理论力学--10动量定理

1动力学普遍定理概述对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解即可。实际问题：联立求解微分方程（尤其是积分问题）非常

。大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动，仅需要研究质点系整体的运动情况。动力学普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理及导出的其它定理。特点：以简明的数学形式表明两种量之间的关系。一种是同运动特征相关的量：动量、动量矩、动能等。一种是同力相关的量：冲量、力矩、功等。从不同侧面对物体的机械运动进行研究，解答动力学问题非常方便简捷。本章研究质点和质点系的动量定理，建立动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式——质心运动定理。§10–1质点系的质心

·

内力与外力§10–2动量与冲量§10–3动量定理§10–4质心运动定理第十章

动量定理3M

mi

ziM

MCC

Cx

mi

xi

,

y

mi

yi

,

z§10-1

质点系的质心

内力与外力一、质点系的质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。质心

C

点的位置：M

mi

r设rc

xci

yc

j

zck

,则4在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心具有更加广泛的力学心与重心是两个不同的概念，质心意义。二、质点系的内力与外力外力：所内力：所的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的

等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：

(i

)(i

)

(i

)i

O

i

0;

M

(F

)

0

或

Mx

(Fi

)

0。F5§10-2动量与冲量一、动量质点的动量：质点的质量与速度的乘积。p

mv动量是瞬时矢量，方向与v

相同。单位是kgm/s。动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例： ：速度大，质量小；

船：速度小，质量大。672.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。i

im

v

p

miri

MrC

p质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。

px

Mv

Cx

MxCC

Mzz

Cz

p

Mvy

Cy

C

Mv

Myp

MvC两边求导:Ci

im

v

Mv质点系动量的投影式：83.刚体系统的动量：第i个刚体：Mi

,vCip

i

CiM

v

i

Ciz

i

CiM

v

M

z

py

MivCiy

Mi

yCi

px

MivCix

Mi

xCiz

p

刚体系统：pi

MivCi投影式：9AB2PC

5

l;

2。例１曲柄连杆机构的曲柄OA以匀

转动，设OA=AB=l,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆,质量各为m

,滑块B的质量为m求：当

=45º时，系统的动量。2

1

lABC

2m,

v

225

l

5

lm,

vC

3

2l解:曲柄OA：m

,vC

1滑块B：连杆AB：（

P为速度瞬心）10p

mvC1

mvC

2

mvC

3p

m(vC

1

sin

vC

2

cos

vC

3

)i

m(vC

1

cos

vC

2

sin

)

j10,sin

103cos

j]21p

2ml[2i

2C

1v

1

l21C

2v

5

lC

3v

2l102 2 21 2 5 1102 2 2

)

j]

2)i

(

p

ml[(

1 2 5 32．力F

是变矢量：（包括大小和方向的变化）I

F

(t2

t1

)dI

Fdtt

2冲量：

I

Fdtt1t

2Ix

Fx

dt

,

I

yt11．力F

是常矢量：二、冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量。冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。11元冲量：t

2

t

2

Fy

dt

,

Iz

Fz

dt

,t1

t13．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．t

2

t

2

t

2I

FRdt

Fi

dt

Fi

dt

Iit1

t1

t1冲量的单位：N

s

kg

m/s2

s

kg

m/s与动量单位同．12§10-3

动量定理质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力—质点的动量定理d(mv

)

Fdt

dI

t2t1（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）

mv1

Fdt

I积分形式：mv2微分形式：（动量的微分等于力的元冲量）一．质点的动量定理ma

Fdt

dtm

dv

F

F

dmv13投影形式：(mvx

)

Fxdtdd(mv

)

Fdt

y

yz

zdtd

(mv

)

Ft

2xx1

x2

xmv

mv

I

F

dtt1t

2

mv1

y

I

y

Fydtt1t

2

Fz

dtt1mv2

y

mv1z

Izmv2

z质点的动量守恒F

0

m

Cv质点受力为零时，动量为常矢量，质点作惯性运动。Fx

0

mvx

C质点在x方向不受力，质点沿x

轴的运动是惯性运动。dtd(mv

)

Fmv

Fdt

I

mv

t2t11215二．质点系的动量定理i(

i

)

F

(e

)(mivi

)

Fidtd

(e

)i(

i

)i

Fi

i(mv

)

F

d

dtidtdp

F

(e

)质点系的动量定理对整个质点系：对质点系内任一质点i，i

0iF质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。16质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．积分形式¬微分形式idtdp

F

(e

)(e

)iidIdt

dp

F

(e

)(e

)p2

p1

Ii

只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传17

递。®投影形式：(

e

)

Fixdp

xdt y

(

e

)iyFdp(

e

)izFdtdtdpzt2(e)

ixt1(e)1x2

xF

dtix

p

I

pt2(e

)

iy(e)1

y2

yF

dtt1t2iy

p

I

pp

2

z

p

1z(e)(e)dt

Fizt1IizFi

0

p

C

(e

)

质点系的动量守恒ix

xF

(e

)

0

p

C质点系动量守恒质点系动量在x方向上守恒[例2]

质量为M的大三角形柱体,

放于光滑水平面上,

斜面上另放，求

角形柱体一质量为m的

角形柱体，初时滑到底时，大三角形柱体的位移。解：选两物体组成的系统为研究对象。由水平方向动量守恒及初始

；则M(v)

mvax

0

M(v)

m(vrx

v)

0受力分析，(e

)

xF

0,xp

水平方向

常量。

m

(a

b)M

m

s

sM

m

rxva

v

vr运动分析，设大三角块速度v，角块相对大三角块速度为vr

，则

角块M

m

mssrxM

m

mvrx

vF

m

N18[例3]

流体流过弯管时，

在截面A和B处的平均流速分别为

v1

,v2

(m/s),求流体对弯管产生的附加动压力。

设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，

密度为

(kg/m3）。解：取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。运动分析：设经过ｔ时间后，流体AB运动到位置ab，

p

pab

pAB

[(

paB

)2

pBb

]

[

pAa

(

paB

)1

](

paB

)2

(

paB

)1p

pBb

pAa

Qt

v2

Qt

v1由质点系动量定理；得

v1

)

W

P1

P2

R19dt2t

0

tdp

lim

p

Q(v静反力R'

(W

P1

P2

)附加动反力R''

Q(v2

v1

)计算R''时，常采用投影形式

Rx

''

Q(v2

x

v1x

)

Ry

''

Q(v2

y

v1

y

)与R''相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动压力．

v1

)

W

P1

P2

R2t

0

tdp

lim

p

Q(vdt即R

(W

P1

P2

)

Q(v2

v1

)20质心运动微分方程21§10-4

质心运动定理p

MvC质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。质点系动量定理：i

(e

)Fdtdp质点系动量：d

Mv

i

(e

)F(e

)Fi

C

dtdt若质点系质量不变：M

dvCMaC

Fi

(e

)质心运动定理idt2M

d

rC

F

(e

)2

221.

投影形式：①直角坐标系iy(e

)ix(e

)F

(e

)CCyCCxMa

Mx

Ma

My

FF

Ma

Mz

Cz

C

iz②自然坐标系

M

dvC

0(e

)(e

)v

2(e

)ibinCnF

Ma

MMaCFFidt

C

iCMa

F

(e

)idt2M

d

rC

F

(e

)2

(e

)ixi

Cii

Cix

M

a

M

x

F(e

)iyi

Cii

Ciy

M

a

M

y

F(e

)izi

Cii

Ciz

M

a

M

z

F2.

刚体系统：或ii

Ci

M

a

F

(e

)(e

)i

Ci

FiM

r设第i

个刚体质量为Mi，质心速度为vCi，则有：投影式：iCMa

F

(e

)idt2M

d

rC

F

(e

)2

233.

：质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，无论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。24若vCx0

0，则xC

常量，质心在x

轴的位置坐标保持不变。质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动,求作用于质点系的外力（包括约束反力）。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。4.

质心运动守恒定律(e

)i

常矢量，质心作匀速直线运动；C C

o

,

vF

0

，则a若若开始系统，即vC

0

0

，则rC

常矢量,质心位置守恒。(e

)

0,ix若

F

常量，质心沿x方向速度不变；则aCx

0,vCx25[例4]

电

的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1,转子质量为m2

,

转子的轴通过定子的质心O1,

但转子的质心O2到O1的距离为e

。求转子以角速度

作匀速转动时，基础作用在电 底座上的约束反力。解:取整个电

作为质点系研究，分析受力，

受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。FNxFNy26a2

x

e

2

cos

t

,

a2

y

e

2

sin

t根据质心运动定理，有(e

)

MiaCix

FixNyt

F

m1

g

m2

g(e

)iyi

Ciy

M

a

F22 2

y

2m

a

m

e

sin

cos

sin2

2Nx

2

Ny

1

2

2t,

F

m

g

m

g

m

e

t

F

m

e可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1=0，a2=e2Nxm

a

m

e

cost

F22

2

x

2a2tFNx27FNy

mmm123112233mxmmxx

'

mmmmmmxx