数学新教材解读及考点剖析专题02 指对数函数为背景的函数模型

专题02指对数函数为背景的函数模型[新教材的新增内容]背景分析：人教A版的第四章指数函数与对数函数，相对旧教材，单独增加了一节函数的应用（二），主要增加了以对数和指数函数为背景的函数应用问题，提高了位置，加大了函数在现实生活中的应用，加大培养学生的数学建模的学科素养.1.（1）指数函数模型：f（x）=abx+c（a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1）；（2）对数函数模型：f（x）=mlogax+n（m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1）；2.三种函数模型的性质函数性质y=ax（a>1）y=logax（a>1）y=xn（n>0）在（0，+∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax[新增内容的考查分析]1.以指数函数为背景的函数模型（1）要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率､银行利率有关的问题都属于指数函数模型；（2）在解决指数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.【考法示例1】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年[答案]C[解析]设第n（n∈N*）年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130（1+12%）n-1>200，则lg[130（1+12%）n-1]>lg200，∴lg130+（n-1）lg1.12>lg2+2，∴2+lg1.3+（n-1）lg1.12>lg2+2，∴0.11+（n-1）×0.05>0.30，解得n>，又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2022年.故选C.【考法示例2】毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为.若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（）A.125天B.100天C.75天D.50天【答案】C解析：由题意知，当时，有.即，得.所以当时，有.即，得.所以.故选：C【考法示例3】碳测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间后的含量间的关系，其中（为半衰期）.已知碳的半衰期为年，，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）（）A.年B.年C.年D.年【答案】C【解析】由题意知：，把数据代入得：故选：C.2.以对数函数为背景的函数模型【考法示例1】十六､十七世纪之交，天文､航海､工程､贸易以及军事快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法成了当务之急，英格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》标志着对数的诞生.对数的思想方法，即把乘法运算转化为加法，在今天仍然具有生命力.以下几组自变量与函数值的部分对应关系中，最接近对数函数上述作用的函数是（）A.B.C.D.【答案】D【详解】根据对数函数（且）的性质，随着的增大，值的变化幅度越来越小，由表中数据可知，只有D选项比较接近对数函数.故选：D【考法示例2】科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2021年6月22日下午宁夏A市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日宁夏市发生里氏4.3级地震，则市地震所散发出来的能量是市地震所散发出来的能量的（）倍.A.2B.10C.100D.1000【答案】C【详解】设自贡地震所散发出来的能量为，余江地震所散发出来的能量，则，故两式作差得，故，.故选：C.【考法示例3】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为_________；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是_________.【答案】【详解】①由题知，，当时，有，整理得，，因为，所以.②由题知，，即，解得，，所以.由，得，，因为函数为上的增函数，所以，故火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是.故答案为：；.3.指数函数和对数运算混合型的问题【考法示例1】草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间内，则的值可能为（参考数据：，）（）A.B.C.D.【答案】C【详解】由题意得，两边取对数得，所以，且，即，对照各选项，只有C符合.故选：C.【考法示例2】某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为.如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据：，，）（）A.B.C.D.【答案】B【详解】前2小时消除了20%的污染物，则故，污染物减少50%，则可得故，故选：B[新增内容的针对训练]1.已知某物种经过年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：，当时，的值表示年年初的种群数量．若年后，该物种的种群数量不超过年初种群数量的，则的最小值为（）（参考值：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出年年初的种群数量，根据已知条件可得出关于的不等式，即可得解.【详解】由题意可知，年年初的种群数量为，由，即，可得，即，故，因为，因此，的最小值为.故选：B．2.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（）(参考数据，)A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】设至少需要过滤的次数为，由题意可得，即，两边同时取对数解不等式即可求解.【详解】设至少需要过滤的次数为，由题意可得，即所以，可得，所以故至少过滤次．故选：C.3.渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（）考数据：A.23分钟 B.33分钟 C.50分钟 D.56分钟【答案】B【解析】【分析】由题得，解方程可得，再解方程即可得答案.【详解】由题意可得，解得．故．令，即，两边同时取对数，故分钟故选：B4.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（）(附：)A.10% B.20% C.30% D.40%【答案】B【解析】【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.【详解】当时，；当时，.所以增大的百分比为：.故选：B.5.中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（）（附：）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.【详解】当时，；当时，信道宽度变为原来倍，.因为.故选：D.6.随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（）(，)A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B【解析】【分析】首先根据条件列式，再通过两边取对数，计算需要的时间.【详解】设至少需要年的时间，则，两边取对数，即.故选：B7.声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.105倍 B.108倍 C.1010倍 D.1012倍【答案】B【解析】【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出，，计算求的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，，，所以，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.故选：B8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.9.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：）【答案】①.；②.3883【解析】【分析】根据指数函数模型得出函数关系式，然后由计算．【详解】设1年后碳14含量为原来的倍，则，，∴，由，即，∴，∴，．故答案为：；3883．10.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的_____【答案】36倍【解析】【分析】题目考察指数型函数的实际应用，设原数量为，根据题意可分别列出30天后和60天后的数量的指数表达式，从而得到倍数关系