数列的概念与简单表示法专题练习(含参考答案)

数列的概念与简单表示法专题练习(含参考答案)数列的概念与简单表示法专题练习(含参考答案)数列的概念与简单表示法专题练习(含参考答案)数列的概念与简单表示法专题练习(含参考答案)编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:数学数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列{an}为eq\f(1,2)，3，eq\f(11,2)，8，eq\f(21,2)，…，则此数列的通项公式可能是()A．an＝eq\f(5n－4,2) B．an＝eq\f(3n－2,2)C．an＝eq\f(6n－5,2) D．an＝eq\f(10n－9,2)2．数列eq\f(2,3)，－eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，－eq\f(8,9)，…的第10项是()A．－eq\f(16,17) B．－eq\f(18,19)C．－eq\f(20,21) D．－eq\f(22,23)3．已知数列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，则2eq\r(5)是这个数列的()A．第6项 B．第7项C．第19项 D．第11项4．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是()A．7 B．5C．30 D．315．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，则eq\f(1,a5)等于()A．eq\f(5,6) B．eq\f(6,5)C．eq\f(1,30) D．306．若数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2且n∈N*)，则a2019等于()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．27．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3C．an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2)) D．an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n＋3，n≥2))8．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝()A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1二、填空题9．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝．10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，则数列an＝．11．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝____，S5＝_____．12．已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋2λn恒成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题13．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq\f(n＋2,3)an．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．14．已知Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝3an－2(n∈N*)．(1)求an和Sn．(2)若bn＝log3(Sn＋1)，求数列{b2n}的前n项和Tn．1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a5的值为()A．－2 B．－1C．1 D．22．若数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝()A．55 B．10C．9 D．13．数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an<\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an<1，))若a1＝eq\f(2,5)，则a2019等于()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)4．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则eq\f(an,n)的最小值为()A．21 B．10C．eq\f(17,2) D．eq\f(21,2)5．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}是递减数列．【参考答案】一、选择题1．数列{an}为eq\f(1,2)，3，eq\f(11,2)，8，eq\f(21,2)，…，则此数列的通项公式可能是(A)A．an＝eq\f(5n－4,2) B．an＝eq\f(3n－2,2)C．an＝eq\f(6n－5,2) D．an＝eq\f(10n－9,2)[解析]解法一：数列{an}为eq\f(1,2)，eq\f(6,2)，eq\f(11,2)，eq\f(16,2)，eq\f(21,2)，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为an＝eq\f(5n－4,2)．解法二：当n＝2时，a2＝3，而选项B、C、D，都不符合题意，故选A．2．数列eq\f(2,3)，－eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，－eq\f(8,9)，…的第10项是(C)A．－eq\f(16,17) B．－eq\f(18,19)C．－eq\f(20,21) D．－eq\f(22,23)[解析]an＝(－1)n＋1eq\f(2n,2n＋1)，∴a10＝－eq\f(20,21)，选C项．3．已知数列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，则2eq\r(5)是这个数列的(B)A．第6项 B．第7项C．第19项 D．第11项[解析]数列即：eq\r(2)，eq\r(5)，eq\r(8)，eq\r(11)，…，据此可得数列的通项公式为：an＝eq\r(3n－1)，由eq\r(3n－1)＝2eq\r(5)，解得：n＝7，即2eq\r(5)是这个数列的第7项．4．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是(D)A．7 B．5C．30 D．31[解析]由题意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31．5．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，则eq\f(1,a5)等于(D)A．eq\f(5,6) B．eq\f(6,5)C．eq\f(1,30) D．30[解析]∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,n＋1)－eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,nn＋1)，∴eq\f(1,a5)＝5×(5＋1)＝30．6．若数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2且n∈N*)，则a2019等于(D)A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]∵a1＝eq\f(1,2)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2且n∈N*)，∴a2＝1－eq\f(1,a1)＝1－eq\f(1,\f(1,2))＝－1，∴a3＝1－eq\f(1,a2)＝1－eq\f(1,－1)＝2，∴a4＝1－eq\f(1,a3)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，…，依此类推，可得an＋3＝an，∴a2019＝a672×3＋3＝a3＝2，故选D．7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(C)A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3C．an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2)) D．an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n＋3，n≥2))[解析]解法一：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2.))解法二：当n＝1时，a1＝S1＝1，A、B选项不合题意．又a2＝S2－a1＝1，所以D选项不合题意．8．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(C)A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为an＝2n.故选C．二、填空题9．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1,2·3n－1，n≥2))．[解析]当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1，显然n＝1时，a1不满足上式，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1,2·3n－1，n≥2))．10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，则数列an＝3－eq\f(1,n)．[解析]由题意，得an＋1－an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))＋(eq\f(1,n－2)－eq\f(1,n－1))＋…＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(1－eq\f(1,2))＋2＝3－eq\f(1,n)．11．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__1___，S5＝__121___．[解析]解法一：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，))解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3(Sn＋eq\f(1,2))，所以{Sn＋eq\f(1,2)}是以eq\f(3,2)为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)×3n－1，即Sn＝eq\f(3n－1,2)，所以S5＝121．解法二：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4,a2＝2a1＋1))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1,a2＝3))，又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，两式相减得an＋2－an＋1＝2an＋1，即eq\f(an＋2,an＋1)＝3，又eq\f(a2,a1)＝3，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋1＝3n，∴Sn＝eq\f(3n－1,2)，∴S5＝121．12．已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋2λn恒成立，则实数λ的取值范围为(－∞，eq\f(3,2))．[解析]∵数列{an}是递减数列，∴an＋1<an恒成立．又an＝－n2＋2λn，∴－(n＋1)2＋2λ(n＋1)<－n2＋2λn恒成立，即2λ<2n＋1恒成立，又n∈N*，∴λ<eq\f(3,2)．三、解答题13．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq\f(n＋2,3)an．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)因为Sn＝eq\f(n＋2,3)an，且a1＝1，所以S2＝eq\f(4,3)a2，即a1＋a2＝eq\f(4,3)a2，得a2＝3．由S3＝eq\f(5,3)a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6．(2)由题意知a1＝1．当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，整理，得an＝eq\f(n＋1,n－1)an－1，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)．所以eq\f(a2,a1)＝3，eq\f(a3,a2)＝eq\f(4,2)，eq\f(a4,a3)＝eq\f(5,3)，…，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)，将以上n－1个式子的两端分别相乘，得eq\f(an,a1)＝eq\f(nn＋1,2)．所以an＝eq\f(nn＋1,2)(n≥2)．又a1＝1适合上式，故an＝eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)．14．已知Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝3an－2(n∈N*)．(1)求an和Sn．(2)若bn＝log3(Sn＋1)，求数列{b2n}的前n项和Tn．[解析](1)因为2Sn＝3an－2，所以当n＝1时，2S1＝3a1－2，解得a1＝2；当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－2，所以2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1，所以2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1，因此数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2·3n－1，Sn＝eq\f(21－3n,1－3)＝3n－1．(2)因为Sn＝3n－1，所以bn＝log3(Sn＋1)＝log33n＝n，b2n＝2n，所以Tn＝2＋4＋6＋…＋2n＝eq\f(n2＋2n,2)＝n2＋n．1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a5的值为(A)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析]由题意可得，an＋2＝an＋1－an，则a3＝a2－a1＝2－1＝1，a4＝a3－a2＝1－2＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2.故选A．2．若数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝(D)A．55 B．10C．9 D．1[解析]∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴令m＝1，n＝9，得S9＋S1＝S10，即S10－S9＝S1＝a1＝1，∴a10＝S10－S9＝1.故选D．3．数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an<\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an<1，))若a1＝eq\f(2,5)，则a2019等于(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]因为a1＝eq\f(2,5)<eq\f(1,2)，所以a2＝eq\f(4,5)，a3＝eq\f(3,5)，a4＝eq\f(1,5)，a5＝eq\f(2,5)，所以数列具有周期性，周期为4，所以a2019＝a3＝eq\