文科考研微积分第二章一元函数微分学(“导数”文档)共78张

第二章

一元函数微分学一、导数定义第一种方式：第二种方式：导数的几何意义：切线的斜率；内容提要二、求导法那么根本初等函数的导数；导数的四那么运算；反函数、复合函数求导；隐函数求导；高阶导数,几个简单函数的n阶导数：三、中值定理费马引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.四、导数的运用洛必达法那么——求极限的重要方法.利用函数的一阶导数研讨函数的单调性及其极值.利用函数的二阶导数研讨函数的凹凸性及其拐点.最大值、最小值问题.渐近线问题：典型例题解例1题型1：导数的定义解例2延续：可导：解例3例4(Ⅰ98二3)〔A〕3〔B〕2〔C〕1〔D〕0分析解类题(Ⅰ92二3)例5解(Ⅰ99二3)〔A〕极限不存在 〔B〕极限存在但不延续〔C〕延续但不可导 〔D〕可导选(D).解例6所以解例7(1)(2)及时分别非零因子例8解所以，(A)(B)(C)都正确，应选(D).例9解(A)，(B)两项中分母的极限为0，存在.【答案】应选(D)。反例：存在，题型2：利用导数求曲线的切线和法线方程解例1所以所求切线方程为解例2题型3：普通导函数的计算解例1先化简，所以例2解用对数求导法,解例3(1)式两边再关于x求导：解例4例5解先用待定系数法分解，另:例6解法1由Leibniz公式：得解法2由麦克劳林公式,得例6题型4：可导、延续与极限的关系解例1〔A〕极限不存在 〔B〕极限存在但不延续〔C〕延续但不可导 〔D〕可导解例1〔A〕极限不存在 〔B〕极限存在但不延续〔C〕延续但不可导 〔D〕可导【答案】应选(C).题型4：可导、延续与极限的关系类题题型5：微分的概念与计算解例1两边对x求导，例2解题型6：利用导数确定单调区间与极值解例1选〔A〕.例2解根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0那么是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).例3解(Ⅰ03二4)xyo(A)

一个极小值点和两个极大值点.(B)

两个极小值点和一个极大值点.(C)

两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.例4解选(C).例5解(Ⅱ96六8)两边关于x求导,得对(1)式再求导，得例6解于是所求线段的最短长度为题型7：求函数曲线的凹凸区间与拐点解例1解例2故应选(C).题型8：求函数曲线的渐近线解例1〔A〕1条 〔B〕2条 〔C〕3条 〔D〕4条选(B).〔A〕没有渐近线〔B〕仅有程度渐近线〔C〕仅有铅直渐近线 〔D〕既有程度渐近线又有铅直渐近线选(D).解例2(Ⅰ91二3)例3解〔A〕0条 〔B〕1条 〔C〕2条 〔D〕3条故应选(D).例3解〔A〕0条 〔B〕1条 〔C〕2条 〔D〕3条【评注】例3〔A〕0条 〔B〕1条 〔C〕2条 〔D〕3条解例4〔A〕0条 〔B〕1条 〔C〕2条 〔D〕3条故应选(D).题型9：确定函数方程f(x)=0的根解例1〔A〕2 〔B〕4 〔C〕6 〔D〕8选(B).【评注】xyo证例2证例3的零点的个数。xyo只需一个交点；有两个交点；题型10：确定方程的根例1证(1)分析：用微分方程法,原等式改写为证(2)例1证且由题设及(1)知,例1(Ⅳ95七5)类题例2证[Ⅰ05(18)12](Ⅰ)略.所以例3解【证明】无妨设存在例4题型11：利用导数证明不等式证例1于是证法1【分析】根据所证不等式的方式,可思索用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.例2[Ⅰ04(15)12]证法2例2〔C〕仅有铅直渐近线(2)需求对价钱的弹性；高阶导数,几个简单函数的n阶导数：费马引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.(D)至少有三个不可导点.对(1)式再求导，得(1)式两边再关于x求导：反函数、复合函数求导；题型12：导数在经济上的运用(C)

两个极小值点和两个极大值点.题型6：利用导数确定单调区间与极值(2)需求对价钱的弹性；〔A〕3〔B〕2〔C〕1〔D〕0(2)需求对价钱的弹性；(D)至少有三个不可导点.利用函数的一阶导数研讨函数的单调性及其极值.反函数、复合函数求导；反函数、复合函数求导；〔A〕0条 〔B〕1条 〔C〕2条 〔D〕3条费马引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.〔A〕极限不存在 〔B〕极限存在但不延续〔A〕0条 〔B〕1条 〔C〕2条 〔D〕3条(2)需求对价钱的弹性；〔A〕0条 〔B〕1条 〔C〕2条 〔D〕3条(2)需求对价钱的弹性；【答案】应选(C).题型12：导数在经济上的运用三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；题型4：可导、延续与极限的关系再用单调性进展证明即可.例2题型12：导数在经济上的运用解例1需求弹性为例2解(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价钱的弹性；(3)需求对价钱弹性的绝对值为1时的产量.〔1〕利润函数为例2解(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价钱的弹性；(3)需求对价钱弹性的绝对值为1时的产量.〔2〕〔3〕例3解根据延续复利公式，这批酒在窖藏t年末总收入R的现值为END解例3(Ⅰ05二4)(