《高等数学》第十章复习要点

PAGEPAGE6第十章曲线积分与曲面积分复习要点§1 对弧长的曲线积分一、了解对弧长的曲线积分的概念与性质1.定义： f(,ydslimnfsL

i1

i i i其中f(x,y)称为被积函 L称为积分路径如果L是闭曲线那么上述对弧长的曲线积分可记作L

f(x,y)ds性质设c、c 为常则1 2[cf(x,y)cg(x,y)]dscf(x,y)dsc

g(x,y)dsL 1 2 1L 2L若积分路径LLL 则1 2f(x,y)dsL L1

f(x,y)dsL2

f(x,y)ds二、掌握队弧长的曲线积分的计算方法基本思想：转化为定积分来计算步骤：1.将曲线L方程代入被积函数f(x,y),使之转化为一元函数；(dx)2(dy)2利用ds (dx)2(dy)2L方程中自变量的取值范围为定积分的积分区间应注意的问题例如，若曲线L方程的方程为：y(x)，axb 则f(x,y)dsL a

f[x,(x)]12(x)dx若曲线L方程的方程为：x(y)，cyd 则f(x,y)dsL c

f(y),y]12(y)dy2(t)2(t)若曲线L方程的方程为：x(t)，y(t)，2(t)2(t)f(x,y)ds

f[(t),(t)]

dtL §2 对坐标的曲线积分一、了解对坐标的曲线积分的概念与性质定义：P(x,y)dxlim

P(,)xP(x,yL上对Lx的曲线积分.

i i i1Q(x,y)dylim

Q(,)y

,称为函数Q(x,y)在有向曲线L上对Ly的曲线积分.

i i i1对坐标的曲线积分的简写形式P(x,y)dxL

Q(x,y)dyL

P(x,y)dxQ(x,y)dy对坐标的曲线积分的性质若积分路径LLL 则1 2PdxQdyPdxQdyPdxQdyL L L1 2L设LL则P(x,y)dxQ(x,y)dL

P(x,y)dxQ(x,y)dy二、掌握对坐标的曲线积分的计算方法基本思想：转化为定积分来计算步骤：1.将曲线L方程代入被积函数P(x,y),Q(x,y)使之转化为一元函数；L的方程将dxdyL方程中自变量的微分；起点的坐标为定积分的下限，终点的坐标为定积分的上限（不论大小）若曲线L方程的方程为：x(t)，y(t)，被积函数P(x,y),Q(x,y)L当参数t变到点M(xy从曲线L的起点A沿曲线L运动到终点B 则(,ydxt)t)tdtL (,ydyt)t)tdtL 即(,ydx(,ydyttt)tttdtL 注意不一定小于§3 格林公式及其应用一、格林公式DL围成函数P(x,y),Q(x,y)D则有(QP)dxdyPdxQdyx y LDLD的取正向的边界曲线L的正向规定如下L的这个方向行走时D他的左边应注意的问题P(x,yQ(xyLD的取正向的边界曲线，如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立要求:会用格林公式计算对坐标的曲线积分二、掌握平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的概念:设G是一个开区域P(x,y、Q(x,y在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于GABGAB的任意两条曲线L、L ，恒有PdxQdyPdxQdy1 2 L L1 2则称曲线积分PdxQdy在GLPdxQdy在GGL的曲线L积分PdxQdy0 LPdxQdy路径无关PQL y x三、二元函数的全微分求积P(x,y)dxQ(x,y)dydu(x,y)PQy x求函数u(x,y)的公式u(x,y)(x,y)(x,y0 0

y)dxQ(x,注：上述积分与积分路径无关。§4对面积的曲面积分一、了解对面积的曲面积分的概念与性质定义：f(,,zdSlim

f(,,)S性质

0

i i i i设cc1 2

为常数则[c1

f(x,z)c2

g(x,c1

f(x,z)dSc2

g(x,z)dS (2)若曲面 则1 2f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS 1 2(3)dSA（A的面积）二、掌握对面积的曲面积分的计算基本思想:化为二重积分例如若曲面的方程为z(x,y) 在xoy坐标面上的投影区域为D ，则xyf(x,y,f[x,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x,y)dxdyx y Dxy§5对坐标的曲面积分一、了解对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面本节我们遇到的曲面都是有向曲面zz(xy表示的曲面分为yy(xzxxyz表示的曲面分为前侧与后侧；闭曲面有内侧与外侧之分。

(,,zdxdylim

)

i i

ixy此极限称为函数R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,y的曲面积分,其中函数R(x,y,z)叫做被积函数叫做积分曲面(,,zdydzlim

)

i i

iyz此极限称为函数P(x,y,z)在有向曲面上对坐标y,z的曲面积分(,,zdzdxlim

)

i i

izx此极限称为函数Q(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,z的曲面积分对坐标的曲面积分的简记形式P(x,z)dydzQ(x,z)dzdxR(x,z)dxdy P(x,z)dydzQ(x,z)dzdxR(x,z)dxdy性质：若曲面1

则2PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 1 2表示与则PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 二、对坐标的曲面积分的计算法基本思想:化为二重积分来计算如果积分曲面由方程zz(x,y)表示 在xoy坐标面上的投影区域为D 则有R(xyz)dxdyR[xyz(xxy Dxy其中当积分前取“”积分前取“”如果积分曲面由方程xx(y,z)表 在yoz坐标面上的投影区域为D 则有P(xyz)dydzP[xyzyyz Dyz其中当积分前取“”积分前取“”如果积分曲面yy(x,z)xozDxz则有Q(xyz