数学中考冲刺专题九圆练习VIP

专题九圆--数学中考冲刺一．选择题（共23小题）1．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（）A．80° B．100° C．120° D．140°2．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，AB＝，则⊙O的半径OA的长是（）A． B．2 C． D．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°4．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+ B．2+ C．4 D．2+25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10 B．8 C．6 D．46．如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（）A．50° B．48° C．45° D．36°7．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（）A．2 B．3 C．1 D．2.58．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝6，半径长为的⊙O与边AB，BC相切，切点分别为D，E，若⊙O向右平移t个单位长度后与边AC相切，则t的值是（）A． B．+1 C．2 D．+29．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，则△AMN的周长为（）A． B．8 C． D．1210．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为，若BC＝6，则∠A的度数为（）A．120° B．135° C．150° D．160°11．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），若⊙P经过原点，那么点（5，0）与⊙P的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定12．已知⊙O的直径为6，点A到圆心O的距离为d，且点A在⊙O的外部，则（）A．d≥6 B．d≥3 C．d＞6 D．d＞313．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．414．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2： B．： C．： D．：215．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：16．半径为R的圆内接正三角形的面积是（）A．R2 B．πR2 C．R2 D．R217．如图，正五边形ABCDE和等边△AFG内接于⊙O，则∠FGC的度数是（）A．10° B．12° C．15° D．20°18．如图，将△ABC绕点O连续旋转5次，得到内外都是正六边形的图形，旋转后得到的△BDE的顶点D在BC上．若CD＝2BD，则的值是（）A．2 B． C． D．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣320．如图，O是弧AD所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（）A．AC＝2CD B．∠AOC＝2∠COD C．S扇形AOC＝2S扇形COD D．＝221．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，弦CD＝2，则劣弧的长为（）A． B． C．π D．2π22．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）A．8cm B．6cm C．3cm D．4cm23．如图，点C，点D，点E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为，则AB的长为（）A． B．2 C．4 D．二．填空题（共12小题）24．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．25．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝5，EF＝4，那么AD＝．26．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝；（2）AC的最大值＝．27．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为．28．如图，⊙O的直径AB＝4cm，PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点，弦CD∥AB，AD∥CP，则PB＝cm．29．△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，则OI＝．30．如图，在正六边形ABCDEF内取一点O，作⊙O与边DE，EF相切，并经过点B，已知⊙O的半经为，则正六边形的边长为．31．如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为°．32．如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，OA＝OB＝2，则正八边形的面积为．33．如图，矩形ABCD中，AB＝1，∠BAD的平分线交BC于点O，以O为圆心，OA为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为．34．一个扇形的弧长是12π，圆心角是135°，则此扇形的半径是．35．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为．三．解答题（共6小题）36．如图1，AB为⊙O直径，BD与⊙O相切于点D，AD交⊙O于点C，点E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）如图2，连接AE，若AC＝4CD，DE＝2，求AE的长．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝12，DE＝10，求⊙O的直径．38．如图，PA与⊙O相切于点A，AB是直径，点C在⊙O上，连接CB，CP，2∠B+∠P＝180°．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）过O作OD∥PC，交AP于点D，若AB＝8，∠AOD＝30°．求由线段PA，PC及弧AC所围成阴影部分的面积．39．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．40．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，CD交AB于点G，∠ABD＝2∠BDG，M为AC上的点，过点M的弦DN⊥AB于点H．过点C的切线交DB的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE⊥CF．（2）当BF＝5，BD＝3BE时，求MN的长．41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．

参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】根据三角形的外角性质求出∠D，根据圆周角定理得出∠D＝COB，求出∠COB＝2∠D，再代入求出答案即可．【解答】解：∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°，∴∠D＝∠AED﹣∠ABD＝80°﹣20°＝60°，∴∠COB＝2∠D＝120°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角性质，圆周角定理等知识点，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．2．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，AB＝，则⊙O的半径OA的长是（）A． B．2 C． D．3【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，再求出OA即可．【解答】解：根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵AB＝2，OA＝OB，∴2OA2＝AB2，∴OA＝OB＝2，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，能求出△AOB是直角三角形是解此题的关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】连接OA、OB、OD，OC，求出＝＝，求出∠AOB＝∠AOD＝∠DOC，根据圆周角定理求出∠BOC，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出即可．【解答】解：连接OA、OB、OD，OC，∵∠BDC＝60°，∴∠BOC＝2∠BDC＝120°，∵AB＝DC，∴∠AOB＝∠DOC，∵A为的中点，∴＝，∴∠AOB＝∠AOD，∴∠AOB＝∠AOD＝∠DOC＝×（360°﹣∠BOC）＝80°，∴∠ADB＝AOB＝40°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出∠AOB＝∠DOC＝∠AOD是解此题的关键．4．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+ B．2+ C．4 D．2+2【分析】连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，PA＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．【解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】由题知，AC为直径，得OD∥BC，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．【解答】解：由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A．【点评】本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（）A．50° B．48° C．45° D．36°【分析】连接AD，根据切线的性质得到AD⊥BC，根据垂直的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到∠B＝30°，根据三角形的内角和定理得到∠GAD＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝∠ADE＝72°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝6，AG＝AD＝3，∴AD＝AB，∴∠B＝30°，∴∠GAD＝60°，∵∠CDE＝18°，∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°，∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（）A．2 B．3 C．1 D．2.5【分析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，由AB2＝AC2+BC2，证得∠C＝90°，即可证得OE∥BC，进一步证得E是AC的中点，即可得到AE＝4，根据勾股定理求得半径，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出OC＝5，即可求得CD＝OC﹣OD＝2．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OE∥BC，∵AO＝OB，∴AE＝EC＝AC＝4，∵OA＝AB＝5，∴OE＝BC＝3，∴OD＝3，在Rt△ABC中，OC是斜边AB上的中线，∴OC＝AB＝5，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故选：A．【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是求得CO和半径OD的长，属于中考常考题型．8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝6，半径长为的⊙O与边AB，BC相切，切点分别为D，E，若⊙O向右平移t个单位长度后与边AC相切，则t的值是（）A． B．+1 C．2 D．+2【分析】当⊙O移动到图中位置时，⊙O与AC相切于点H，与BC的延长线相切于点E′，连接O′C，由三角函数关系，切线的性质、矩形的判定与性质可得O′O＝E′E，然后由全等三角形的判定与性质得∠O′CE′＝60°，再次解直角三角形即可得到答案．【解答】解：如图，当⊙O移动到图中位置时，⊙O与AC相切于点H，与BC的延长线相切于点E′，连接O′C，′∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴BC＝＝＝2，∵OD⊥AB，OE⊥BC，AB⊥BC，OD＝OE，∴四边形OBDE是矩形，∴OD＝BE，∵OE′⊥BC，OE＝O′E′，∴四边形O′OEE′是矩形，∴O′O＝E′E，在Rt△O′HC和Rt△O′E′C中，，∴Rt△O′HC≌Rt△O′E′C（HL），∴∠O′CE′＝′O′HC，∵∠ACE′＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠O′CE′＝60°，∴CE′＝＝＝1，∴EC＝BC﹣BE＝，∴EE′＝EC+CE′＝+1，∴O′O＝E′E＝，即t＝+1，故选：B．【点评】此题考查的是圆的有关性质、直角三角形的性质及平移的性质，作出正确图形，并能够作出辅助线是解决此题的关键．9．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，则△AMN的周长为（）A． B．8 C． D．12【分析】先证明Rt△ABO≌Rt△ACO，得到∠BAO＝30°，从而得到OA的值，再利用切线的性质得到OB⊥AB，则利用勾股定理可计算出AB的长，再根据切线长定理得到AB＝AC，MB＝MP，NC＝NP，然后利用等线段代换得到△AMN的周长＝2AB．【解答】解：∵AB，AC分别与⊙O切于点B，C，∴AB＝AC，OB⊥AB，在Rt△ABO和Rt△ACO中，，∴Rt△ABO≌Rt△ACO（HL），∴∠BAO＝∠CAO＝＝30°，∴AO＝2BO＝8，在Rt△AOB中，AB＝＝＝4，∵MN与⊙O相切于P，∴MB＝MP，NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MP+NP+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB＝2×4＝8．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为，若BC＝6，则∠A的度数为（）A．120° B．135° C．150° D．160°【分析】连接OB和OC，证明△OBC为直角三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【解答】解：连接OB和OC，∵OB＝OC＝，BC＝6，∴OB2+OC2＝BC2，∴△OBC为直角三角形，∠BOC＝90°，∴∠A＝（360°﹣90°）＝135°，故选：B．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是正确的作出辅助线．11．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，4），若⊙P经过原点，那么点（5，0）与⊙P的位置关系是（）A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定【分析】先由⊙P经过原点和点P的坐标求得⊙P的半径，然后求得点（5，0）与点P之间的距离判断点与圆的位置关系．【解答】解：∵⊙P经过原点，且P（3，4），∴圆的半径r＝OP＝5，∵点（5，0）到点P的距离为＝2＜5，∴点（5，0）在⊙P内，故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，坐标系中点之间的距离公式，解题的关键是熟知两点间的距离公式．12．已知⊙O的直径为6，点A到圆心O的距离为d，且点A在⊙O的外部，则（）A．d≥6 B．d≥3 C．d＞6 D．d＞3【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．【解答】解：∵⊙O直径为6，∴圆O的半径为3，∵点A在圆O的外部，∴点A到圆心O的距离d的范围是：d＞3．故选：D．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．13．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．4【分析】连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，证出△COB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC＝＝．∵∠OCN＝30°，∴ON＝OC＝，CN＝2，∴CE＝2CN＝4，∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，故选：D．【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC是解决问题的关键．14．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2： B．： C．： D．：2【分析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH＝BH＝AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH＝BH＝AB，得出AD＝OA，AH＝OA，则AB＝2AH＝OA，进而得出答案．【解答】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．15．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．【解答】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝1，∵∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝1，由勾股定理得：OD＝＝，∴扇形的面积是＝π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC＝90°，MB＝MC，∴∠MCB＝∠MBC＝45°，∵BC＝1，∴MC＝MB＝，∴⊙M的面积是π×（）2＝π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）＝．故选：A．【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．16．半径为R的圆内接正三角形的面积是（）A．R2 B．πR2 C．R2 D．R2【分析】根据题意画出图形，先求出正三角形的中心角及边心距，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：如图所示，过O作OD⊥BC于D；∵此三角形是正三角形，∴∠BOC＝＝120°．∵OB＝OC，∴∠BOD＝×120°＝60°，∴∠OBD＝30°；∵OB＝R，∴OD＝，BD＝OB•cos30°＝，∴BC＝2BD＝2×＝，∴S△BOC＝×BC×OD＝×＝，∴S△ABC＝3×＝R2．故选：D．【点评】本题考查圆的内接正三角形的性质及等边三角形的面积的计算．规律与趋势：圆的内接正三角形的计算是圆中的基本计算，正三角形的相关性质则是解决这类问题的关键．其中，已知边长求面积，已知高求面积等都是常见的计算．17．如图，正五边形ABCDE和等边△AFG内接于⊙O，则∠FGC的度数是（）A．10° B．12° C．15° D．20°【分析】连接CE，由正五边形的性质和内角和定理得∠AED＝∠CDE＝108°，DE＝CD，再由等腰三角形的性质得∠DCE＝∠DEC＝36°，则∠AEC＝72°，然后由圆周角定理得∠AGC＝∠AEC＝72°，进而由等边三角形的性质得∠AGF＝60°，即可求解．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED＝∠CDE＝＝108°，DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝×（180°﹣∠CDE）＝36°，∴∠AEC＝∠AED﹣∠DEC＝108°﹣36°＝72°，由圆周角定理得：∠AGC＝∠AEC＝72°，∵△AFG是等边三角形，∴∠AGF＝60°，∴∠FGC＝∠AGC﹣∠AGF＝72°﹣60°＝12°，故选：B．【点评】本题考查了正五边形和圆、等腰三角形的性质、圆周角定理以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握正多边形的性质和圆周角定理是解题的关键．18．如图，将△ABC绕点O连续旋转5次，得到内外都是正六边形的图形，旋转后得到的△BDE的顶点D在BC上．若CD＝2BD，则的值是（）A．2 B． C． D．【分析】根据正六边形的性质得到∠MCD＝120°，求得∠ACD＝60°，设BD＝AC＝x，则CD＝2x，过A作AH⊥BC于H，根据勾股定理得到AB＝＝＝x，根据相似多边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵多边形CDGIKM是正六边形，∴∠MCD＝120°，∴∠ACD＝60°，∵CD＝2BD，∴设BD＝AC＝x，则CD＝2x，过A作AH⊥BC于H，∴∠AHC＝90°，∴CH＝AC＝x，AH＝x，∴BH＝BC﹣CH＝x，∴AB＝＝＝x，∵将△ABC绕点O连续旋转5次，得到内外都是正六边形的图形，∴外六边形∽内六边形，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，相似多边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3【分析】连接AD，OE，先通过直径所对是圆周角是直角，证出∠CDF＝∠DAC，从而得出∠BAC＝2∠DAC＝30°，再通过S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE计算即可．【解答】解：连接AD，OE，作OH⊥AE于H，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，在Rt△AOH中，OA＝2，∴OH＝×OA＝，AH＝cos30°×OA＝3，∴AE＝2AH＝6，∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝−×6×＝4π﹣3．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键．20．如图，O是弧AD所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（）A．AC＝2CD B．∠AOC＝2∠COD C．S扇形AOC＝2S扇形COD D．＝2【分析】利用弧，圆心角，弦之间的关系，扇形的面积一一判断即可．【解答】解：∵点B、C将弧AD三等分，∴＝＝，∴＝2，∴∠AOC＝2∠COD，∴S扇形AOC＝2S扇形COD，故选项B，C，D正确，故选：A．【点评】本题考查弧，圆心角，弦之间的关系，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，弦CD＝2，则劣弧的长为（）A． B． C．π D．2π【分析】连接OC，OD，证明∠COD＝90°，可得结论．【解答】解：连接OC，OD．∵OC＝ODD＝2，CD＝2，∴OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∴的长＝＝π，故选：C．【点评】本题考查弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明∠COD＝90°．22．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）A．8cm B．6cm C．3cm D．4cm【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr＝8π，解得r＝4，然后利用勾股定理计算这个的圆锥的高．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝8π，解得r＝4，所以这个的圆锥的高＝＝3（cm）．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．23．如图，点C，点D，点E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为，则AB的长为（）A． B．2 C．4 D．【分析】根据所给的图形结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出S阴影＝S△ADC+S△BCE，设AD＝a，构建方程，可得结论．【解答】解：设AD＝a，由题意，∠ACB＝90°，∠ACD＝30°，∠BCE＝60°，∴∠DCE＝180°，∴D、C、E三点共线，点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，∴对的圆心角为＝60°，∴∠ABC＝30°，同法可得∠ACD＝∠CBE＝30°，∴AC＝2a，AB＝4a，BC＝2a，CD＝a，EC＝a，BE＝3a，∵四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．∴S阴影＝S梯形ABED+（AD2+CD2+CE2+BE2）﹣S△ABC﹣（AC2+BC2），＝S△ADC+S△BCE＝，∴×a×a+×a×3a＝，解得a＝（负根已经舍去），∴AB＝4a＝2．故选：A．【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解．二．填空题（共12小题）24．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为2．【分析】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到AD＝，从而得解．【解答】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CD⊥OA，∴FD平分∠AFO，AB平分∠FAO，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，∴AD＝，∴AO＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理和等边三角形的性质，解题的关键是证明△CBE是等边三角形．25．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝5，EF＝4，那么AD＝1.5．【分析】过O作OM⊥EF于M，连接OE，根据矩形的判定得出四边形AOMD是矩形，求出AD＝OM，根据垂径定理求出EM，求出OE＝2.5，根据勾股定理求出OM即可．【解答】解：过O作OM⊥EF于M，连接OE，则∠OMD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴四边形AOMD是矩形，∴OM＝AD，∵OM⊥EF，OM过圆心O，EF＝4，∴EM＝FM＝2，∵OG＝OB，BG＝5，∴OB＝OG＝2.5＝OE，在Rt△OME中，由勾股定理得：OM＝＝＝1.5，∴AD＝OM＝1.5，故答案为：1.5．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理和勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．26．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝4；（2）AC的最大值＝2+2．【分析】（1）作BH⊥AC，根据△BAC∽△BPA，求出BC＝4，再证明H和C重合即可得到答案；（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长，再计算求解．【解答】解：如图1，作BH⊥AC，∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠P，∴△BAC∽△BPA，∴，∴BA2＝BC•BP，∵AC是△ABP的中线，∴BP＝2BC，∴，∴BC＝4，在Rt△ABH中，∠BAC＝45°，AB＝4，∴BH＝4，又∵BC＝4，∴点H和点C重合，∴AC＝AH＝4．故答案为4．（2）如图2，∵点P的运动轨迹是圆，∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，∴当AC'经过圆心O'时最大．∵∠P＝45°，∴∠AOB＝90°，又∵AO＝4，OO'＝2，∴AO'＝2，∵O'C'＝2，∴AC'＝2+2，∴AC的最大值为2+2．故答案为2+2．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和圆中最值问题，解题的关键是，确定AC最大时点C的位置．27．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为2；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为或10+6．【分析】⊙O与AD相切于点D，此时OD＝OC，∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，所以∠ODF＝30°，∠FOD＝60°，则∠OFD＝90°，在Rt△CDF中根据勾股定理列方程即可求出OC的长为2，即此时圆的半径为2；⊙O与BC相切于点C，则OC＝OD＝CD＝，此时圆的半径为；⊙O与AD相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r，则OG＝OD＝r，作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CH＝CD＝，可推导出DL＝2﹣r，OL＝AG＝4﹣r，在Rt△DOL中根据勾股定理列方程求出r的值即可．【解答】解：如图，⊙O与AD相切，连接OD，连接CO并延长CO交BD于点F，∵点O到AD的距离等于⊙O的半径，且OD是⊙O的半径，∴OD就是点O到AD的距离，∴AD⊥OD，∴∠ODA＝90°，∵AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°，∴∠OFD＝90°，∴OF＝OD＝OC，DF＝OD•sin60°＝OD＝OC，∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2，∴（OC）2+（OC+OC）2＝（2）2，∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为2；如图，点O在CD边上，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥OC，∴⊙O与BC相切于点C，∵AD＝CD＝2，∴OC＝OD＝CD＝×2＝，∴⊙O的半径为．如图，⊙O与AD相切于点G，连接OG、OD，OC，作OL⊥AD于点L，设⊙O的半径为r，∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°，∴四边形OGAL是矩形，∴AL＝OG＝OD＝OC＝r，∴DL＝2﹣r，作OH⊥CD于点H，交AB于点K，作KM⊥BC于点M，则DH＝CH＝CD＝，∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°，∴四边形MKHC是矩形，∴KM＝CH＝，∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°，∴＝sin∠KBM＝sin60°＝，∴，∴BK＝2，∵KH∥BC，∴∠OKG＝∠ABC＝60°，∵∠OGK＝90°，∴＝tan∠OKG＝tan60°＝，∴KG＝OG＝r，∴OL＝AG＝6﹣2﹣r＝4﹣r，∵∠OLD＝90°，∴OL2+DL2＝OD2，∴（4﹣r）2+（2﹣r）2＝r2，整理得r2﹣20r+84＝0，解得r＝10﹣6或r＝10+6（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径为10+6，综上所述，⊙O的半径为或10+6，故答案为：2；或10+6．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．28．如图，⊙O的直径AB＝4cm，PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点，弦CD∥AB，AD∥CP，则PB＝2cm．【分析】连接AC，OD，PO，OC，OC与AD交于E，根据切线的性质得到＝PB，∠PCO＝90°，根据全等三角形的性质得到AO＝CD，根据平行四边形的性质得到CD＝OA，推出△AOC与△COD是等边三角形，得到∠AOC＝∠COD＝60°，求得点D在OP上，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接AC，OD，PO，OC，OC与AD交于E，∵PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点，∴PC＝PB，∠PCO＝90°，∴∠PCD+∠OCD＝90°，∵AD∥PC，∴∠PCD＝∠ADC，∴∠ADC+∠DCO＝90°，∴∠CED＝90°，∴AE＝DE，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠OAD，∠DCO＝∠AOC，∴△AOE≌△DCE（AAS），∴AO＝CD，∴四边形AODC是平行四边形，∴CD＝OA，∴△AOC与△COD是等边三角形，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOP＝60°，∵∠PCO＝∠PBO＝90°，∠CPO＝∠BPO，∴∠COP＝∠BOP，∵∠COB＝120°，∴∠COP＝∠BOP＝60°，∴点D在OP上，∵AB＝4cm，∴OB＝2cm，∴PB＝OB＝2（cm），故答案为：2．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．29．△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，则OI＝14.3．【分析】设BC边的中点为D，连接AD，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，∠DAB＝∠CAD，得到内心I和外心O都在直线AD上，根据勾股定理得到AD＝5，设△ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则IO＝DI+OD，根据勾股定理列方程得到R＝16.9，求得OD＝11.9，根据三角形的面积公式得到r＝2.4，于是得到结论．【解答】解：设BC边的中点为D，连接AD，∵AB＝AC＝13，∴AD⊥BC，∠DAB＝∠CAD，∵点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∴内心I和外心O都在直线AD上，∵AB＝AC＝13，BC＝24，∴BD＝CD＝12，∴AD＝＝5，设△ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则IO＝DI+OD，连接OB，在Rt△ODB中，OD＝R﹣5，OB＝R，DB＝12，由勾股定理得（R﹣5）2+122＝R2，∴R＝16.9，∴OD＝AO﹣AD＝16.9﹣5＝11.9，∵S△ABC＝BC•AD＝（AB+BC+AC）•r，∴r＝＝＝＝2.4，∴r＝DI＝2.4，∴IO＝DI+OD＝2.4+11.9＝14.3．故答案为：14.3．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．30．如图，在正六边形ABCDEF内取一点O，作⊙O与边DE，EF相切，并经过点B，已知⊙O的半经为，则正六边形的边长为2+．【分析】根据对称性可得点O以及正六边形ABCDEF的外接圆的圆心O′均在线段BE上，由切线的性质和锐角三角函数可求出OE，进而求出正六边形ABCDEF的外接圆半径，再根据正六边形的性质可求出答案．【解答】解：如图，连接BE，由对称性可知，点O以及正六边形ABCDEF的外接圆的圆心O′均在线段BE上，设⊙O与EF、DE相切于点M、N，连接OM、ON、O′D，则OM＝ON＝OB＝2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠DEF＝120°，由对称性可得，∠OEF＝∠OED＝∠DEF＝60°，在Rt△OEM中，OM＝2，∠OEM＝60°，∴OE＝＝4，∴BE＝OE+OB＝4+2，∴正六边形ABCDEF的外接圆半径O′E＝＝2+，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴△DO′E是正三角形，∴EF＝O′E＝2+，即正六边形ABCDEF的边长为2+，故答案为：2+．【点评】本题考查切线的性质，正多边形与圆，掌握正六边形的对称性以及正六边形与圆的性质是正确解答的前提．31．如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则∠AGF的度数为78°．【分析】连接OA，OB1，OC1，根据正五边形的性质得到∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，根据圆周角定理得到∠AFC1＝AOC1＝72°，根据等腰三角形的性质得到∠GAF＝30°，于是得到结论．【解答】解：连接OA，OB1，OC1，∵点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，∴∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，∴∠AOC1＝144°，∴∠AFC1＝AOC1＝72°，∵AF＝EF，∠AFE＝120°，∴∠GAF＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣72°＝78°，故答案为：78．【点评】本题考查了正多边形与圆，等由三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．32．如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，OA＝OB＝2，则正八边形的面积为8．【分析】过A作AC⊥OB于C，求得∠ACO＝90°，根据正八边形的性质得到∠AOB＝＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到OC＝AC＝OA＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过A作AC⊥OB于C，∴∠ACO＝90°，∵∠AOB＝＝45°，∴OC＝AC＝OA＝，∴正八边形的面积＝8××2×＝8，故答案为：8．【点评】本题主要考查了正多边形和圆的有关计算；根据已知得出中心角∠AOB＝45°是解题关键．33．如图，矩形ABCD中，AB＝1，∠BAD的平分线交BC于点O，以O为圆心，OA为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为﹣1．【分析】由矩形的性质及角平分线的定义推出△ABO的等腰直角三角形，进而求出OA，∠AOB＝45°，OB＝1，证得Rt△ABO≌Rt△DCO，求得进而求得∠AOD＝90°，根据阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD即可求出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠DAO＝∠BOA，∵OA是∠BAD的平分线，∴∠BAO＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BOA，∴AB＝OB＝1，∴∠BAO＝∠BOA＝＝45°，在Rt△ABO中，OA＝＝＝，在Rt△ABO和Rt△DCO中，，∴Rt△ABO≌Rt△DCO（HL），∴∠DOC＝∠AOB＝45，OC＝OB＝1，∴BC＝AD＝2，∴∠AOD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△OAD的面积为AD•AB＝1，则阴影部分的面积为：S扇形OAD﹣S△OAD＝﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记扇形的面积公式是解决问题的关键．34．一个扇形的弧长是12π，圆心角是135°，则此扇形的半径是16．【分析】利用弧长公式计算．【解答】解：弧长12π＝，解得r＝16．故答案为：16．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．35．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为3+．【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝3，∴的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为3+．故答案为：3+．【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．三．解答题（共6小题）36．如图1，AB为⊙O直径，BD与⊙O相切于点D，AD交⊙O于点C，点E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）如图2，连接AE，若AC＝4CD，DE＝2，求AE的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OCA＝∠A，由三角形中位线的性质可得OE∥AD，根据平行线的性质可得∠BOE＝∠EOC，然后根据SAS证得△BOE≌△COE即可证得∠OCE＝∠B＝90°；（2）根据圆周角定理、切线的性质得出∠ACB＝∠ABD＝90，进而即可证得∠DAB＝∠CBD，由∠D＝∠D，证得△DAB∽△DBC，根据三角形相似的性质即可求得AD2＝80，然后利用勾股定理即可求得AE的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，OE，∵BD与⊙O相切，∴∠B＝90°，∵点E是BD中点，O为圆心，∴OE∥AD，∴∠EOC＝∠OCA，∠BOE＝∠A，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠BOE＝∠EOC，又∵OB＝OC，OE＝OE，∴△BOE≌△COE（SAS），∴∠OCE＝∠B＝90°，∴OC⊥CE，∵点C是⊙O上的点，∴CE与⊙O相切；（2）解：如图2，连接BC，∵点E是BD中点，DE＝2，∴BD＝2DE＝4，又∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ABD＝90，∴∠DAB+∠ABC＝∠ABC+∠CBD，∴∠DAB＝∠CBD，又∵∠D＝∠D，∴△DAB∽△DBC∴，∴BD2＝AD•CD，∵AC＝4CD，∴CD＝AD，∴42＝AD2，∴AD2＝80，在△ABD中，AB2＝AD2﹣BD2，∴AB2＝80﹣16＝64，在△ABE中，AE＝，∴AE＝＝2．【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判断和性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝12，DE＝10，求⊙O的直径．【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可得到结论．【解答】解：（1）直线DE是⊙O的切线，理由：连接DO，∵AC为⊙O直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；（2）由（1）知，∠BDC＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝20，∴BD＝＝16，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴＝，∴AC＝15．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．38．如图，PA与⊙O相切于点A，AB是直径，点C在⊙O上，连接CB，CP，2∠B+∠P＝180°．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）过O作OD∥PC，交AP于点D，若AB＝8，∠AOD＝30°．求由线段PA，PC及弧AC所围成阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由切线的性质得出∠PAO＝90°，由四边形内角和定理得出∠PCO＝90°，则可得出结论；（2）根据三角形的内角和定理得到∠ADO＝60°，根据平行线的性质得到∠APC＝∠ADO＝60°，由（1）知，PA，PC是⊙O的切线，求得∠APO＝∠CPO＝30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝2∠B，∵2∠B+∠P＝180°，∴∠AOC+∠P＝180°，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，∵∠PAO+∠AOC+∠PCO+∠P＝360°，∴∠PCO＝90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵∠OAP＝90°，∠AOD＝30°，∴∠ADO＝60°，∵OD∥PC，∴∠APC＝∠ADO＝60°，由（1）知，PA，PC是⊙O的切线，∴∠APO＝∠CPO＝30°，∴∠AOP＝∠COP＝60°，∵AB＝8，∴OA＝4，∴AP＝4，∴SAPO＝8．同理，S△CPO＝8，∠AOC＝120°，OA＝4，∴S扇形AOC＝＝，∴S阴影＝16﹣．【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，扇形的面积公式，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．39．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：AD与⊙O相切