![微积分课件及其答案-黎传奇高数第三章微分中值定理与导数应用_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed1.gif)
![微积分课件及其答案-黎传奇高数第三章微分中值定理与导数应用_第2页](http://file4.renrendoc.com/view/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed2.gif)
![微积分课件及其答案-黎传奇高数第三章微分中值定理与导数应用_第3页](http://file4.renrendoc.com/view/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed3.gif)
![微积分课件及其答案-黎传奇高数第三章微分中值定理与导数应用_第4页](http://file4.renrendoc.com/view/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed4.gif)
![微积分课件及其答案-黎传奇高数第三章微分中值定理与导数应用_第5页](http://file4.renrendoc.com/view/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed/5ac2010f62812e8c3d00a9d1e8dba9ed5.gif)
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文档简介
1第三章微分中值定理与导数的应用性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.中值定理(mean
value
theorem)因为导数
随自变量变化的瞬时变指导数在某个区间内所具有的一些重
一点要性质,它们都与自变量区间
的某个中间值有关.2定理中值定理第一节
微分中值定理第三章微分中值定理与导数的应用小结
思考题
作业泰勒
推公日中值定理
广式(第三节)3微分中值定理连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.本节的几个定理都来源于下面的明显的几何事实:在一条光滑的平面曲线段⌒上,至少有AB一点处的切线与连接此曲线两端点的弦
AB平行.
有水平的切线f
(
)
0ABxyOy
f
(
x)21ABab
C
f
(a)
f
(b)4定理在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;f
(a)
f
(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得f
(
)
0.如,
f
(
x)
x
2
2
x
3
(
x
3)(
x
1).在[1,3]上连续,在
内可1导,(且
f
ff
(
x)
2(
x
1),取
1,
(1(1,3))
f
(
)
0.Rolle,(法)1652-1719(Rolle)定理若函数f
(x)满足:1()微分中值定理一、5微分中值定理费马Fermat,(法)1601-1665如果对x
U
(x0
),有(或f
(
x)
f
(
x0
)),费马引理有定义,f
(
x)
f
(
x0
)那么f
(x0
)
0.证对于x0
x
U
(x0
),有f
(
x0
x)
f
(
x0
)
f
(
x0
x)
f
(
x0
)
0若x
0,
f
(
x0
x)
f
(
x0
)
0;x若x
0,
f
(
x0
x)
f
(
x0
)
0;x6微分中值定理如果对x
U
(x0
),有费马引理有定义,f
(
x)
f
(
x0
)(或f
(
x)
f
(
x0
)),0那么
f
(
x
)
0.x0f(
x0
)
f(
x0
)
f
(
x0
)
函数的驻点(Stationarypoint),
稳定点,临界点(Critical
point).x由极限的保号性若x
0,
f(
x0
)
lim
f
(
x0
x)
f
(
x0
)
0,x若x
0,
f(
x0
)
lim
f
(
x0
x)
f
(
x0
)
0.x0微分中值定理罗尔定理若函数f
(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)
f
(a)
f
(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得f
(
)
0.费马引理有定义,f
(
x)
f
(
x0
)如果对x
U
(x0
),有(或f
(
x)
f
(
x0
)),那么f
(x0
)
0.设
M
f
(a),
则在(a,
b)内至少存在一点
,使f
(
)
M
.
[a,b],
有
f
(
x)
f
(
),由费马引理,
f
(
)
0.7x
01,f
(
x)
x
,
0微分中值定理定理若函数f
(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f
(a)
f
(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得f
(
)
0.1xx
1O
1f
(
x)
|
xyxO注
(1)
定理条件不全具备,结论不一定成立.y
yxO8在(a
,b
)内可导,且xa0lim
f
(
x)
lim
f
(
x)xb0则在(a
,b
)内至少存在一点使提示
f
(b
0),
x
b设F
(
x)
)(,
f
(a
0),x
ab
证F(x)在[a,b]上满足
定理.设微分中值定理定理
若函数f
(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f
(a)
f
(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得f
(
)
0.注
(2)
定理条件只是充分的.本定理可推广为:9例对函数f
(x)
x3
4x2
7
x
10,在[1,2]上验证
定理的正确性.证(1)定理的假设条件满足f
(x)在[1,2]上连续,f
(1)
0
f
(2)(2)结论正确方程f
(x)
0,即3x2
8x
7
0有实根31x
1
(4
3237),
x
1
(4
37)微分中值定理其中x2
(1,2),符合要求.定理肯定了
的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道
存在即可.10例证明方程x5
5
x
1
0
有且仅有一个小于1的正实根.证
(1)
存在性设f
(x)
x
5
5
x
1,则f
(x)在[0,1]连续,且f
(0)
1,f
(1)
3.零点定理
x0
(0,1),使f
(x0
)
0.即为方程的小于1的正实根.微分中值定理11定理还,对可导函数f(x),在方程
f
(x)=0的两实根之间,至少存在方程
f
(x)
0的一个实根.12(2)
唯一性设另有x1
(0,1),x1
x0
,使f
(x1
)
0.
1)
0,(
x
(0,1))但f
(x)
5(x
4为唯一实根.至少存在一个
(在x0
,x1
之间),使得f
(
)
0.
f
(x)在x0
,x1
之间满足定理的条件.微分中值定理证明方程x5
5x
1
0
有且仅有一个小于1的正实根.,故假设不真!13c
c1
0
2cnn
1例设常数c0
,c1
,,cn满足条件
0.试证方程c
c
x
c
xn
00
1
n在(0,1)内存在一个实根.分析注意到:10xn1
)2
n
1cnx2c(c x
c
c
x
c
xn0
1
nf
(
x)微分中值定理210xn1
,2
n
1cnc证设f
(
x)
c x
x
f
(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f
(0)
0
f
(1)定理在(0,1)内至少存在一个实根
,使得f
(
)
0,n即
c0
c1
cn
0即x
为所求实根.设常数c0
,c1
,,cn满足条件02
n
1c
c1
cn
0.
试证方程01
nc
c
x
c
xn
0在(0,1)内存在一个实根.微分中值定理14结论亦可写成注日Lagrange(法)1736-1813
f
(
).f
b
(f()a)b
a微分中值定理二、日(Lagrange)中值定理日中值定理若函数f
(x)满足:(1)(2)则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得f
(b)
f
(a)
f
(
)(b
a)1516几何解释:在曲线弧AB
上至少有一点C
,在该点处的切线平行于弦AB.分析利用逆向思维找出一个满足的函数.
将f
(b)
f
(a)
f
(f
(
)
f
(b)
f
(a)
0,定理的结论就转化为函数b
ag(
x)
f
(
x)
x,f
(b)
f
(a)b
a在区间(a,b)内有点
,使g(
)
0的问题,化为定理.
微分中值定理
定理条件xyOABaC12
by
f
(
x)D17证作辅助函数b
ag(
x)
f
(
x)
f
(b)
f
(a)
x,故在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得g(
)
f
(
)
f
(b)
f
(a)
0.b
af
(b)
f
(a)
(b
a)
f
(
).由此得[bf
(a)
af
(b)]
g(b)1g(a)
b
a日中值公式对b
a也成立.易知g(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导,且微分中值定理微分中值定理f
(b)
f
(a)
(b
a)f
(
)在微分学中占有极重要的地位.它表明了函数在两点处的函数值与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数的单调性及某些等式与不等式的证明.微分中值定理18例证明不等式arctan
x2
arctan
x1
x2
x1
,
(
x1
x2
).如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.证记f
(x)
arctan
x,在[x1
,x2
]上,利用微分中值定理,
得11
2arctan
x2
arctan
x1
12(
x
x
)11
2
(
x1
,
x2
),12
1,arctan
x
arctan
x
x2
x1
,f
(b)
f
(a)
f
(
)(b
a)
(a,
b)
微分中值定理
19Lagrange公式可以写成下面的各种形式:f
(b)
f
(a)
f
(
)(b
a).当a
b时也成立.f
(x
x)
f
(x)
f
(
)x,在x和x
x之间.(3)
y
f
(
x
x)
x增量y的精确表达式.注由(3)式看出,它表达了函数增量和某点的(0
1).导数之间的直接关系.这里
,未定,但是增量、导数是个等式关系.这是十分方便的.日中值公式又称有限增量公式.日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理20由条件,则
f
(
x1
)
f
(
x2
),
即在区间I中任意两点的函数值都相等,所以,f
(x)
C
.0微分中值定理(1)日中值定理若函数f
(x)满足:(2)则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得f
(b)
f
(a)
f
(
)(b
a)推论
如果函数f
(x)在区间I
上的导数恒为零,那末f
(x)在区间I
上是一个常数.证在区间I上任取两点x1
,x2
(x1
x2
),由拉氏定理,有f
(
x2
)
f
(
x1
)
f
(
)(
x2
x1
)
(
x1
x2
)2122例证明arcsin
x
arccos
x
(1
x
1).x
[1,1])
0.由推论11
f
(
x)
(1
x
2
1
x
2
f
(
x)
C,
x
[1,1]2证设f
(x0)
arcsin
x0
arccos
0x,又
f
(0)
arcsin
0
arccos
0
0
,22
2
2即C
.
arcsin
x
arccos
x
.微分中值定理2自证arctan
x
arccotx
,
x
(,
).说明
欲证x
I
,只需证在I
上且
x0
I
,使f
(x0
)
C0
.23例证明当x
0时,
ln(1
x)
x.1
xx
f
(
x)
f
(0)
f
(
)(
x
0),,
由上式得1
x1
f
(0)
0,
f
(
x)
,x1
ln(1
x)
1
1
1
x
1,1
11
x
1
xx1
x
1
ln(1
x)
x.1
x
x,即x(0
x)由0
x证
设
f
(
x)
ln(1
x),
[0,
x]
关键f
(x)在[0,
x]上满足拉氏定理的条件,微分中值定理Cauchy(法)1789-1859中值定理
若函数f
(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F(x)
0,则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得f
(b)
f
(a)
f
(
)F
(
)微分中值定理三、
(Cauchy)中值定理F
(b)
F
(a)广义微分中值定理24
f
(b)
f
(a)
f
(
)(b
a),
(a
,
b)F
(b)
F
(a)
F(
)(b
a),
(a
,
b)f
(b)
f
(a)
f
(
)
,
(a
,
b)
错
!F
(
)F
(b)
F
(a)F
(
)F
(b)
F
(a)中值定理
若函数f
(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F(x)
0,则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得f
(b)
f
(a)
f
(
)微分中值定理定理的下述证法对吗?这两个不一定相同2526F
(
x)
x前面对日中值定理的证明,构造了b
af
(b)
f
(a)现在对两个给定的函数
f(x)、F(x),构造辅助函数
g(
x)
f
(
x)
x即可证明
定理.辅助函数
(
x)
f
(
x)
f
(b)
f
(a)
F
(
x)F
(b)
F
(a)微分中值定理F
(
)F
(b)
F
(a)f
(b)
f
(a)
f
(
)
(a,b)F
(
)分析上式写成
f
(b)
f
(a)
f
(
)
[F
(b)
F
(a)]用类比法27
y
f
(t
)
x
F
(t
)dx F
(t
)注意dy
f
(t
)微分中值定理中值定理若函数f
(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F(x)
0,则在开区间(a,b)内至少存在一点
,使得弦的斜率f
(b)
f
(a)
f
(
)切线斜率F
(b)
F
(a)
F
(
)定理的几何意义YF
(b)
XO
F
(a)
F
(
)f
(b)f
(a)28至少存在一点
(0,1),
使
f
(
)
2[
f
(1)
f
(0)].证分析
结论可变形为f
(1)
f
(0)
f
(
)
f
(
x)1
02
(
x
2
)在(0,1)内至少存在一点
,有f
(1)
f
(0)
f
(
)f
(x),F
(x)在[0,1]上满足x
.
设F
(x)
x2
,中值定理条件,1
0(2)f(1[()0f
f2即微分中值定理例
设函数f
(
x)在[0,1]上连续,
在(0,1)内可导,
证明:29定理日中值定理中值定理F
(
x)
x定理、f
(a)(Rolle)定理、
日(Lagrange)中值中值定理之间的关系:推广
推广这三个定理的条件都是充分条件,而不是必要条件.换句话说,满足条件,定理成立;不满足条件,定理可能成立,也可能不成立.微分中值定理30应用三个中值定理常解决下列问题验证定理的正确性;证明方程根的存在性;引入辅助函数证明等式;证明不等式;(5)综合运用中值定理(几次运用).微分中值定理关键逆向思维,找辅助函数[
f
(a)g(
x)
f
(
x)g(b)
f
(
x)g(
x)
]x
0辅助函数F(x)31例若f
(x)与g(x)在[a,b]可导,且g(x)
0.试证明:分析将结论交叉相乘得微分中值定理证设辅助函数F(x)满足:(1)在[a,b]上连续;
(2)在(a,b)内可导,F
(
x)
f
(a)g(
x)
f
(
x)g(b)
f
(
x)g(
x)(3)
F
(a)
f
(a)g(b)
F
(b)因此F(x)满足Rolle定理的条件.微分中值定理32则在(a,b)内至少存在一点
,使F(
)
0.即g(
)
f
(a)
f
(
)
f
(
)g(
)
g(b)
0得
f
(a)
f
(
)
f
(
)g(
)
g(b)
g(
)证毕.微分中值定理33例试证至少存在一点使
cos
lnsin1
即微分中值定理ln
e
ln1中值定理.sin
ln
e
sin
ln1sin1
证法一用令,F
(e)
F
(1)f
(
)F
(
)f
(e)
f
(1)中值定理条件,
(1,e
)因此则f
(x),F(x)在[1,e
]上满足分析即证.34则f
(x)在[1,e]上满足因此
(1,e),使f
(sin1
试证至少存在一点使微分中值定理法二令f
(x)
sin1
ln
x
sin
ln
x中值定理条件,[
sin1
ln
x
sin
ln
x
]x分析
0即35f
(a)
f
(b)
0,f
(x)
0,x
a,b.证明:对任意的实数k,存在点
(a
b),使
f
(
)
k.分析f
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