微积分课件及其答案-黎传奇高数第三章微分中值定理与导数应用

1第三章微分中值定理与导数的应用性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.中值定理(mean

value

theorem)因为导数

随自变量变化的瞬时变指导数在某个区间内所具有的一些重

一点要性质,它们都与自变量区间

的某个中间值有关.2定理中值定理第一节

微分中值定理第三章微分中值定理与导数的应用小结

思考题

作业泰勒

推公日中值定理

广式(第三节)3微分中值定理连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线.本节的几个定理都来源于下面的明显的几何事实:在一条光滑的平面曲线段⌒上,至少有AB一点处的切线与连接此曲线两端点的弦

AB平行.

有水平的切线f

(

)

0ABxyOy

f

(

x)21ABab

C

f

(a)

f

(b)4定理在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;f

(a)

f

(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得f

(

)

0.如,

f

(

x)

x

2

2

x

3

(

x

3)(

x

1).在[1,3]上连续,在

内可1导,(且

f

ff

(

x)

2(

x

1),取

1,

(1(1,3))

f

(

)

0.Rolle,(法)1652-1719(Rolle)定理若函数f

(x)满足:1()微分中值定理一、5微分中值定理费马Fermat,(法)1601-1665如果对x

U

(x0

),有(或f

(

x)

f

(

x0

)),费马引理有定义,f

(

x)

f

(

x0

)那么f

(x0

)

0.证对于x0

x

U

(x0

),有f

(

x0

x)

f

(

x0

)

f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0若x

0,

f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0;x若x

0,

f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0;x6微分中值定理如果对x

U

(x0

),有费马引理有定义,f

(

x)

f

(

x0

)(或f

(

x)

f

(

x0

)),0那么

f

(

x

)

0.x0f(

x0

)

f(

x0

)

f

(

x0

)

函数的驻点(Stationarypoint),

稳定点,临界点(Critical

point).x由极限的保号性若x

0,

f(

x0

)

lim

f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0,x若x

0,

f(

x0

)

lim

f

(

x0

x)

f

(

x0

)

0.x0微分中值定理罗尔定理若函数f

(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)

f

(a)

f

(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得f

(

)

0.费马引理有定义,f

(

x)

f

(

x0

)如果对x

U

(x0

),有(或f

(

x)

f

(

x0

)),那么f

(x0

)

0.设

M

f

(a),

则在(a,

b)内至少存在一点

,使f

(

)

M

.

[a,b],

有

f

(

x)

f

(

),由费马引理,

f

(

)

0.7x

01,f

(

x)

x

,

0微分中值定理定理若函数f

(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f

(a)

f

(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得f

(

)

0.1xx

1O

1f

(

x)

|

xyxO注

(1)

定理条件不全具备,结论不一定成立.y

yxO8在(a

,b

)内可导,且xa0lim

f

(

x)

lim

f

(

x)xb0则在(a

,b

)内至少存在一点使提示

f

(b

0),

x

b设F

(

x)

)(,

f

(a

0),x

ab

证F(x)在[a,b]上满足

定理.设微分中值定理定理

若函数f

(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f

(a)

f

(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得f

(

)

0.注

(2)

定理条件只是充分的.本定理可推广为:9例对函数f

(x)

x3

4x2

7

x

10,在[1,2]上验证

定理的正确性.证(1)定理的假设条件满足f

(x)在[1,2]上连续,f

(1)

0

f

(2)(2)结论正确方程f

(x)

0,即3x2

8x

7

0有实根31x

1

(4

3237),

x

1

(4

37)微分中值定理其中x2

(1,2),符合要求.定理肯定了

的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道

存在即可.10例证明方程x5

5

x

1

0

有且仅有一个小于1的正实根.证

(1)

存在性设f

(x)

x

5

5

x

1,则f

(x)在[0,1]连续,且f

(0)

1,f

(1)

3.零点定理

x0

(0,1),使f

(x0

)

0.即为方程的小于1的正实根.微分中值定理11定理还,对可导函数f(x),在方程

f

(x)=0的两实根之间,至少存在方程

f

(x)

0的一个实根.12(2)

唯一性设另有x1

(0,1),x1

x0

,使f

(x1

)

0.

1)

0,(

x

(0,1))但f

(x)

5(x

4为唯一实根.至少存在一个

(在x0

,x1

之间),使得f

(

)

0.

f

(x)在x0

,x1

之间满足定理的条件.微分中值定理证明方程x5

5x

1

0

有且仅有一个小于1的正实根.,故假设不真!13c

c1

0

2cnn

1例设常数c0

,c1

,,cn满足条件

0.试证方程c

c

x

c

xn

00

1

n在(0,1)内存在一个实根.分析注意到:10xn1

)2

n

1cnx2c(c x

c

c

x

c

xn0

1

nf

(

x)微分中值定理210xn1

,2

n

1cnc证设f

(

x)

c x

x

f

(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f

(0)

0

f

(1)定理在(0,1)内至少存在一个实根

,使得f

(

)

0,n即

c0

c1

cn

0即x

为所求实根.设常数c0

,c1

,,cn满足条件02

n

1c

c1

cn

0.

试证方程01

nc

c

x

c

xn

0在(0,1)内存在一个实根.微分中值定理14结论亦可写成注日Lagrange(法)1736-1813

f

(

).f

b

(f()a)b

a微分中值定理二、日(Lagrange)中值定理日中值定理若函数f

(x)满足:(1)(2)则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)1516几何解释:在曲线弧AB

上至少有一点C

,在该点处的切线平行于弦AB.分析利用逆向思维找出一个满足的函数.

将f

(b)

f

(a)

f

(f

(

)

f

(b)

f

(a)

0,定理的结论就转化为函数b

ag(

x)

f

(

x)

x,f

(b)

f

(a)b

a在区间(a,b)内有点

,使g(

)

0的问题,化为定理.

微分中值定理

定理条件xyOABaC12

by

f

(

x)D17证作辅助函数b

ag(

x)

f

(

x)

f

(b)

f

(a)

x,故在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得g(

)

f

(

)

f

(b)

f

(a)

0.b

af

(b)

f

(a)

(b

a)

f

(

).由此得[bf

(a)

af

(b)]

g(b)1g(a)

b

a日中值公式对b

a也成立.易知g(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导,且微分中值定理微分中值定理f

(b)

f

(a)

(b

a)f

(

)在微分学中占有极重要的地位.它表明了函数在两点处的函数值与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数的单调性及某些等式与不等式的证明.微分中值定理18例证明不等式arctan

x2

arctan

x1

x2

x1

,

(

x1

x2

).如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.证记f

(x)

arctan

x,在[x1

,x2

]上,利用微分中值定理,

得11

2arctan

x2

arctan

x1

12(

x

x

)11

2

(

x1

,

x2

),12

1,arctan

x

arctan

x

x2

x1

,f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)

(a,

b)

微分中值定理

19Lagrange公式可以写成下面的各种形式:f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a).当a

b时也成立.f

(x

x)

f

(x)

f

(

)x,在x和x

x之间.(3)

y

f

(

x

x)

x增量y的精确表达式.注由(3)式看出,它表达了函数增量和某点的(0

1).导数之间的直接关系.这里

,未定,但是增量、导数是个等式关系.这是十分方便的.日中值公式又称有限增量公式.日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理20由条件,则

f

(

x1

)

f

(

x2

),

即在区间I中任意两点的函数值都相等,所以,f

(x)

C

.0微分中值定理(1)日中值定理若函数f

(x)满足:(2)则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)推论

如果函数f

(x)在区间I

上的导数恒为零,那末f

(x)在区间I

上是一个常数.证在区间I上任取两点x1

,x2

(x1

x2

),由拉氏定理,有f

(

x2

)

f

(

x1

)

f

(

)(

x2

x1

)

(

x1

x2

)2122例证明arcsin

x

arccos

x

(1

x

1).x

[1,1])

0.由推论11

f

(

x)

(1

x

2

1

x

2

f

(

x)

C,

x

[1,1]2证设f

(x0)

arcsin

x0

arccos

0x,又

f

(0)

arcsin

0

arccos

0

0

,22

2

2即C

.

arcsin

x

arccos

x

.微分中值定理2自证arctan

x

arccotx

,

x

(,

).说明

欲证x

I

,只需证在I

上且

x0

I

,使f

(x0

)

C0

.23例证明当x

0时,

ln(1

x)

x.1

xx

f

(

x)

f

(0)

f

(

)(

x

0),,

由上式得1

x1

f

(0)

0,

f

(

x)

,x1

ln(1

x)

1

1

1

x

1,1

11

x

1

xx1

x

1

ln(1

x)

x.1

x

x,即x(0

x)由0

x证

设

f

(

x)

ln(1

x),

[0,

x]

关键f

(x)在[0,

x]上满足拉氏定理的条件,微分中值定理Cauchy(法)1789-1859中值定理

若函数f

(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F(x)

0,则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得f

(b)

f

(a)

f

(

)F

(

)微分中值定理三、

(Cauchy)中值定理F

(b)

F

(a)广义微分中值定理24

f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a),

(a

,

b)F

(b)

F

(a)

F(

)(b

a),

(a

,

b)f

(b)

f

(a)

f

(

)

,

(a

,

b)

错

!F

(

)F

(b)

F

(a)F

(

)F

(b)

F

(a)中值定理

若函数f

(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F(x)

0,则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得f

(b)

f

(a)

f

(

)微分中值定理定理的下述证法对吗?这两个不一定相同2526F

(

x)

x前面对日中值定理的证明,构造了b

af

(b)

f

(a)现在对两个给定的函数

f(x)、F(x),构造辅助函数

g(

x)

f

(

x)

x即可证明

定理.辅助函数

(

x)

f

(

x)

f

(b)

f

(a)

F

(

x)F

(b)

F

(a)微分中值定理F

(

)F

(b)

F

(a)f

(b)

f

(a)

f

(

)

(a,b)F

(

)分析上式写成

f

(b)

f

(a)

f

(

)

[F

(b)

F

(a)]用类比法27

y

f

(t

)

x

F

(t

)dx F

(t

)注意dy

f

(t

)微分中值定理中值定理若函数f

(x)及F(x)满足:在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导,且F(x)

0,则在开区间(a,b)内至少存在一点

,使得弦的斜率f

(b)

f

(a)

f

(

)切线斜率F

(b)

F

(a)

F

(

)定理的几何意义YF

(b)

XO

F

(a)

F

(

)f

(b)f

(a)28至少存在一点

(0,1),

使

f

(

)

2[

f

(1)

f

(0)].证分析

结论可变形为f

(1)

f

(0)

f

(

)

f

(

x)1

02

(

x

2

)在(0,1)内至少存在一点

,有f

(1)

f

(0)

f

(

)f

(x),F

(x)在[0,1]上满足x

.

设F

(x)

x2

,中值定理条件,1

0(2)f(1[()0f

f2即微分中值定理例

设函数f

(

x)在[0,1]上连续,

在(0,1)内可导,

证明:29定理日中值定理中值定理F

(

x)

x定理、f

(a)(Rolle)定理、

日(Lagrange)中值中值定理之间的关系:推广

推广这三个定理的条件都是充分条件,而不是必要条件.换句话说,满足条件,定理成立;不满足条件,定理可能成立,也可能不成立.微分中值定理30应用三个中值定理常解决下列问题验证定理的正确性;证明方程根的存在性;引入辅助函数证明等式;证明不等式;(5)综合运用中值定理(几次运用).微分中值定理关键逆向思维,找辅助函数[

f

(a)g(

x)

f

(

x)g(b)

f

(

x)g(

x)

]x

0辅助函数F(x)31例若f

(x)与g(x)在[a,b]可导,且g(x)

0.试证明:分析将结论交叉相乘得微分中值定理证设辅助函数F(x)满足:(1)在[a,b]上连续;

(2)在(a,b)内可导,F

(

x)

f

(a)g(

x)

f

(

x)g(b)

f

(

x)g(

x)(3)

F

(a)

f

(a)g(b)

F

(b)因此F(x)满足Rolle定理的条件.微分中值定理32则在(a,b)内至少存在一点

,使F(

)

0.即g(

)

f

(a)

f

(

)

f

(

)g(

)

g(b)

0得

f

(a)

f

(

)

f

(

)g(

)

g(b)

g(

)证毕.微分中值定理33例试证至少存在一点使

cos

lnsin1

即微分中值定理ln

e

ln1中值定理.sin

ln

e

sin

ln1sin1

证法一用令,F

(e)

F

(1)f

(

)F

(

)f

(e)

f

(1)中值定理条件,

(1,e

)因此则f

(x),F(x)在[1,e

]上满足分析即证.34则f

(x)在[1,e]上满足因此

(1,e),使f

(sin1

试证至少存在一点使微分中值定理法二令f

(x)

sin1

ln

x

sin

ln

x中值定理条件,[

sin1

ln

x

sin

ln

x

]x分析

0即35f

(a)

f

(b)

0,f

(x)

0,x

a,b.证明:对任意的实数k,存在点

(a

b),使

f

(

)

k.分析f