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高三数学第一轮复习专题基本不等式专题一、重要不等式：推论：证明：二、均值不等式：推论：均值不等式名称的由来：即两正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。例。设，则下列不等式正确的是（）A。B。C。D。三、利用均值不等式求函数最值：★★★1。2。题型一：用均值不等式求函数最值问题。注意事项：①先凑配成和或积为常数的形式，从而得出两个相关项；（一定）②保证两相关项均为正数；(二正)③当且仅当两相关项可以相等时，才可求出函数最值。（三相等）例1。①若；②若。解：①，当且仅当，即时等号成立；最小值为12。②，当且仅当，即时等号成立；最大值为。例2。求最小值。解：（先凑配出两个相关项）当且仅当，即时等号成立，最小值为5。例3。求最大值。解：（先凑配出两个相关项）当且仅当，即时等号成立，最大值为。例4。求的最小值。分析：用分离常数法找出两个相关项。解：当且仅当，即时等号成立，最小值为8。例5。求当时，的值域。解：且当且仅当，即时等号成立。例6。求的最小值。（错解）。（错误原因）当且仅当，即时等号成立，而，取不到2。因此，本题不能用均值不等式求最值。（正确解法）解：在上是减函数。图象形状如对号，因而称之为“对号函数”。画图方法：先找出关键点(a,2a)，画出对号形状。再利用对称性作出左侧图象。题型二：用常数代换法用基本不等式求最值问题例1。已知，求的最小值。解：当且仅当且，即时等号成立，的最小值为。例2。已知，求的最小值。解：当且仅当且，即时等号成立，的最小值为。例3。设为常数，求最小值。解：当且仅当，即时，取到最小值。例4。已知，且满足，求最小值。（18）例5.已知，求的最小值。（）分析：可先化为：。例6.设，，求的最小值。解：可化为：令，则，。当且仅当时，即时，取到最小值。例7.设，求的最小值。（）题型三：用不等关系的转换求条件最值问题：例1。若求最小值、最小值。解：。例2。若求最小值。（答案：）例3。已知求最小值。（答案：36）例4。若实数满足，求的最大值。（答案：）例5。设为实数，若，求最大值。（答案：）题型四：通过消元法化为用均值不等式求最值问题：例1.已知正实数满足：，求的最小值。解：（一）由得：，因，可得：注意：在用换元法进行变量替换时，新的变量要立即求出其范围。当且仅当

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