保险经济学-第二章课件

第二章保险需求：基础理论

第二章保险需求：基础理论

学习目的通过本章学习，熟悉保险需求模型，学会分析保险需求模型中的收入效应和替代效应，了解保险需求模型的一些扩展形式；了解保险风险分散的机制，掌握帕累托最优保单的分析方法，学会分析再保险市场价格及保险市场的均衡。学习目的2第一节保险需求模型一、简单保险需求模型保险作为一种商品，可以给个人消费者带来效用，但由于保险金的给付是不确定的，因此保险消费的效用是一种期望效用。从期望效用角度探讨个人和企业的保险需求。

第一节保险需求模型一、简单保险需求模型（一）个人的保险需求1.个人购买保险的原因

假设一个风险厌恶的消费者初始财富为200，其中房屋的价值是150，若房屋遭遇火灾后被完全烧毁，则消费者灾后的财富变为50。假设发生火灾的可能性为0.3，则损失的期望值为45(0.3*150)。该消费者在没有购买保险的情况下，其期望效用是：如果一家保险公司以公平保费提供保险，即收取的保费为45，在发生火灾时进行全额赔付，消费者在购买保险后，无论发生火灾还是不发生火灾，最终财富效用都为：（一）个人的保险需求20015550财富效用U(200)U(50)CBDEA图2-1消费者购买保险的效用比较20015550财富效用U(200)U(50)CBDEA图2假设一个消费者具有项风险资产A１，…，Ai，面临风险的概率分别为P１，…，Pi，在购买保险的情况下，消费者期望效用为：

未购买保险的情况下，消费者效用的期望为：

根据詹森不等式，有，即消费者购买保险后得到了更大的效用。i假设一个消费者具有项风险资产A１，…，Ai，2．个人的最优保险购买假设一个消费者具有初始财富，风险事故的损失额是，风险事故发生的概率是，则该消费者购买保险支付的保费为，为保险金额，在购买保险的情况下，消费者的期望效用为：（2-1）2．个人的最优保险购买（2-1）

对（2-1）式求一阶导数，令其为零，可得：

这说明在不存在附加保费的条件下，一个风险厌恶的消费者，购买保险的数量（以保额表示）和其风险资产相等，即购买全额保险。（2-2）对（2-1）式求一阶导数，令其为零，可得：（2-2）若存在风险附加保费，设其比例为，消费者需要支付的保费增加额为，则消费者在购买保险后的期望效用为：

根据最优条件，对（2-3）式求一阶导数，令其为零，可得：（2-3）（2-4）若存在风险附加保费，设其比例为，消费者需（由于，则，进一步可得：由于效用函数为凹函数，得到即该消费者的最优选择为部分保险。由于，则利用图２－２可以直观地说明为什么消费者会选择部分保险：图2-2投保人最优保险购买有损失发生时的财富无损失发生时的财富BDCAOPMN利用图２－２可以直观地说明为什么消费者会选择部分保险：图2-（二）企业的保险需求企业购买保险的动机远比个人消费者复杂，除考虑风险分散因素外，还考虑了税收效应、专业化优势及破产约束等原因。1.税收效应一个企业的边际税率一般随着收入的增加而增加，企业为降低税率会用支出抵扣税前收入，例如保险费就属于可以扣减的费用。下面的例子说明了企业购买保险后税收是降低的。（二）企业的保险需求若一家公司的收益面临风险，如果未投保且收益发生损失的情况下，其收益为OA；未投保且没有发生损失的情况下收益为OC。现假设损失发生的概率为50%，则该公司的期望收益为OB（OB=0.5*OA+0.5*OC）。如果该公司购买了保险，对发生概率为0.5的损失额AC提供保障，采用公平保费，则保费为0.5AC=BC。在购买保险后，公司可以得到确定性收益OB，则该公司应税额为T（OB）。如果不购买保险，则期望纳税额为T（OA）与T（OC）的加权平均值，即图中E（Tax）。显然，E(Tax)大于T(OB)，也就是说，购买保险后，企业降低了应纳税额，从而减少税收。若一家公司的收益面临风险，如果未投保且收益发生图2-3企业购买保险的税收效应BCAOT(OA)T(OB)T(OC)E(TAX)图2-3企业购买保险的税收效应BCAOT(OA)T

2.专业化优势

保险公司的优势在于理赔及防灾防损的专业性。保险公司分布广泛的理赔网络及专业人才使其能够在企业出现损失后较快地完成理赔，从而能够使企业尽早恢复生产。专业化的防灾防损技术也可以帮助企业降低发生损失的概率，而从间接提高了企业的生产效益。

3.破产的约束

由于在公司破产后，公司的剩余资产优先偿还债权人，所以股东会千方百计降低公司破产的风险，购买保险就是方式之一。2.专业化优势若一个企业的价值V，可以用未来资产F的贴现值减去破产成本B的贴现值表示。假设某企业在第年破产的概率为，则第年后被清算的概率是：

该企业的价值可以用（2-4）式表示：

企业购买保险后，是降低的，即企业通过购买保险降低了破产概率，间接增大了企业的价值。（2-4）若一个企业的价值V，可以用未来资产F的贴现值减去破（二、保险需求模型中的收入效应与替代效应（一）保险的财富效应

保险的财富效应是指随着投保人的财富增加，其最优保险购买量如何变化。绝对风险厌恶系数：

其中，Y代表财富水平二、保险需求模型中的收入效应与替代效应经研究发现：绝对风险厌恶函数递减，最优保险购买量随着财富增加而减少；绝对风险厌恶函数递增，最优保险购买量随着财富增加而增加；绝对风险厌恶函数不变，最优保险购买量不随财富增加而变化。经研究发现：证明：绝对风险厌恶函数递增时，投保人的最优保险购买量随着财富的增加而增加，即保险为正常品（其他部分证明方法类似）。

——风险资产

——无风险资产

——保险保额

——费率

——损失X——实际赔付

——最终财富证明：绝对风险厌恶函数递增时，投保人的最优保险购买量则：

期望效用函数最大化。其一阶条件为：对（2-6）式求微分，将期望与微分互换，得到

将（2-5式）代入，进一步可得

整理得：

（2-7）（2-5）（2-6）则：（2-7）（2-5）（2-6）若分母为负，该式的符号就与分子相同。将式（2-5）改写为：若由于，则即：由于在（2-10）式两边同时乘，并求期望可得：（2-8）（2-9）（2-10）（2-11）若分母为负，该式的符号就与分子相同。将式（2-5）（因为（2-6）式，进一步可得：，即.证毕。若的情况,（2-9）式符号改变，两边同时乘，（2-10）符号同时改变，式（2-11）仍然成立。即如果投保人的个人绝对风险厌恶函数递增，则最优保险购买量随着其财富的增加而增加，保险是正常品。因为（2-6）式，进一步可得：（二）收入效应与替代效应的图形分析图2-4保险的替代效用与收入效应

有损失发生时的财富BECAOPMND无损失发生时的财富总效应替代效应收入效应L（二）收入效应与替代效应的图形分析图2-4保险的替代效用1.替代效应保险商品的替代效应是指保险价格的变化所引起的购买保险与不购买保险的相互替代引起的保险购买量的变化。当保险价格下降时，投保人的实际财富发生变化，为单纯考察替代效应，引入在消费者理论中使用的补偿预算线，使得投保人的实际财富保持不变。也就是说，保险价格下降使得投保人的实际财富增加时，假设可以取走一部分财富，使投保人的实际财富保持不变，维持在原有的效用水平上。1.替代效应

从图2-4看，当保费下降时，投保人的预算线CD沿着无差异曲线转动，假设变为，此时消费者的最优选择变为E点。从图2-4看，E点的消费者实际上购买了超额保险（位于45度线以上）。由C点到E点保险购买量的变化即纵轴上OL的长度表示替代效应。

2.收入效应

由于补偿预算线是为了剔除实际收入水平而将真实的预算线AB进行平移的，现在将重新恢复到AB的水平，相应增加的保险购买量LK就是收入效应。2.收入效应

三、简单保险需求模型的扩展

本部分只介绍投保人如何选择最优免赔额。设保险公司支付的金额是随机变量W，免赔为S，赔付为X，有：假定保费是免赔额的一个函数，即，为保费，为附加系数。A为当前财富，在保险合同下的最终财富为随机变量Y：假定随机变量X的密度函数为,则：（2-12）（2-13）三、简单保险需求模型的扩展（2-12）（2-13）消费者最终财富的期望效用为：求一阶导数：求二阶导数为：（2-14）（2-16）（2-15）消费者最终财富的期望效用为：（2-14）（2若E[U(Y)]单调递增，则二阶导数恒为负。最优解S无穷大，即不购买保险；若E[U(Y)]在S取得特定值时达到最大，在该点有：即若E[U(Y)]在某个有限值S处有极值点，则该点一定是最大值点。在S的最优解是有限值的情况下，对（2-17）式求微分，进一步得到：其中D是表达式中第二项的大括号里的系数。令（2-17）（2-18）若E[U(Y)]单调递增，则二阶导数恒为负。最优解S则当时，有，如果为绝对风险厌恶函数，有：则

因而（2-19）（2-21）（2-20）则当时，有，进一步可以得到

最后一个表达式为零，故为正。也就是说，具有递减的风险厌恶函数的投保人，最优免赔额随着他的财富增加而增大。（2-22）进一步可以得到（2-22）第二节风险有效分散与保险市场均衡

一、风险分散和帕累托最优

如何分摊风险才能使保险人和被保险人达到帕累托最优？

Borch（1960）最先提出运用内生方法推导出最优保单，介绍了存在多个风险厌恶者承担损失下的帕累托最优风险分担。Arrow（1971，1973）曾沿用Borch（1960）的框架得出了两种情况下的帕累托最优保单。在本章中，我们将引用Arrow（1973）的内容来对帕累托最优保单进行介绍。

第二节风险有效分散与保险市场均衡一、风险分散和帕累托最（一）最优保险合同的条件假设保险购买者面临着损失为的风险（，T表示标的的全部价值），是损失的概率密度函数（）1.供给的必要条件其中，是指支付函数。（2-23）（一）最优保险合同的条件（2-23）由于管理和其他费用的存在，保险公司在提供保险时是有成本的，这一成本对保险人和被保险人而言是一个“纯损失”。通常用表示赔付支出为I时的保险成本函数，其满足如下关系：其中，表示赔付为零时的固定保险成本部分。

（2-24）由于管理和其他费用的存在，保险公司在提供保险时是其中假定保险人是追求期望效用最大化的理性人，属于风险厌恶型。定义保险人财富的效用函数为，对于所有的都有，，。

假设保险人的初始财富是，保险人初始效用为。在售出了保单后收取的保费为P，如果发生损失x，他的财富变为。则承保后的期望效用为

因为保险人是理性的，其承保的动机是希望增加期望效用，则其提供保单的必要条件为：（2-25）假定保险人是追求期望效用最大化的理性人，属于风险（22．需求的必要条件对于保险需求方，假定投保人是追求其财富期望效用最大化的理性人。设被保险人的财富效用函数用表示，且对任何有：假设被保险人的初始财富水平为，为损失随机变量，表示当损失发生时保险人的赔付，P为投保人支付的保费。那么，投保人形成保险需求的必要条件是什么？2．需求的必要条件当损失发生时，被保险人的最终财富为。如果不购买保险，当损失x发生时，财富减小为。这样，购买保障水平为的保险并支付保费P的必要条件是：为了使保险双方都接受这一合同，第（2-25）式和第（2-26）式应同时满足。接下来，我们将说明满足这些必要条件的可接受的保险合同集合是非空的，并从中寻找帕累托最优保单。我们要在保险人的期望效用是常数的约束条件下，求出使被保险人财富期望效用最大化的保费和支付函数。（2-26）当损失发生时，被保险人的最终财富为即：使得对所有且：其中为常数，且。上述问题可以通过两步来解决。首先，假定P保费为固定的，得出最优保单的形式。其次，选择最优保费P，得出帕累托最优保单。

（2-28）（2-27）即：（2-28）（2-27）（二）帕累托最优保单1．固定保费下的最优保单

定理1帕累托最优保单的形式为如下两种情形之一：有免赔额的保单。其中免赔额

是不予承保的最大损失值。有上限的保单。其中上限值是指保单能够完全赔付的最大损失值。其中表示最优保单。（2-29）（2-30）（二）帕累托最优保单（2-29）（2-30）定义共同保险的边际保险金额为。在（2-29）式和（2-30）式两类保单中，边际保险金额应满足以下关系：

其中；，定义为绝对风险厌恶指数，和是关于的导数。从上面的公式可以看出，共同保险依赖于保险人和被保险人的风险偏好及成本函数。为了说明函数是固定保费P的最优支付函数（即（2-31）式的解），必须对保险人的期望效用函数与k的关系进行考察。因此，可能出现以下三种情况：定义共同保险的边际保险金额为。在（2-29）如果，则满足（2-28）式，是恰当的边界条件，从而是最优支付函数。如果，不满足（2-28）式，则不是方程（2-31）的解。为了提高保险人的期望效用，对某些损失的赔付额要减少，则边界条件在局部区域为负。但由约束条件（2-23）式，有。因此，存在，使得时，。这时，存在免赔额的保单就为最优保单。如果，在保险人期望效用没有违背约束条件（2-28）的前提下，保险人可以适当增加保险金额（即增加了被保险人的期望效用）。恰当的边界条件就为和，且存在，当时，。在此情况下，有上限的保单就为最优保单。如果，则满足（2-28）式，用表示第一种情况下的固定保费，表示方程（2-31）的解函数。因此，并且保险函数有这样的特点：，即（）是没有免赔额或者最高上限条款的保单。对于后两种情况，我们定义：

用表示第一种情况下的固定保费，表示引理1：当，i=1,2,且时，最优保单分别由（2-29）式、（2-31）式或（2-30）式、（2-31）式来决定。其中，。从引理1可以看出：当时，最优保险金额为一免赔额保单；当时，最优保险金额为一有上限保单。引理2：（1）如果，那么对于，（2）如果，那么对于，引理2说明了当时，变化对最优保单的影响：对于免赔额的保单，其关于的导数为负，是递减的；对于有上限的保单，是递增的。

引理1：当，i=1,2,且时，最优保单2．帕累托最优保单求解最优保费，得出帕累托最优保单。定理2对所有的，定理2说明了的保单优于的保单。由引理2知，上限的增加会导致的增加，从而导致保险成本的增加。对于保险人和被保险人来说，保险成本是“纯损失”。因此，任何有上限的保单都是次优的。定理3帕累托最优保单免赔额为0的充分必要条件是，即对于所有，都有。定理3描述了最优免赔额保单的一个非常重要的特征：当且仅当保险成本大于零时，帕累托最优保单才会有免赔额。如果，则（2-31）式小于1，表明随着免赔额的增加，被保险人愿意支付的保费小于保险人所要求的保费。此时，最优保单免赔额是否为零取决于的形式。2．帕累托最优保单（三）有上限的保单实际中，绝大多数保险合同是存在保险金额上限的，如医疗保险、责任保险和财产保险等都会设定一个保险金额上限。那么，是什么原因导致了这种情况的产生？假设保险人从自身利益出发设计了保险合同，那么从理性人的角度分析，保险人设计的保单一定是建立在使其最终财富的预期效用最大化基础上的，即按保费构成的有关规定，保险人收取的保费是保单精算价格的函数。我们假设这个函数为以下形式（其中，是比率系数）：（2-32）（2-33）（三）有上限的保单（2-32）（2-33）定理4

在保险赔付范围为：和（2-33）式的约束条件下，（2-32）式的最优解为，，则满足以下关系：其中，，。

定理4表明：如果一个风险厌恶的保险人选择一份保单来使他的预期效用最大化，那么他所提供的保单应该为有上限的保单，该保单将对上限以内的损失提供保障，而对超出部分不予保障。定理4在保险赔付范围为：和（2-33）下面我们讨论最优解的确定。投保人购买保险的目的是通过保险赔付使其财富在不确定的环境里仍然可以保持一定的水平。设被保险人的最终财富期望效用为常数（设为），那么在约束条件下，其效用函数为：那么，所得到的保单即保险人预期效用最大化的保单就是定理1所描述的保单形式。特别地，如果效用函数为线性的，保费P为一固定值，则上述约束条件变为（其中），这与（2-33）式是等价的。当时，可以得到相应的解。下面我们讨论最优解的确定。二、再保险与保险市场均衡（一）再保险市场模型

假设有n家保险公司，每一家保险公司都有一定数量的保险合同。假设为随机变量，则第（）家保险公司的风险状况由下面两个要素决定：1）风险分布表示第家保险公司风险组合中所支付赔款总额不超过的概率；2）表示第家保险公司可用来支付赔款的资本数量。设保险公司的效用函数为：

（2-34）二、再保险与保险市场均衡（2-34）这里，其中是由下式定义的退化概率分布：根据以上定义，可以看成具有基金数量S、无索赔概率为1时的风险效用函数，称为“公司的货币效用”。假设是连续的并且其一阶导数为正，即效用函数的值随着S的增大而增大。假设在初始状态，保险公司i承诺的赔款总额为，且保险公司的索赔与其他保险公司所发生的索赔无关。那么，在再保险市场上，n家保险公司可以订立再保险协议，重新分配在初始条件下所承担的风险。这里，其中是由下式我们用以下函数来表示这类合同：其中，是保险公司按照i重新分配合同时索赔为时必须支付的赔款。由于所有的赔款都必须赔付，则有：因此保险公司i的效用由

变为

（2-35）我们用以下函数来表示这类合同：（2-35）其中R为n维空间（即（）经作用后的值域空间），是的联合概率分布。把相应的向量（）和（）分别记为x和y。定理5

向量y是帕累托最优的充分必要条件是函数满足下述关系：其中是任意正常数,其中。（2-36）（2-37）其中R为n维空间（即（）经如果存在另一向量，使得对于所有i，不等式都成立，则称优于，否则，称是帕累托最优再保险合同。即如果上述条件满足，的变化不增加任何一家公司的效用，也就是说，以上的条件为充分条件的。在（2-36）、（2-37）中，关于求微分，则有：（2-38）（2-39）如果存在另一向量，使得对于所有i，不等式在（2-38）式两边同时除以并对所有i的求和，联立（2-39）式得到：那么，对于任何i和j有

在（2-38）式两边同时除以并对这表明向量函数是关于变量z的函数，其中。那么，我们可以得出：

上式意味着公司i支付仅取决于，即取决于保险业的总赔付额。因此，任何帕累托最优合同集合就相当于一个共同基金配置。

（2-40）这表明向量函数是关于变量z的函数，其中（二）再保险市场的价格

如果再保险市场价格存在，就意味着可能存在一个关于价格P（）与分布（）的函数。

假设一家保险公司接受了两笔分别具有和风险分布的保险责任，和为相互独立的随机自变量，并且具有概率分布为。无论公司是分别接受两个组合，还是在同一笔交易中接受两个组合，我们都有：我们引入累积量函数来表示相加性条件：（二）再保险市场的价格其中是分布函数的特征函数：考虑到复函数运算起来不方便，我们在下面将采用相应的实函数来表示价格的相加性条件：该累积量函数便由下式给出其中是分布函数的特征函数：对于任何非负值t，可以解释为满足相加条件的价格。对于下列形式的任意线性组合也同样成立：其中都是常数。类似的，包括的任何阶导数也将满足上述条件。由于这种概率分布函数的任何表达式都可以写成累积量函数和的形式，因此我们有：其中，都是常数。对于任何非负值t，可以解释为满足相加条件的价令为退化概率分布，可以看成是索赔额为m（以概率1）的风险分布，则与该分布相关的价格将是：因为对于有。因此，对于连续条件，有。在既定的市场价格下，保险公司处于风险（）下的效用函数为：如果保险公司承担赔款y的概率分布为，那么将得到数额为的收入。若x和y是独立的随机变量，则该公司的效用为：其中是和的卷积。令为退化概率分布，可以看如果保险公司是理性的，就会选择具有风险分布来使得其效用最大，则就可以看作是保险公司在给定价格下愿意供给的再保险金额。令和为和对应的特征函数。则的特征函数就是，假设可导，则有：如果保险公司是理性的，就会选择具有风险分布其中和都是和所对应的累积量。因此再保险市场的价格问题就转化为使下列表达式最大化时的值：

因此，再保险市场最优供给的问题就与某些生产模型在约束条件下的最大化问题相类似。其中和都是和所对应的累积量。因此再（三）均衡价格的存在性问题

我们将对再保险的价格机制进行分析，得出供给和需求达到均衡时的帕累托最优分布。首先，我们从特殊情形开始分析：假设对所有的保险公司来说，“货币效用”可以用下面的函数形式表示：其中，且足够小，使得为增函数。在这里，可以看作对保险公司风险厌恶程度的度量。如果，表示该公司对风险不关注，其唯一目标就是实现最大预期利润。反之，越大，公司对损失关注程度越高。（三）均衡价格的存在性问题根据（2-40）式，有：即最优风险配置就是公司i支付赔款z中的固定份额。因此，当z=0时

（2-41）根据（2-40）式，有：（2-41）

用表示没有赔款发生时公司i的支付（可以为负），即保险公司购买再保险所支付的费用与它出售再保险所得到的收入之差。因为，因此，初始条件下保险公司的效用为：其中和为的均值和方差。用表示没有赔款发生时公司i的支付（可以为通过对简单情形的分析，我们得出：在分布确定的情况下，保险公司的效用仅仅依赖于风险分布的两个累积量（均值和方差）。那么，如果所有保险公司的效用函数都相同，则高阶累积量不会影响帕累托最优分布。用m和V来分别代表的均值和方差，则再保险的支付为：

现在我们考虑两个保险公司i和j，其风险的概率分布分别为和，其中和是随机变量。因此，在再保险合同的帕累托最优集合中，两个公司必须支付共同基金中的固定比例和。通过对简单情形的分析，我们得出：在分布确定的情况

如果两个保险公司达成合约，那么当公司j的赔款为时，公司i须向公司j支付；同样地，如果公司i的赔款额为时，公司j的支付为。当所有的都相等时，即为帕累托最优配置。设和分别为的均值和方差，则根据公司i与j公司的达成的再保险合同中，公司i会得到大小的支付；类似地，公司i必须支付给公司j的数量为。因此公司的净支出将是：对所有的求和可得：即：（2-42）如果两个保险公司达成合约，那么当公司j的赔款为又根据（2-41）式，公司i的支出为：因此我们有：

选择不同的，可产生n个方程，联立（2-43）可以得到n+1个方程，从而可以得出n+1个变量的解。所以可表示为p的函数。

（2-43）又根据（2-41）式，公司i的支出为：（2-43）当时，将方程组关于p微分就得到当时，假设函数是连续的，则当p位于某个包含0的区间内时，为正实数。其中p为价格水平，为保险公司i愿意承担的比例。上面的方程说明了再保险市场均衡条件下价格水平与风险分担的关系。保险经济学-第二章课件本章小结本章从期望效用角度，介绍了个人消费者为什么会购买保险及购买何种形式的保险；然后从税收、专业化及破产成本等方面说明了企业购买保险与个人购买保险行为的不同之处。文中证明：不存在附加保费的条件下，一个风险厌恶的消费者，购买保险的数量（以保额表示）和其风险资产相等，即购买全额保险；若存在风险附加保费，风险厌恶的消费者效用最大化的选择是部分保险。企业购买保险的动机远比个人消费者复杂，除考虑风险分散因素外，还考虑了税收效应、专业化优势及破产约束等原因。本章小结本章从期望效用角度，介绍了个人消费者为什么会购买保险在投保人绝对风险厌恶函数递减的情况下，最优保险购买量随着财富增加而减少；在投保人绝对风险厌恶函数递增的情况下，最优保险购买量随着财富增加而增加；而当绝对风险厌恶函数不变时，最优保险购买量也不随财富增加而变化。保险的替代效应是指保险价格的变化所引起的购买保险与不购买保险（自我保险）的相互替代引起的保险购买量的变化。收入效应是指保险价格的变化使消费者实际财富发生变动从而引起的保险购买量的变化。本章小结在投保人绝对风险厌恶函数递减的情况下，最优保险购买量随着财富本章小结对期望效用模型附加一些约束条件，比如免赔额的设置、风险厌恶程度变化或增加其他风险的情况，讨论投保人的选择如何变化，即可得到保险需求模型的一些扩展形式。对投保人购买保险的必要条件和保险人承保的必要条件的分析，讨论帕累托最优保单的形式，以及有上限保单产生的理论分析。在瓦尔拉斯——卡塞尔方程体系静态均衡的基础上，对再保险市场的均衡模型进行了介绍。本章小结对期望效用模型附加一些约束条件，比如免赔额的设置、风第二章保险需求：基础理论

第二章保险需求：基础理论

学习目的通过本章学习，熟悉保险需求模型，学会分析保险需求模型中的收入效应和替代效应，了解保险需求模型的一些扩展形式；了解保险风险分散的机制，掌握帕累托最优保单的分析方法，学会分析再保险市场价格及保险市场的均衡。学习目的73第一节保险需求模型一、简单保险需求模型保险作为一种商品，可以给个人消费者带来效用，但由于保险金的给付是不确定的，因此保险消费的效用是一种期望效用。从期望效用角度探讨个人和企业的保险需求。

第一节保险需求模型一、简单保险需求模型（一）个人的保险需求1.个人购买保险的原因

假设一个风险厌恶的消费者初始财富为200，其中房屋的价值是150，若房屋遭遇火灾后被完全烧毁，则消费者灾后的财富变为50。假设发生火灾的可能性为0.3，则损失的期望值为45(0.3*150)。该消费者在没有购买保险的情况下，其期望效用是：如果一家保险公司以公平保费提供保险，即收取的保费为45，在发生火灾时进行全额赔付，消费者在购买保险后，无论发生火灾还是不发生火灾，最终财富效用都为：（一）个人的保险需求20015550财富效用U(200)U(50)CBDEA图2-1消费者购买保险的效用比较20015550财富效用U(200)U(50)CBDEA图2假设一个消费者具有项风险资产A１，…，Ai，面临风险的概率分别为P１，…，Pi，在购买保险的情况下，消费者期望效用为：

未购买保险的情况下，消费者效用的期望为：

根据詹森不等式，有，即消费者购买保险后得到了更大的效用。i假设一个消费者具有项风险资产A１，…，Ai，2．个人的最优保险购买假设一个消费者具有初始财富，风险事故的损失额是，风险事故发生的概率是，则该消费者购买保险支付的保费为，为保险金额，在购买保险的情况下，消费者的期望效用为：（2-1）2．个人的最优保险购买（2-1）

对（2-1）式求一阶导数，令其为零，可得：

这说明在不存在附加保费的条件下，一个风险厌恶的消费者，购买保险的数量（以保额表示）和其风险资产相等，即购买全额保险。（2-2）对（2-1）式求一阶导数，令其为零，可得：（2-2）若存在风险附加保费，设其比例为，消费者需要支付的保费增加额为，则消费者在购买保险后的期望效用为：

根据最优条件，对（2-3）式求一阶导数，令其为零，可得：（2-3）（2-4）若存在风险附加保费，设其比例为，消费者需（由于，则，进一步可得：由于效用函数为凹函数，得到即该消费者的最优选择为部分保险。由于，则利用图２－２可以直观地说明为什么消费者会选择部分保险：图2-2投保人最优保险购买有损失发生时的财富无损失发生时的财富BDCAOPMN利用图２－２可以直观地说明为什么消费者会选择部分保险：图2-（二）企业的保险需求企业购买保险的动机远比个人消费者复杂，除考虑风险分散因素外，还考虑了税收效应、专业化优势及破产约束等原因。1.税收效应一个企业的边际税率一般随着收入的增加而增加，企业为降低税率会用支出抵扣税前收入，例如保险费就属于可以扣减的费用。下面的例子说明了企业购买保险后税收是降低的。（二）企业的保险需求若一家公司的收益面临风险，如果未投保且收益发生损失的情况下，其收益为OA；未投保且没有发生损失的情况下收益为OC。现假设损失发生的概率为50%，则该公司的期望收益为OB（OB=0.5*OA+0.5*OC）。如果该公司购买了保险，对发生概率为0.5的损失额AC提供保障，采用公平保费，则保费为0.5AC=BC。在购买保险后，公司可以得到确定性收益OB，则该公司应税额为T（OB）。如果不购买保险，则期望纳税额为T（OA）与T（OC）的加权平均值，即图中E（Tax）。显然，E(Tax)大于T(OB)，也就是说，购买保险后，企业降低了应纳税额，从而减少税收。若一家公司的收益面临风险，如果未投保且收益发生图2-3企业购买保险的税收效应BCAOT(OA)T(OB)T(OC)E(TAX)图2-3企业购买保险的税收效应BCAOT(OA)T

2.专业化优势

保险公司的优势在于理赔及防灾防损的专业性。保险公司分布广泛的理赔网络及专业人才使其能够在企业出现损失后较快地完成理赔，从而能够使企业尽早恢复生产。专业化的防灾防损技术也可以帮助企业降低发生损失的概率，而从间接提高了企业的生产效益。

3.破产的约束

由于在公司破产后，公司的剩余资产优先偿还债权人，所以股东会千方百计降低公司破产的风险，购买保险就是方式之一。2.专业化优势若一个企业的价值V，可以用未来资产F的贴现值减去破产成本B的贴现值表示。假设某企业在第年破产的概率为，则第年后被清算的概率是：

该企业的价值可以用（2-4）式表示：

企业购买保险后，是降低的，即企业通过购买保险降低了破产概率，间接增大了企业的价值。（2-4）若一个企业的价值V，可以用未来资产F的贴现值减去破（二、保险需求模型中的收入效应与替代效应（一）保险的财富效应

保险的财富效应是指随着投保人的财富增加，其最优保险购买量如何变化。绝对风险厌恶系数：

其中，Y代表财富水平二、保险需求模型中的收入效应与替代效应经研究发现：绝对风险厌恶函数递减，最优保险购买量随着财富增加而减少；绝对风险厌恶函数递增，最优保险购买量随着财富增加而增加；绝对风险厌恶函数不变，最优保险购买量不随财富增加而变化。经研究发现：证明：绝对风险厌恶函数递增时，投保人的最优保险购买量随着财富的增加而增加，即保险为正常品（其他部分证明方法类似）。

——风险资产

——无风险资产

——保险保额

——费率

——损失X——实际赔付

——最终财富证明：绝对风险厌恶函数递增时，投保人的最优保险购买量则：

期望效用函数最大化。其一阶条件为：对（2-6）式求微分，将期望与微分互换，得到

将（2-5式）代入，进一步可得

整理得：

（2-7）（2-5）（2-6）则：（2-7）（2-5）（2-6）若分母为负，该式的符号就与分子相同。将式（2-5）改写为：若由于，则即：由于在（2-10）式两边同时乘，并求期望可得：（2-8）（2-9）（2-10）（2-11）若分母为负，该式的符号就与分子相同。将式（2-5）（因为（2-6）式，进一步可得：，即.证毕。若的情况,（2-9）式符号改变，两边同时乘，（2-10）符号同时改变，式（2-11）仍然成立。即如果投保人的个人绝对风险厌恶函数递增，则最优保险购买量随着其财富的增加而增加，保险是正常品。因为（2-6）式，进一步可得：（二）收入效应与替代效应的图形分析图2-4保险的替代效用与收入效应

有损失发生时的财富BECAOPMND无损失发生时的财富总效应替代效应收入效应L（二）收入效应与替代效应的图形分析图2-4保险的替代效用1.替代效应保险商品的替代效应是指保险价格的变化所引起的购买保险与不购买保险的相互替代引起的保险购买量的变化。当保险价格下降时，投保人的实际财富发生变化，为单纯考察替代效应，引入在消费者理论中使用的补偿预算线，使得投保人的实际财富保持不变。也就是说，保险价格下降使得投保人的实际财富增加时，假设可以取走一部分财富，使投保人的实际财富保持不变，维持在原有的效用水平上。1.替代效应

从图2-4看，当保费下降时，投保人的预算线CD沿着无差异曲线转动，假设变为，此时消费者的最优选择变为E点。从图2-4看，E点的消费者实际上购买了超额保险（位于45度线以上）。由C点到E点保险购买量的变化即纵轴上OL的长度表示替代效应。

2.收入效应

由于补偿预算线是为了剔除实际收入水平而将真实的预算线AB进行平移的，现在将重新恢复到AB的水平，相应增加的保险购买量LK就是收入效应。2.收入效应

三、简单保险需求模型的扩展

本部分只介绍投保人如何选择最优免赔额。设保险公司支付的金额是随机变量W，免赔为S，赔付为X，有：假定保费是免赔额的一个函数，即，为保费，为附加系数。A为当前财富，在保险合同下的最终财富为随机变量Y：假定随机变量X的密度函数为,则：（2-12）（2-13）三、简单保险需求模型的扩展（2-12）（2-13）消费者最终财富的期望效用为：求一阶导数：求二阶导数为：（2-14）（2-16）（2-15）消费者最终财富的期望效用为：（2-14）（2若E[U(Y)]单调递增，则二阶导数恒为负。最优解S无穷大，即不购买保险；若E[U(Y)]在S取得特定值时达到最大，在该点有：即若E[U(Y)]在某个有限值S处有极值点，则该点一定是最大值点。在S的最优解是有限值的情况下，对（2-17）式求微分，进一步得到：其中D是表达式中第二项的大括号里的系数。令（2-17）（2-18）若E[U(Y)]单调递增，则二阶导数恒为负。最优解S则当时，有，如果为绝对风险厌恶函数，有：则

因而（2-19）（2-21）（2-20）则当时，有，进一步可以得到

最后一个表达式为零，故为正。也就是说，具有递减的风险厌恶函数的投保人，最优免赔额随着他的财富增加而增大。（2-22）进一步可以得到（2-22）第二节风险有效分散与保险市场均衡

一、风险分散和帕累托最优

如何分摊风险才能使保险人和被保险人达到帕累托最优？

Borch（1960）最先提出运用内生方法推导出最优保单，介绍了存在多个风险厌恶者承担损失下的帕累托最优风险分担。Arrow（1971，1973）曾沿用Borch（1960）的框架得出了两种情况下的帕累托最优保单。在本章中，我们将引用Arrow（1973）的内容来对帕累托最优保单进行介绍。

第二节风险有效分散与保险市场均衡一、风险分散和帕累托最（一）最优保险合同的条件假设保险购买者面临着损失为的风险（，T表示标的的全部价值），是损失的概率密度函数（）1.供给的必要条件其中，是指支付函数。（2-23）（一）最优保险合同的条件（2-23）由于管理和其他费用的存在，保险公司在提供保险时是有成本的，这一成本对保险人和被保险人而言是一个“纯损失”。通常用表示赔付支出为I时的保险成本函数，其满足如下关系：其中，表示赔付为零时的固定保险成本部分。

（2-24）由于管理和其他费用的存在，保险公司在提供保险时是其中假定保险人是追求期望效用最大化的理性人，属于风险厌恶型。定义保险人财富的效用函数为，对于所有的都有，，。

假设保险人的初始财富是，保险人初始效用为。在售出了保单后收取的保费为P，如果发生损失x，他的财富变为。则承保后的期望效用为

因为保险人是理性的，其承保的动机是希望增加期望效用，则其提供保单的必要条件为：（2-25）假定保险人是追求期望效用最大化的理性人，属于风险（22．需求的必要条件对于保险需求方，假定投保人是追求其财富期望效用最大化的理性人。设被保险人的财富效用函数用表示，且对任何有：假设被保险人的初始财富水平为，为损失随机变量，表示当损失发生时保险人的赔付，P为投保人支付的保费。那么，投保人形成保险需求的必要条件是什么？2．需求的必要条件当损失发生时，被保险人的最终财富为。如果不购买保险，当损失x发生时，财富减小为。这样，购买保障水平为的保险并支付保费P的必要条件是：为了使保险双方都接受这一合同，第（2-25）式和第（2-26）式应同时满足。接下来，我们将说明满足这些必要条件的可接受的保险合同集合是非空的，并从中寻找帕累托最优保单。我们要在保险人的期望效用是常数的约束条件下，求出使被保险人财富期望效用最大化的保费和支付函数。（2-26）当损失发生时，被保险人的最终财富为即：使得对所有且：其中为常数，且。上述问题可以通过两步来解决。首先，假定P保费为固定的，得出最优保单的形式。其次，选择最优保费P，得出帕累托最优保单。

（2-28）（2-27）即：（2-28）（2-27）（二）帕累托最优保单1．固定保费下的最优保单

定理1帕累托最优保单的形式为如下两种情形之一：有免赔额的保单。其中免赔额

是不予承保的最大损失值。有上限的保单。其中上限值是指保单能够完全赔付的最大损失值。其中表示最优保单。（2-29）（2-30）（二）帕累托最优保单（2-29）（2-30）定义共同保险的边际保险金额为。在（2-29）式和（2-30）式两类保单中，边际保险金额应满足以下关系：

其中；，定义为绝对风险厌恶指数，和是关于的导数。从上面的公式可以看出，共同保险依赖于保险人和被保险人的风险偏好及成本函数。为了说明函数是固定保费P的最优支付函数（即（2-31）式的解），必须对保险人的期望效用函数与k的关系进行考察。因此，可能出现以下三种情况：定义共同保险的边际保险金额为。在（2-29）如果，则满足（2-28）式，是恰当的边界条件，从而是最优支付函数。如果，不满足（2-28）式，则不是方程（2-31）的解。为了提高保险人的期望效用，对某些损失的赔付额要减少，则边界条件在局部区域为负。但由约束条件（2-23）式，有。因此，存在，使得时，。这时，存在免赔额的保单就为最优保单。如果，在保险人期望效用没有违背约束条件（2-28）的前提下，保险人可以适当增加保险金额（即增加了被保险人的期望效用）。恰当的边界条件就为和，且存在，当时，。在此情况下，有上限的保单就为最优保单。如果，则满足（2-28）式，用表示第一种情况下的固定保费，表示方程（2-31）的解函数。因此，并且保险函数有这样的特点：，即（）是没有免赔额或者最高上限条款的保单。对于后两种情况，我们定义：

用表示第一种情况下的固定保费，表示引理1：当，i=1,2,且时，最优保单分别由（2-29）式、（2-31）式或（2-30）式、（2-31）式来决定。其中，。从引理1可以看出：当时，最优保险金额为一免赔额保单；当时，最优保险金额为一有上限保单。引理2：（1）如果，那么对于，（2）如果，那么对于，引理2说明了当时，变化对最优保单的影响：对于免赔额的保单，其关于的导数为负，是递减的；对于有上限的保单，是递增的。

引理1：当，i=1,2,且时，最优保单2．帕累托最优保单求解最优保费，得出帕累托最优保单。定理2对所有的，定理2说明了的保单优于的保单。由引理2知，上限的增加会导致的增加，从而导致保险成本的增加。对于保险人和被保险人来说，保险成本是“纯损失”。因此，任何有上限的保单都是次优的。定理3帕累托最优保单免赔额为0的充分必要条件是，即对于所有，都有。定理3描述了最优免赔额保单的一个非常重要的特征：当且仅当保险成本大于零时，帕累托最优保单才会有免赔额。如果，则（2-31）式小于1，表明随着免赔额的增加，被保险人愿意支付的保费小于保险人所要求的保费。此时，最优保单免赔额是否为零取决于的形式。2．帕累托最优保单（三）有上限的保单实际中，绝大多数保险合同是存在保险金额上限的，如医疗保险、责任保险和财产保险等都会设定一个保险金额上限。那么，是什么原因导致了这种情况的产生？假设保险人从自身利益出发设计了保险合同，那么从理性人的角度分析，保险人设计的保单一定是建立在使其最终财富的预期效用最大化基础上的，即按保费构成的有关规定，保险人收取的保费是保单精算价格的函数。我们假设这个函数为以下形式（其中，是比率系数）：（2-32）（2-33）（三）有上限的保单（2-32）（2-33）定理4

在保险赔付范围为：和（2-33）式的约束条件下，（2-32）式的最优解为，，则满足以下关系：其中，，。

定理4表明：如果一个风险厌恶的保险人选择一份保单来使他的预期效用最大化，那么他所提供的保单应该为有上限的保单，该保单将对上限以内的损失提供保障，而对超出部分不予保障。定理4在保险赔付范围为：和（2-33）下面我们讨论最优解的确定。投保人购买保险的目的是通过保险赔付使其财富在不确定的环境里仍然可以保持一定的水平。设被保险人的最终财富期望效用为常数（设为），那么在约束条件下，其效用函数为：那么，所得到的保单即保险人预期效用最大化的保单就是定理1所描述的保单形式。特别地，如果效用函数为线性的，保费P为一固定值，则上述约束条件变为（其中），这与（2-33）式是等价的。当时，可以得到相应的解。下面我们讨论最优解的确定。二、再保险与保险市场均衡（一）再保险市场模型

假设有n家保险公司，每一家保险公司都有一定数量的保险合同。假设为随机变量，则第（）家保险公司的风险状况由下面两个要素决定：1）风险分布表示第家保险公司风险组合中所支付赔款总额不超过的概率；2）表示第家保险公司可用来支付赔款的资本数量。设保险公司的效用函数为：

（2-34）二、再保险与保险市场均衡（2-34）这里，其中是由下式定义的退化概率分布：根据以上定义，可以看成具有基金数量S、无索赔概率为1时的风险效用函数，称为“公司的货币效用”。假设是连续的并且其一阶导数为正，即效用函数的值随着S的增大而增大。假设在初始状态，保险公司i承诺的赔款总额为，且保险公司的索赔与其他保险公司所发生的索赔无关。那么，在再保险市场上，n家保险公司可以订立再保险协议，重新分配在初始条件下所承担的风险。这里，其中是由下式我们用以下函数来表示这类合同：其中，是保险公司按照i重新分配合同时索赔为时必须支付的赔款。由于所有的赔款都必须赔付，则有：因此保险公司i的效用由

变为

（2-35）我们用以下函数来表示这类合同：（2-35）其中R为n维空间（即（）经作用后的值域空间），是的联合概率分布。把相应的向量（）和（）分别记为x和y。定理5

向量y是帕累托最优的充分必要条件是函数满足下述关系：其中是任意正常数,其中。（2-36）（2-37）其中R为n维空间（即（）经如果存在另一向量，使得对于所有i，不等式都成立，则称优于，否则，称是帕累托最优再保险合同。即如果上述条件满足，的变化不增加任何一家公司的效用，也就是说，以上的条件为充分条件的。在（2-36）、（2-37）中，关于求微分，则有：（2-38）（2-39）如果存在另一向量，使得对于所有i，不等式在（2-38）式两边同时除以并对所有i的求和，联立（2-39）式得到：那么，对于任何i和j有

在（2-38）式两边同时除以并对这表明向量函数是关于变量z的函数，其中。那么，我们可以得出：

上式意味着公司i支付仅取决于，即取决于保险业的总赔付额。因此，任何帕累托最优合同集合就相当于一个共同基金配置。

（2-40）这表明向量函数是关于变量z的函数，其中（二）再保险市场的价格

如果再保险市场价格存在，就意味着可能存在一个关于价格P（）与分布（）的函数。

假设一家保险公司接受了两笔分别具有和风险分布的保险责任，和为相互独立的随机自变量，并且具有概率分布为。无论公司是分别接受两个组合，还是在同一笔交易中接受两个组合，我们都有：我们引入累积量函数来表示相加性条件：（二）再保险市场的价格其中是分布函数的特征函数：考虑到复函数运算起来不方便，我们在下面将采用相应的实函数来表示价格的相加性条件：该累积量函数便由下式给出其中是分布函数的特征函数：对于任何非负值t，可以解释为满足相加条件的价格。对于下列形式的任意线性组合也同样成立：其中都是常数。类似的，包括的任何阶导数也将满足上述条件。由于这种概率分布函数的任何表达式都可以写成累积量函数和的形式，因此我们有：其中，都是常数。对于任何非负值t，可以解释为满足相加条件的价令为退化概率分布，