必修工程流体力学-第三章流体静力学

第三章流体静力学第1节流体静压强及其特性

第2节流体平衡方程式第3节重力场中流体的平衡帕斯卡原理第4节液柱式测压计第5节液体的相对平衡第6节

第7节液体作用在平面上的总压力

液体作用在曲面上的总压力EXIT

（平衡）状态：流体相对于惯性参考坐标系（地球）没有运动。相对

（相对平衡）状态：流体相对于某非惯性参

考坐标系没有运动。或相对

状态下的流体呈现粘性吗？

dvx

0dy作用在流体上的表面力只有负的法向应力（静压强）。即nnpdA

dFn

pn第一节流体静压强及其特性特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。nnpdA

dFn

pnn——

受力表面的外法线方向。

126xnnxp

y

z

p

BCD

cos

p

,

x

f

1

x

y

z

0BCD

cospn

,

x

BADx，

y，

z

0特性二：

流体中任一点流体静压强的大小与其作用面在空间的方位无关，即px

py

pz

pnx方向平衡方程：简化条件

注意：1、

流体中不同点的压强一般是不等的，p=f(x,y,z)。2、实际流体运动时，由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向应力不再相等。3、理想流体运动时，没有切应力，所以呈静压强分布特性，px

py

pz

pEXIT第二节流体平衡方程式一、平衡方程式x

2

p

x

y

zx

2

p-

p

x

y

z表面力x向受力

p+质量力

fx

x

y

z流体平衡方程yf

1

p

0

yxf

1

p

0

xzf

1

p

0

zf

1

p

0（欧拉方程）EXIT物理意义：在

的流体中，当微小六面体以a点为极限时，作用在该点单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。适用性：对不可压缩和可压缩流体的

及相对

状态都适用。EXIT二、压强差公式

等压面dp

(

fxdx

f

ydy

fzdz)dp

f

ds或x

0，fy

zp

=

f

x,

y,

z

dp

p

dx

p

dy+

p

dz

f

01

p

xx1

p

yy

z

1

p

z

0，f压强差公式等压面微分方程f

ds

0EXIT1、等压面：流体中压强相等的各点所组成的面。2、只有重力作用下的等压面应满足的条件：（1）

；（2）连通；连通的介质为同一均质流体；质量力仅有重力；同一水平面。3、性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面。EXIT三、平衡条件（*）d

p

fxdx

f

ydy

fzdz

右侧必是某函数-

x,y,z

的全微分x

yzf

,

f

,

f

x

y

z因此，或

f

grad（设a是向量场，若存在纯函数u，使a=gradu，则称u为a的势函数。）等势面：势函数相等的诸点组成的面。有

：有势函数存在的质量力。证明：重力是有势的质量力吗？第三节重力场中流体的平衡帕斯卡原理一、绝对压强 计示压强v

g

gh

pv

pa

p绝对压强

p=pa+ρgh计示压强

pe=p-pa=

ρgh真空值

pv=pa-p真空高度绝对压强p：以完全真空(p=0)为基准计量的压强。计示压强pe：以当地大气压(pa

)为基准计量的压强。真空pv：绝对压强小于当地大气压强的负计示压强。EXIT二、流体静力学基本方程式流体静力学基本方程：1

2

g

g

gz

p

C

或

z

p1

z

p2（Δh=z1-z2）4、p2

p1

gh*适用于均质不可压缩流体结论：1、静水压强随深度线性增加。2、

表面下深度相等的各点压强均相等。3、在均质、连通的液体中，水平面必然是等压面。EXIT1、物理意义（压强势能）（位势能）pg

z

c流体中，（总势能）物理意义：在重力作用下的连续均质不可压缩各点单位重量流体的总势能保持不变。EXIT2、几何意义水头：用液柱高度来表示单位重量流体所具有的能量。（压强水头）（位置水头）pg

z

c（静水头）几何意义：在重力作用下的连续均质不可压缩

流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。几何能量z位置水头：基准面到点所在位置的高度。单位重量流体的位势能p/ρg压强水头：压强作用下在完全真空的测压管中测得的高度。单位重量流体的压强势能z+

p/ρg静水头总势能p2

p1

gh帕斯卡原理：施于在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。原理应用：水压机，增压油缸等3、帕斯卡原理盛液容器内A、B和C三点的位置水头、压强水头和静水头。以图示O-O为基准面。zAAzpA

pAg

gzBBzpBg

pBgzCCzgg

pC

pCEXIT试问图中A、B、C、D点的压强水头，静水头。（D点关闭，以D点所在的水平面为基准面）A:0m，6m

B:2m，6m

C:3m，6m

D:6m，6mEXIThv=2m时，求封闭容器A中的真空值。设封闭容器内的绝对压强为p，真空值为pv

。p

pa

-

ghvpv

=

pa

-

p

=

pa

-

(pa

-

ghv

)

=

ghv=9800

2=19.6kPaEXIT第四节液柱式测压计一、测压管测压管：以液柱高度为表征，测量点压强的连通管。适用范围：用于测量较小的压强。A点处压强：pe

ghpv

pa

p

pa

(

pa

gh)

ghEXIT1.

测计示压强2.测真空二、U形管测压计1.

测计示压强EXIT2.测真空适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。a点处压强：pe

2

gh2

1gh1pv

2

gh2

1gh1三、U形管压差计适用范围：测定液体中两点的压强差。分类：油压差计—测很小的压差；空气压差计—测中、低压差；水银压差计—测高压差。pA

pB

1gh2

2

gh

1gh1

2

1

ghEXIT四、倾斜微压计适用范围：用于测定微小的流体压强。h1

l

sinh2

lA1

/

A2h

h1

h2

l

sin

A1

/

A2

p

p2

p1

gh

g

sin

A1

/

A2

l

klk——微压计系数，由仪器几何条件决定。EXIT五、补偿式微压计适用范围：用于精确测量微小压强或压强差，亦用来校准普通的倾斜微压计。p

pa

gh或

pe

ghmm

g

pA

pB

pA

pB

g

（1）（2）

g

（3）

0思考题1、传统实验中，为什么常用水银作U型测压管的工作流体？（1）压缩性小；（2）汽化压强低；（3）密度大。2、水深相差h的A、B两点均位于箱内静水中，连接两点的U形

压差计的液面高差hm，试问下述三个值hm哪个正确？3、两种液体盛在同一容器中，且

g1

g2

，在容器侧壁装了两根测压管，试问图中所标明的测压管中水位对否？例3-1

有一直径为d的圆柱体，其重力为W，在力F的作用下，当淹深为h时，处于

状态，求测压管中水柱的高度H。e

d

2

4

gpe

g

H

hH

pe

h圆柱体底面上各点所受到的计示压强为：p

F

mg例3-2

假设容器A中水面上的计示压强为pe，已知h，h1，h2，h3，水的密度ρ1，的计示压强。的密度ρ3，试求容器B中气体p1e

pe

1g

h

h1

p2e

p1e

3

gh1

pe

1g

h

h1

3

gh1p3e

p2e

2

gh2

pe

1g

h

h1

3

gh1

2

gh2pBe

p4e

p3e

3

gh3

pe

1g

h

h1

3

gh1

2

gh2

3

gh3例3-3

两圆筒用管子连接，内充水银，第一个圆筒的直

径d1，其活塞上受力F1，密封气体的计示压强pe，第二个圆筒的直径d2，其活塞上受力F2，开口通大气。若不计

活塞质量，求平衡时两活塞的高度差h，水银的密度为ρ。1412434F1F2

d

4

dp

p

pe

p1

gh

p2第五节液体的相对平衡相对平衡：各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相对运动的相对

或相对平衡状态。

注意：①流体

或流体与边壁之间都不存在切应力。②相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。EXIT

0a

g1一、水

加速运动容器中液体的相对平衡装着液体的车以等加速度a向右行驶，液面上气体压强为p0，达到相对平衡后，液面与水平面间的夹角α。液体静压强分布规律p

ax

gz

C等压面方程ax

gz

C1液面方程ax

gzs

（0

几何）

p

p（压力）

=-tanp

p0

g

zs

z

p0

ghEXIT例3-4

油轮的前后舱装有相同的油，液位分别为h1和h2，前舱长l1，后舱长l2，前后舱的长度均为b。试问

、后舱隔板上的总压力等于零，即隔板前、后油的深度相同时，油轮的等加速度a应该是多少？l1a h

h

h

hgtan

1

2

l21

1 1

1

1

l

b

h

h

l

b h

h

2

h

?1l2b

h2

h

l2b

h2

h

22

h

?二、等角速度旋转容器中液体的相对平衡EXIT流体静压强分布规律

z

C12等压面方程2r2p

(1

2r2

gz)

C2g2r22g面方程zs

p

p0

g(zs

z)

p0

ghxf

2r

cos

2xf

2r

sin

2

yyfz

g实例1：封闭容器装满液体，顶盖中心开口通大气p

(1

2r2

gz)

C2条件：r

0，z

0，p

pa因此：C

pa2r2p

pa

g(

2g

z)实例2：封闭容器装满液体，顶盖边缘开口通大气2p

(1

2r2

gz)

C条件：r

R，z

0，p

pa2

2

R2因此：C

pa2g2

R2

r2

p

pa

g

z例3-5

液体转速计由直径为d1的中心圆筒和重力为W的活塞及与其连通的两根直径为d2的细管组成，内装水银。细管中心线距圆筒中心轴的距离为R。当转速计的转速变化时，活塞带动指针上、下移动。试推导活塞位移h与转速n之间的关系式。EXIT思考题1、相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？不一定，因为相对平衡的流体存在惯性力，质量力只有重力作用下平衡流体的等压面是水平面。2、若人所能承受的最大压力为

1.274MPa（相对压强），则潜水员的极限潜水深度为多少？3、盛有液体的敞口容器作

落体时，容器壁面AB上的压强如何分布？EXIT例：为测定运动物体的加速度，在运动物体上装直径为d的U形管。现测得管中液面差h=0.05m，两管的水平距离fx

=

-a，fy

=

0，fz

=

-g-

adx

gdz

=dp(ax+

gz)+C

=

p对于

面，在x=0，z=0处，由p＝0可确定C=0；在x=l，z=－h处，为

表面，p＝0，则有a=

h

g

0.05

9.8=1.63m

2

/

sl

0.3L=0.3m，求加速度a。解：

f

dx+

f

dy+

f

dz =

dpx

y

z积分得设有一圆柱形敞口容器，绕其铅锤中心轴做等角速度旋转。已知直径D=30cm，高度H=50cm，水深h=30cm，试求当水面恰好到达容器的上边缘时的转速n。4g

H

-

hR

R

2g

H

-

h0

24

41

H

-

h

0

=

h

-

h0

D2

D22r2zs

=

2g在r=R,z=H-h0n

30

178.34r

/

min设有一圆柱形容器，已知直径D=600mm，高度H=500mm，盛水至h=400mm，剩余部分盛满密度ρ0=800kg/m3的油。容器顶盖中心有一小孔与大气相通。试求当油面开始接触到容器底板时，此容器绕其铅锤中心轴旋转的转速n，和此时顶板、底板上的最大、最小压强值。设顶盖上水与油的交界处半径为r1，由油的体积关系41221H

-

h

D2r H

r1

0.1897m由zs

=2r22g，且r=r1处，z=H，得ω=16.5rad/s，即n=157.64r/min2p

1

2r2

gz

c

油因为，r=0，z=H处，p=0，代入上式得c

油gH在r=0，z=0处，出现底板p油min，p油min

油gH

3918Pa在r=0，z=H处，出现顶盖p油min，即p油min=0(1)

油

压力分布1，

油max2

212在r=r

z=H处，出现顶盖p

，即

p

r油max油

1（2）水压力分布2

gz

cp

1

2r

2水2

2112-

)

r+

gH油

水水由r=r1，z=H处，p水=p油max，c

(在r=D/2，z=0处，出现底板p水max，即p水max=16142Pa在r=D/2，z=H处，出现顶盖p水max，即p水max=11242Pa第六节液体作用在平面上的总压力概念回顾形心：平面几何图形的中心。重心：物体各部分所受重力的作用点。压心：压力作用点。面积矩：面积与它到轴的距离之积，对x轴

ydA

yc

A,

对y轴

xdA

xc

AA

AdAxyyx惯性矩：面积与它到轴的距离的平方之积。Ix

y2

dAAI

y

x2

dAAEXITcI

I

y

2

A

x

cx

cy2dA

y

2

AcI

I

x

2

A

y

cy

cx2dA

x

2

ACCdAxyyxxcyccx1y1平行移轴定理同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩并不相同，如果其中一对轴（x1，y1）是图形的形心轴，则对另一对轴（x，y）来说，有平行移轴公式：Ix

y

dA

I

x

dA2

2yA

AEXIT已知一、总压力的大小任意形状的平面倾斜放置于水中，与水面成α角，面积为A，形心c的坐标为xc，yc，形心c在水面下的深度为hc。dFp

pedA

ghdA

gx

sindAFp

dFp

g

sin

xdAA

A面积矩

xdA

xc

AAFp

gxc

sin

A

ghc

AEXITcx

AxD

xc

IcyycycI

x2dA

I

x2

AA二、总压力作用点（压心）合力矩定理（对ox轴求矩）：Ac

Dx2dA

g

sin

Fp

xD

xdFpA惯性矩因此或

gx

Asin

xEXIT例3-6

矩形两面受到水的压力，左面水深H1，右面水深H2， 与水平面成α角。设的宽度为b，试求作用1022c1

1c

2

22Dccp

0l1p1

3在

上的总压力及其作用点。Fp

Fp1

Fp

2

ghc1

A1

ghc2

A2p

2pIcyx =

x

+

=

+x

A

2

l bl3

12

=

2

ll

2

dl

3l2

H13

p1

3sin

H2p

2

3sin

H1sin

sin

3F

sin

F

l

F

F

F

Fl

Fp1H1

Fp

2

H2h

H1

，A

bl

b；h

H2

，A

bl

b

H2

；思考题浸没在水中的三种形状的平面物体，面积相同。问：哪个受到的静水总压力最大？压心的水深位置是否相同？EXIT第七节液体作用在曲面上的总压力dFp

ρghdAdFpx

cos

dFp

ρgh

cos

dA

ρghdAxdFpy

sin

dFp

ρghsindA

ρghdAz一、总压力的大小和方向EXIT1、水平分力Fpx

g

hdAx

ghc

AxAxAx——A在oyz坐标面上的投影面积。

hc——形心的淹深。结论：等同于侧放平壁面静水压强问题。Fpx的作用线通过Ax的压心。EXIT2、垂直分力Fpz

g

hdAzAz

gVabcd

gVpVp——压力体体积结论：Fpz等于受力曲面上的压力体所包含的液体重。Fpz的作用线通过压力体的重心并指向受压面。EXIT3、总压力1

222ppxpzF

F

FFpztan

Fpx二、总压力的作用点作用点：Fp作用线与曲面的交点。作用线：必通过Fpx，Fpz的交点，但这个交点不一定位于曲面上。三、压力体组成：（1）受压曲面本身；通过曲面周围边缘所作的铅垂面；液面或

液面的延长线。种类：实压力体（有水）和虚压力体（无水）。实压力体Fpz方向向下，虚压力体Fpz'方向向上。EXIT四、几种形式的压力体及其绘制方法曲面压力体及其绘制方法之一曲面压力体及其绘制方法之二曲面压力体及其绘制方法之三曲面压力体及其绘制方法之四曲面压力体及其绘制方法之五曲面压力体及其绘制方法之六EXIT例3-7

有一圆柱扇形

，已知H＝5m，α＝60℃。宽度B＝10m。求作用于曲面ab上的总压力。1

2222px

c

xppxpzH

2FFpzF

gh

A

g

H

BHFpz

gVp

gBAabc

R2

gB

360

2

tan

F

F

tan

Fpx例3-8

贮水容器，壁面上有三个半球形的盖。设d=0.5m，h=1.5m，H＝2.5m。试求作用在每个盖上的液体总压力。444

d23

d

h

d

pz1F

gVp1

g

2

H

12

d2h

d3pz

2F

gVp

2

g

2

H

12

2px3F

ghc

Ax

gHpz3F

g

d

3120020

020

0

00

012Fpzer2gR2g

r2

2例3-9一圆筒（高H0＝0.7m，R=0.4m，内装V=0.25m3的水）以等角速度ω＝10rad/s绕铅直轴旋转。圆筒中心开孔通大气，顶盖的质量m=5kg。试确定作用在顶盖螺栓上的力。V

R

H

V

0h

0

2

r

2p

dA

gr

h0

2rdrF

Fpz

mgRV

r

h

h

?，r

?第八节液体作用在潜体和浮体上的浮力阿基米德原理

gVadbc上表面受力下表面受力铅直总压力Fpz1

gVacbfgFpz

2

-

gVadbfgFpz

=Fpz1

Fpz

2

-

gVadbcFpx

Fpy

0水平总压力浮力FB

=

FpzFB

W，物体浮出液体表面FB

=W，物体在液体中随遇平衡，称为潜体

FB

<W，物体下沉，直至底部，称为沉体2-6

如图2.-41

所示，用U

形管测压计和容器A

连接。已知h1

0.25m

，h2

1.61m,h3

1m

，试求容器中水的绝对压强和真空。解：1-1、2-2

为等压面，所以有

pA

gh2

h1

Hggh2

h3

pa则得pA

pa

gh2

h1

Hg

gh2

h3

101325

33.3kPa

9.807

1.61

0.2513600

9.807

1.611pv

pa

pA

101325

33.3

68.0kPa2-7

如图2-42

所示，盛有油和水的圆形容器顶盖上有F＝5788N

的载荷，已

800

kg

m3oil知

h1

30cm

，

h2

50cm

，

d

0.4m

，

油的密度

，Hg

13600

kg m3

，试求U

形管中水银柱的高度差H。解：由载荷F

引起的作用在油面上的压强为0A

d

2

0.42p

F

4F

4

5788

46082.8Pa由等压面1-1

有pa

p0

oil

gh1

gh2

pa

Hg

gH所以，得：

46082.8

800

9.807

0.313600

9.807H

p0

oil

gh1

gh2Hg

g

.807

0.5

0.4m2-8如图2-43所示，两U形管测压计与盛有水的密封容器连接。已知各液面间的尺寸为h1

60cm

，h2

25cm,h3

30cm,试求下面的U

形管左管柱水银液面距容器中解：由等压面1-1

得：液面的距离h4

。p0

gh1

pa

Hg

gh2由等压面2-2

得：p0

gh4

pa

Hg

gh3上面两式联立，得：1000

0.6

1.28m13550

0.3

0.25

h1

Hg

h3

h2

h4

的2-11

如图2-46

所示，用倾斜微压计测量二通风管道A、B

的压强差。若微压计内的液体为1

810kg

m

3 ，斜管倾斜角1

45，斜管中液柱上升l1

20cm，二通风管道的压差p

是多少？若微压计内的液体为2

998kg

m

的水，

30

，二通风管道的压差p

未变，3

2斜管中液柱上升l2等于多少？由于宽广容器的截面积比斜管的大得多，可以取A1

A2

0。解：1

1

1

11

2

l

gl

sin

1123.4PaA

A1

B

1

1

1(1)Ap

p

p

gh

g

sin

(2)由p

pA

pB

2

gh2

2

gl2

sin2

得：1123.4222

0.2296m

22.96cm9989.807sin

30

g

sinpl

2-17

图2-52

所示为垂直向下运动的盛水容器。已知h

1.5m

，加速度a

4.9

m

s

2

，试确定：（1）容器底部的流体静压强；（2）加速度为何值时容器底部的静压强为大气压强？（3）加速度为何值时容器底部的绝对压强为零？解：p

pe

hg

a(1)

p

pe

g

ah

101325

10

9.8

4.91.5

108.7Pa3(2)

pe

pe

hg

a，

a

g

9.8m

s2(3)0

pe

hg

a，

a

2103

1.5 77.35m

spe

gh

101325

103

9.8

1.5

h2-18

如图2-53

所示，用离心式铸造机铸造车轮。已知铁水的密度

7138kg

m3

，车轮直径d

900mm

，上箱高h

200mm

，上箱及砂重为10kN

，下箱用支座支承。求转速n

600r

min

时，车轮边缘处的计示压强和螺栓群A—A

所受的总拉力。e解：由公式（2-21a）得：

p

g

2

r

2

z

2gr

d

2

0.45m

2n

2

600

20(rad

s)60

60在平面A—A

上，z

h所以，车轮边缘处的计示压强为

0.2

2867kPa2

9.8

2g

2g

2

r

2

z

g

2

r

2

h

71389.8

202

20.452pe

g螺栓群A—A

所受的总拉力为0100002

1

0.2

0.45

8

9.82

2

71389.8

202

20.454

906N

1

hr2

10000

8g

2

2

r

4

2g

h2rdr

10000

r2

2g

2gF

r2-19

如图2-54

所示，充满水的圆筒形容器直径d1

1.2m

，绕中心轴等角速旋转，在顶盖上r0

0.43m

处安装一开口直管管中的水位h

0.5m

。问容器的转速为多少时顶盖上所受静水总压力为零？解：等角速旋转容器中液体相对平衡时，流体静压强的通用公式为

z

C

2

r

2p

g

2g将顶盖上的边界条件z

0

，r

r0

时，p

gh

代入上式，可得

2

r

2202r

r

2

2C

gh

0

于是，得：p

gh

2作用在顶盖上的静水总压力为

16

244222

200

0

r

2d

2

r

r

2d

drdr

d

2

gh

d

2

2

0

2gh

F

2

p2rdr

令F

0

，由上式可以解出0

44.7

rad

s

16

9.8

0.58

0.432

1.228r

2

d

2

16gh

n

60

60

44.7

427

r

min2

22-25

如图

2-59

所示为可绕固定铰链

O

旋转的自动开启式倾斜

，和水平面的夹角为60

。当 一侧的水位H

2m

，另一侧水位h

0.4m时，

自动开启，试求铰链至

下端的距离

x

。解：设

的宽度b2

sin

60p1

c1

1F

gh

A

g

H

H

bbHHH121

bH3c1

1I

cy1c1D1

0.77Hx

x

2

sin

60

sin

60sin

60x

A

2

sin

602

sin

60p2

c2

2F

gh A

gh

h

bbhhh121

bh3c

2

2Icy

2c2D

2

0.77hx

x

2

sin

60

sin

60sin

60x

A

2

sin

60根据力矩平衡原理，得

sin

602

sin

60sin

602

sin

60

xD

2

hb

xh

Hb

xH

D1

x

ghgH

hH

0.77h

0.77H

h

xsin

602

2H x

sin

60将具体数据代入上式，解得：x

0.796m2-28

球形盛水容器如图2-62

所示，球体的内径d

2m

，下半球固定，上半球用螺栓连在下半球上，试求上半球作用在螺栓上的力。解：水平分力为零，垂直分力即为上半球作用在螺栓上的力3

10.26kN4

2

12

24d

d

3

1

gd

3

1

9800

224P

gV

g

d

2FPz2-27

扇形如图2-61

所示，圆心角

45

，右侧水深H

3m

，求静水作用在每米宽

上的总压力。解：

3

2(m)r

H

sin

3sin

452Px

cx

xF

gh

A

g

H

H

1

103

9.81.5

31

44.1kN82

11.36kN

121

103

9.8

1

3

3

21

cos

45

3

2

3

236045

2g

2

H

r

1

cos

r

r

1

gV

1

pFpzPzPxp

F

2

45.5kNF

2F

arctan

Fpx

75.5Fpz2-30

如图2-64

所示，盛水容器的底部有一圆形孔口，用重W

2.452N