线性代数-课件第二章例考虑线性方程组

一、向量组的秩例考虑线性方

x

y

0(I)

2x

2

y

03x

3

y

0

x

x

x

y

0

2

y

0

3

y

0(II)1

（1，1）2

（1，2）3

（3，3）2

(2,

2)

,3

(3,

3)它们的系数行向量分别如下1

(1,

1)这两组向量有不同的线性相关性：(I)的三1,2

,3

线性相关，且其中任意两个向量都线性相关。在平面上，1,

2

,3

相互共线。方

个方程确定三条过原点且相互重合的直线。1,

2

,3

线性相关，但其中存在两个向量线性无关，例如1,

2

。在平面上，1,

2

不共线。方(II)的三个方程确定三条过原点但前两条不平行的直线。上例似乎表明，这两个向量组线性相关程度的不同决定了它们对应的方

(I)与(II)有不同的性质：对向量组1,

2

,

3

而言，其线性无关的程度为2，而方

（II）的解中

未知数的个数为2(未知数个数)-2

=0对向量组

1,

2

,3

而言，其线性无关的程度为1，而方

（I）的解中

未知数的个数为2(未知数个数)-1

=1两个辅助概念定义设1,2

,...,m是m个n元向量。若其中存在

r个向量线性无关，但任意r

+1个向量都线性相关，则称向量组

1,2,…,

m

的秩为r，记为秩{

1,2,…,

m

}或例4元基本向量组r{

1,

2,

…,

m

}1

(1,0,0,0),

2

(0,1,0,0),

3

(0,0,1,0),

4

(0,0,0,1)的秩为

。例

向量组

,

（

,

）的秩为

。定理

向量组

1,

2,

…,

m

线性相关的充分必要条件是：秩{

1,

2,

…,

m

}

<

m。定义

设向量组

1,

2,

…,

m

的秩为

r，则

1,

2,…,

m

中任意

r

个线性无关的向量都称为向量组1,2,

…,

m

的极大线性无关部分组，简称为极大无关组。性质向量组与其任一极大无关组都等价，等价的向量组的极大无关组也等价。例考虑齐次线性方

x

y

02x

2

y

03x

3

y

0它的系数矩阵

3

1

A

2

的行向量组为1

(1,

1)，2

(2,

2)，3

(3,

3)因为

秩{

1,

2,

3}=

1，且

1线性无关，故

1是一个极大无关组。所以，

2与

3均可由

1线性表出。于是，

方

中后两个方乘可视为多余方程。从原方中删去多余方程，得到原方

的同解方x

y

0定理若向量组1,2

,,s

可由向量组1,

2

,,

t

线性表出，则秩{

1,2

,...,

s

}

秩{

1,

2

,...,

t

}证明只需证明向量组1

,,

s

的极大无关组包含的向量个数不大于向量组1,,

t

的极大无关组包含的向量个数。设可由线性表出。设的极大无关组，则可由线性表出。11

ri

i

,,1

s

,,1r2j

j

,,

1

t

,,

t21rj

j1是

1,,

s

的极大无关组，则

i

,

,,

是1

,1ri,,

线性表出，故线性无关，▌1,,

s又

可由

1,,

t1

r1i

i

,,1r2可由

j

,,

j1r1线性表出，而

i

,,

i所以r1

r2

。r定义’

设i

,i

,...,i1

2一个部分组。若m是向量组1,2

,...,

的（1）i

,i

,...,i线性无关；1

2

r（2）每个

j（

j

=1,

2,…,m）均可由i1

,i2

,...,ir线性表出，则

i

,i

,...,i

是向量组

1,2

,...,m

的一个极大1

2

r无关组。是向量组1,2

,...,mr定义”

设i

,i

,...,i1

2的一个部分组。若1

2（1）i

,i

,...,i

线性无关1

2

r（2）对任意

j

(

j

=1,

2,

…,

m)均可由

i

,i

,r,i

线性表出则

i

,i

,...,i

是向量组

1,2

,...,m

的一个极大1

2

r无关组。例已知向量组

1,2

,...,

s

,

s

1,...,m

。假设每个

j（j

=s+1,s+2,…,m）均可由1,2

,...,

s

线性表出，则秩{

1,2

,...,

s

}=秩{1,2

,...,s

,s1,...,m

}证明设秩1,2

,,s=r，任取1,2

,,s的一个极大无关组i

,i

,,i

，则1,2

,,s1

2

r可由i

,i

,,i

线性表出。1

2

r已知s1,s2

,,m

可由1,2

,...,

s

线性表出，1

2

r故由传递性得

s1,

s2

,...,m

亦可由

i

,i

,,i线性表出。于是，每个

j

(

j

=1,2,

…,

m)

均可由i

,i

,...,i

线性表出。1

2

r1

2

r1

2

r又

i

,i

,,i

线性无关，所以

i

,i

,,i也是1,2

,...,

s

,

s

1,...,m

的一个极大无关组。于是秩{1,2

,...,

s

,

s

1,...,m

}=r。▌例向量组的任意一个线性无关部分组都可扩充为整个向量组的一个极大无关组。二、矩阵的秩例考虑阶梯形矩阵arr

0a22

,,a11,000

0

0

0

0arn

a2n

a1n

a1ra2r

a11

a12a22A

0

0

arr

0

0

其行向量组为1

(a11,2

(0,,

0,

arr

,

,

arn

)r

(0,r1

m

因为1,

2

,,

r

是行向量组的极大无关组，故得A的行向量组的秩=r

=秩(A),

a1n

),

a2n

)a12

,a22

,

结论

阶梯形矩阵的秩等于其行向量组的秩。例设A是3

4

矩阵。对A按行分块，

3

1

A

2

对A作一次初等行变换得到矩阵A

1

3

2 1

2

1123A

3

A

R

3R因为1

,2

,3

可由1,

2

,3

线性表出，故秩1

,2

,3

秩1,2

,3即A

的行向量组的秩

A

的行向量组的秩又

A

3

1

2R

(3)

R12

A

1

3

3

2

1

故A

的行向量组的秩

A

的行向量组的秩结论矩阵的初等行变换不改变行向量组的秩。定理矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。例判断向量组1

(1,4,5,0),2

(3,1,7,11),3

(2,3,0,5)的线性相关性。解分别以向量

1,

2

,3为行构造矩阵

3

行所以，秩(A)=2，即向量组1,

2

,3的秩为2。由此得1,

2

,3线性相关。▌定理设A是方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条件是：A的行（列）向量组线性无关。例已知向量组1

(1,1,1),

2

(1,2,4),

3

(1,3,9)证明：1,2

,3

线性无关。证明令9131

1

1A

[1

,2

,3

]

1

24经验证A满秩，所以1,

2

,3

线性无关。例已知向量组1,

2

,,

n

，求它的秩及一个极大无关组。解令A

[1,2

,,

n

]，设A

行

A

（阶梯形）设A有r

个非零行，则秩{1,,n

}

r

；设A

的主元在第j1,j2

,,jr

列，则

j

,

j

,,

j1

2

r是一个极大无关组。▌例已知向量组

1

(1,1,求向量组1,2

,,5

的秩及其一个极大无关组。解分别以向量1,2

,,5

为列构造矩阵A

[1,

2

,,

5

]3

(1,1,15

(1,3

3

1

5

1

28

91

0

7

2

4

4

0

0

2

0

0

0

0

0

1

5

1

1

1A

行

0因为所以，向量组1,2

,,5

的秩为3，且1,

2

,

4是一个极大无关组。定理设A是m×p矩阵，B是p×n矩阵，则秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}▌向量组线性相关性判别方法的小结：利用齐次方

有无非零解；利用矩阵的秩；利用线性表出；利用其他性质。例设

n

1

n

2

n n

a2bn

,

a1b1A

a2b1

a1b2

a1bn

a2b2

a

b

a

b

a

b其中

ai

,

bi

0 (

i

1,2,,

n)

。求

秩(A)

。解（法一）利用初等变换：0000

0

A

行0

a1b1

a1b2

a1bn

故秩(A)=1；（法二）利用行向量组秩的定义：存在一个线性无关的行向量1

(a1b1,

a1b2

,,

a1bn

)bnaj)bj21，而

ai

,

a

j不全为零。故行向量组的秩为1，由此得秩(A)=1；（法三）利用行向量组的极大无关组：存在一个线性无关的向量

1

，使任意一个行向量

i

均可由

1

线性表出，因为i但任意两个行向量

21,,,(ba)b,aba

均线性相关，这是因为aj

i

a1i

ai

1

(i

2,3,,

n)由此得，1是行向量组的极大无关组。故行向量组的秩为1，所以，秩(A)=1。（法四）利用矩阵秩的性质：因为2

22

12

[b1,

b2

,,

bn

]a

a

a1

2

n

n

1

n

2

n n

n

a1b1

a1b2

a1bn

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

bA

故得秩(A)≤1。又A≠0，故秩(A