆区域，式子(2.15)恰恰刻画了f的作用过程，其分解成三步来介绍，具体分解2.5。图 f的奇异值分解[147]VT旋转(uvu-v-V1V2Σu-v-σ1σ1，此时圆域变成了椭圆U(u,v)V1V2U1U2f是保角当且仅当σ1=f是保面积当且仅当σ1σ2=f是保长度当且仅当σ1=σ2=1 不同的问题中。为了方便描述，我们用σ1和σ2表示f的最大奇异值和最小奇异值。基于优化的目标不同，能量函数可分为如下3类。调和E(σ, 1σ2+ 2)=2( 往往边界对应已经引入了非常大的，即使Dirichlet能量达到了极小值，但是并性质（σ2可能取到0。保角保角作为一种特殊的调和[147]，主要有几种能量表达形式。其中MIPS能量E(σ,σ)=σ1+σ2 σ1=σ2时，EM(σ1,σ2)2σ2→0时，EM→∞，因此，该能一种保角能量LSCM（LeastSquaresConformalMaps[30;1481ELSCM(σ1,σ2) 2固定边界上两个点，LSCM即可通过求解一个线性系统得到。但是并不能排除σ1=σ2=0情形的出现，即并不能保证得到保角局部单射。此外，该能量的优保长tiontensor[5]定义的EG(σ,σ)=(σ2−1)2+(σ2− 以及后来类似格林-拉格朗日变形量的、被称作AR EARAP(σ1,σ2)=(σ1−1)2+(σ2− 以上两种能量形式均能在σ1σ2=1时取得最优值0，但是并不能避免σ2=0，即不能保证局部单射性质。为了避免三角形的出现（σ1→∞），L∞拉伸能量和L2拉伸能量应运而生[149]EL∞=EL

(σ2+1

为了保证的有界性，对称的L∞拉伸能量被定义Esym=max{σ1, σ1σ20这两种情形，保证了局部单射性质，但类似于MIPS能量的定义，保长度的能量被定义为Eisometric(σ1,σ2)=σ2+σ2+σ−2+ σ1=σ2=1时，Eisometric2σ1σ2→0这两种情形，保证了局部单射性质。为了保证全局双射性质，采用惩罚边界自交的技术[151]，进而保证最后得到的的全局双射性质。为了衡量和比较的，我们一般定义三角形τ上的以下三种类型：角或

(τ)=

+σ2,τ

(τ)=σ1,τ σ面σ

Darea(τ)=σ1,τσ2,τ

σ1,τ或1长度（刚性

Darea(τ)=max{σ1,τσ2,τ,

1σDiso(τ)=max{σ1,τσ或

Diso(τ)=(σ1,τ−1)2+(σ2,τ− 其中σ1,τ和σ2,τ分别是f在三角形τ上的雅克比矩阵Jf的最大奇异值和最 平

DDDD

∑ ωτDangle(τ ωτDarea(τ

ωτDiso(τ∑其中，三角形τ的权重ωτ=Aτ τ∈MAτ，Aτ是指三角形τ的面积最DD

=maxDangle(τDmax=maxDarea(τ Dmax=maxDiso(τ标准

DD

√ 1

angle(τ)−D

Darea

(Darea(τ)−Davg τDdev

(τ)−

nτM本章小三角网格曲面上几何不同形式的的定义。第3 本章我们了一种尽可能保刚性的球面参数化方法，该方法是平面域上尽可能保刚性的参数化方法在球面域上的推广。对于亏格为0的封闭三角网格，我射到该球面上。我们首先分析了二维及三连续和离散的AR-Rigid-引网格参数化是数字几何处理领域非常基础且非常重要的一项技术，在计算机图学域有广的用比纹理及理细迁、格补域和三网曲之间一。据数的不，格数化要为平0极小化不同几何的球面参数化的研究已经很多，包括保角度的球面参数化[35;36;88–90;106–108;110–112]、保长度的球面参数化[33;90–94;98;99]。其中，保长度的球面参化一般是通过优化保角度能量和保面积能量的。此外，基于曲面流的方法也被广泛地应用于球面参数化。Kazhdan等人[152]修改了传统的平均曲率流，0本章内容主要来自于WangCLiuZLiuL.：As-rigid-as-possiblesphericalparametrization.中的一部的Ricci能量的严格非凸性质，该能量的优化只能收敛到局部的最优解[155]Chen等人[156Ricci能量并提出了一个求解球面参数化及曲面问题的有效算法。类似平面参数化方法，考虑曲面网格上每个三角形的刚性性质，直接将亏格为0的封闭三角网格曲面到球面网格上不失为一种有效的思路。在本章中，我们推广平面上尽可能保刚性的参数化方法[125]至球面域，即尽可能保刚性地将亏格为0的封闭三角网格曲面的每个三角形到一个最优半径的球即迭代更新球面半径和球面顶点位置。实验结果表明，与现有的球面参数化算法[35;89;94;111]相比，我们的算法可以给出最低的平均刚性（长度）预备知ARAP能ARAP能量在数字几何处理中有着非常广泛的应用，包括网格编辑[41]、网格形变[157;158]、仿真[126]以及平面参数化[125;159]等。该能量度量了函数的一为网格参数化和网格形变提供了重要的准则。Chao等人[126]分析了ARAP能量与传统方阵中的弹的关系， 了二维和 中ARAP能量在网格形变和参数化中的应用。Sorkine等人[41]在网格形变中利用该则去保持顶点一邻域的局部细节。在网格插值[157;158]问题 形状和目标形状，因此该准则同样起着重要的作用。Liu等人[125]利用该准则处理拓扑同构圆盘网格的平面参数化，尽可能保刚性地将每个三角形参数化到平面上。MylesZorin[159推广了该思想到多亏格曲面上无缝的全局保刚性的平面参数ARAP能量去优化的一阶微商和旋转矩阵之间的距离，实现了全局的尽可能保刚性的无缝参数化。接下来，给出ARAP能量的连续变分表达形式及二维和三维情形对应的离散表达形式。考虑连续f:M→N，f(v)=u描述了参考曲面M⊂Rn到变形曲N⊂Rn的一一对应关系。同样地，微分向量dv被到变形函数的一阶微df，因此我们得到以下能量∫E(f)=

d−R| M式子(3.1)描述的能量度量了一阶微商dfR之间的距离，即刻画了函数f到底有多接近全等。E(f)fdδgEf=dϵ0E(+ϵg)=∫δgEf

<dg−δg,df−R

<dg,df−R 其中，<AB>=tr(ATB)是指AB的内积算子R∈SO(n)使得E(f)取得最优值且不依赖于变量df。上式的推导基于这样的假设，即E(f)仅仅关于f的函数，因此(df−R)⊥在实际计算中，旋转矩阵R是依赖于连续f的，即R=R(f)，上式中Euler-Lagrange方程δgEf=0便转化成了下列非线性的Poisson方程：∆f=divR(f R3空间的二维流形的单纯复形和三维假设二维流形的单MVEF)，其V={vii=0Nv1}、E{ell0Ne1}、F{τjj0Nτ1分别是三角网M的顶点 τ可以表达xτ{x0x1x2}，对应的参数化网格曲面的三角形 uτ={u0u1 在二维情形，式子(3.1)对应的离散表达式恰恰是分片线性的Dirichlet能 E(f)=1∑∑cot(θi)∥(ui−ui+1)−R(xi−12, 4 4τ=1

其中θi是三角形xτ(xixi+1的对角，这里的ii3后的值 δE(f)

1{

[cot(θ)+cot(θ)](u−u ∑

[cot(θij)Rτ(i,j)+cot(θji)Rτ(j,i)](xi− xiuii的坐标，τ(i,j)图 (i,j)θij(i,j)3.1所示。该式子中的第一项表示Laplace-Beltramiuii的一邻域三角ui的面积梯度和。由式子(3.3)i的 TuT={u0u1u2u3}

E(f)= T=1 ∥xT−xT∥∥(uT−uT)−RT(xT−xT)∥{kl={0123ij}，θi,j是四xT(xi,Txj)T对应的二面角。ui(3.2)M上的离散δE(f)= {(w+w)(u−u)−(w +w )(x−x

T T 尽可能保刚性的平面参数化方这里主要介绍尽可能保刚性的平面参数化方法[125]从局部到整体的思想。具体来说，第一步是将三角网格曲面M上的每个三角形τ全等 到一个局部的平面坐标系，该步骤一般称为局部摊平过程，如图3.2中(a)到(b)中红色标记的三角形，该过程 假设三角形τ在局部坐标系下的三个顶点坐标分别为{p0,p1, R2i012，对应的初始参数化坐标分别为{q0q1q2}，qi∈R2i=0 (2.10τJτ，也可以通过下列协方差矩阵[41]得到： Jτ(q) cot(θi)(qi−q1− 图 尽可能保刚性的平面参数化方法为了方便研究Jτ的，我们假设Lτ∗是满足与Jτ在某种意义下距离最近Lτ∗=argmin{Lτ|d(Lτ,Jτ Fd(Lτ,Jτ)=∥Lτ−JτFLτJτ 图 不同意义下的Lτ图3.3展示了不同意义下的。其中，(a)和(b)中的黑色三角形分别LτLτ作用下的三角形及保刚性变换Lτ作用下的三角形。3.2(c)。基于第3.2.1节对ARAP能量的介绍，我们不难想到，在三角网格曲面M上极小化ARAP能量(3.4即可，即求解线性系统δiE(f0，i12Nv。δiE(u)的定义见公式(3.5)，这里不再一一叙述。尽可能保刚性的球面参数的球面参数化结果，如图3.4所示。图3.4 三角形至合适半径上；(右)尽可能保刚性的球面参数化结果。基于三维ARAP能量的球面参数化模v 摊平三维原始网格曲面上的每个三角形至“合适”的球面上且不考虑任何图3.4中（中所。们记摊ττ={0,1,2τ定摊平的径，将摊的三角格曲面缝一个保持向一致图3.4中的右所示显，部分格在缝合的过程中发生了很大的形变。本章中，我们要求每个三角形做球面上可能保刚性的球面半径。综上所述，我们的目的是寻找从原始网格到分片线性的三维球面网格的尽可能保刚性的，并记该三维球面网格坐标集合为f(u={0,1,N−1}，ui∈3，i=,,vv τ，我们记它对应的球面参数化坐f(xτuτ{u0u1 τ的摊平的三角网格坐标xτ和对应的参数化坐标uτ，并不能找到一个唯一的3的雅克比矩阵（dfO={000}，使得每个三角形构成对应的四面体，此时该原始网格曲面变xτxT={xτO {xτxτxτO}，三角形uτ对应着四uT={uτO}={uτuτuτO}3.6所示。利用辅助顶点，我们可以很容易地计算出xT和uT之间的fτ，并且计算这两个四面体之间的常数3×3雅克比矩阵。TuTminE(uT,RT,r)=

FVT∥J(uT)−RT∥2FT

Ts.t.∥ui∥2=r2,i=0,1,TVT是四面体T的体积，J(uTxTuT33的雅克比矩阵，r是uTRTRτARAP能(3.6)(3.10)中的能量函数重写成关于球面参数化坐标u和摊平网格坐标x的形式：E(u,R,Nτ1=

ii

i+112

)∥

—O∥∥(uτ−u

τ(xτ−xτ+c(βo)−2(u−O)−Rτ(xi− 1∑=

(xi−1)12τ=1

)− +o(βo−+2∥∥−R 其中αi,i+1是边(xixi+1)的对角，βi,o是边(xiO)的对角。注意到约束 从局部到整体的球面参数化方为了避免直接优化非线性约束问题，我们采用两步迭代的算法将球面参数ur(3.1)uR巧妙地分离开来。保刚性的球面参数化结果，如图3.5所示。3.5Cube模型为例，给定一个有效的球面度）（各个的定义见第2.2.2节中等式(2.26)、等式(2.24)及等式(2.29)），rrr固定时，我们采用局部/u用奇异值分解（SVD分解）计算出每个四面体的最优旋转矩阵（RTRτ到球面参数化坐标u。]阵。与此不同的是，我们这里通过求解xTuT之间的最优旋转矩阵RTxτuτRτ=RT，如图3.6所示。由式图 ∑Ex

其中{kl{0123ij}，θi,j是边(xixj)在摊平四面体xT中的 wˆ∥e′−RT2

5∑Sx

e′T=UxDxVT ii U。则最优旋转矩阵RT= U。RTxT上，得到的三角网格可3.4（中）所示。因此，我们需要通过全局求解将所有的三角形缝一个拓扑关系正确的有效参数化结果。rRT(3.11)E(uR1[∑E(u,R,r) w∥u—

x

+

wij∥(ui−uj)−

(xi−xj)∥2点i的坐标T(i,j)是含有半边(i,j)的四面体；wij和wio分别是边((ij)和(io))对应的权重；vei的邻域数量;Tve(i,O)所有四面体；RTveTve对应的旋转矩阵；Nve是集合ve所含元素的个数，如图3.7所示。矩阵群R固定时，仅需要式子(3.7)中的一阶变分满足δiE(u)=图 顶点i的一邻域四面体及二面 (wij+wji)(ui−uj) wioui ∑(wijRT(i,j)+wjiRT(j,i))(xi

wioRTve(k)半径为r的球面上。r在这里，我们一下如何寻找到最优的球面半径r。正如前面提到的，球面半径r的选择非常重要，因为它直接影响到球面参数化的刚性（长度）。尽量保持三角形的面积。为此，我们设置初始的球面半径r0为：ττr0Aττ的面积。在迭代的过程中，并不能保证三角形的面积始终等 Sk+1

rkrk步迭代的值，Skk步迭代投影之前参数化曲面的面积。 输入:0M={VEF输出:第一步}第二步实验结我们在四核（2.16GHz）2GB内存的微机上使用实现了上述SVD分解算法（矩阵的极分解）求解局部最优旋转矩阵，全局求解采用自带的稀疏矩阵求解来得到缝合的参了提高算法的效率，固定一个球面半径rCholesky矩阵分解。 。我们首先将原始网格曲面和参数化曲面的每个三角形τ分别摊平到同一个平面上，然后计算它们之间的雅克比矩阵Jτ的奇异值σ1和σ2，且σ1>σ2，并利用第二章中定义的角度、面积及刚性（长度）,分别见式子(2.24)、(2.26)及Conformal参数化[35]、Harmonic参数化[111]、Convex参数化[89Hierarchical参数化[94]。为了方便比较，我们归一数化[89]、Harmonic参数化[111]Conformal参数化[35]结果均缩放至我们优化的球面半径大小，结果见图3.83.9。3.8Max-Planck模型的球面参数化结果。(a)Harmonic参数化结果[111]；(b)Conformal参数化结果[35]；(c)Hierarchical参数化结果[94]；(d)我们的结果。括号中的数据分别代3.9ARAP球面参数化在不同模型上的表现。括号中的数据分别代表平均面积、平均角度和平均刚性（长度），r是我们计算得到的最优半径。参数化[111]方法不能保持角度和面积 ；ofmal参化结3]方直优角度即具较的均角度，是面积损较大因此均刚（长度也大；irrhil参数化结果[94]虽然同时考虑了角度和面积，但是从结果上看，他们的结果具有更好的保面积性质，因此，特征区域的三角形变得狭长，从而损失了大量从度（长度）表 -/-/-/-/-/表3.2 /////相比于Conformal方法[35]，我们的平均角 除此之外，我们也计算了情形的刚性（长度），见表3.2算法分不同初始参数化的球面参数由第3.3.2节的介绍可知，我们的算法需要一个有效的球面参数化结果作为Conformal方法[35]Harmonic方法[111]。给定不同的初始球面参数化结果，我们即好的初始参数化能够使算法很快地收敛到最优值。表3.3统计了不同初始参数表3.3 模型统计及算法表现。v代表顶点数量，f代表三角形数量，Radius代表最优半径及Time(s)代表运行时间（以秒为单位。我们使用不同的初始值，包括Convex参数化[89],Harmonic参数化[111]及Conformal参数化[35]，及不同初值下的运行时（秒 Radius Max-Planck// // // // // //// ////不同分辨率网格的球面参数会千差万别？为此，我们测试了我们的方法对不同分辨率网格的敏感性。图3.11Skull模型为例，展示了不同分辨率下我们算法的结果。其中，(a)3.10ARAP球面参数化的表现。(a)Convex参数化[89](b)Harmonic参数化[111为初始值；(c)Conformal参数化[35]为初始值。括号中的数据分别代表平均面积、平均角度及平均刚性（长度），r代表最优球面的网格数据具有明显的各向异性，(b)中的网格数据较为均匀。从实验数据可知，对于不同分辨率的亏格为0的网格曲面，我们的方法返回的值相差并不大。算法的收能量的优化得到的。为了证明我们两步迭代算法的有效性和收敛性，我们绘制了图3.9中各模型的ARAP能量曲线，见图3.12。从各条能量曲线可以看复杂几何网格的球面参数图3.11 不同分辨率网格上ARAP球面参数化的表现。(a)各向异性的Skull模型及它的ARAP球面参数化结果；(b)各向同性的Skull模型及它的ARAP球面参数化结果。括号中的数据分别代表平均面积、平均角度及平均刚性（长度），r代表最优（长度）来保证该区域参数化的有效性。具体来说，对于我们的方法输出使用调和能量[111]来重新优化该翻转或折叠区域的顶点位置，直到没有翻转三角改变了特征区域的值，因此，其他区域仍然较好地保持了刚性（长度）。本章中除了图3.13BunnyHand模型之外，其他模型的球面参数化图 图3.9中各模型的三维ARAP能量曲本章小针对亏格为0的封闭三角网格曲面的低球面参数化问题，本章提出了ARAP能量，从而找到三角网格曲面的每个三步，我们根据当前计算的球面参数化坐标，更新球面半径使得该球面逐渐的球面参数化方法相比，我们的结果具有最低的平均刚性（长度）。ARAP能量，并不能保证球面参图3.13 复杂几何网格的ARAP球面参数