2021年内蒙古呼和浩特市中考数学真题 解析版

2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：气体氧气氢气氮气氦气液化温度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化温度最低的气体是（）A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．3a2+4a2＝7a4B．•＝1C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．5．已知关于x的不等式组﹣a﹣1＝无实数解，则a的取值范围是（）A．a≥﹣B．a≥﹣2C．a＞﹣D．a＞﹣26．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（）①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．A．3个B．2个C．1个D．0个7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝48．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝C．d＝D．d＝，π≈4sin22.5°，π≈8sin22.5°，π≈4sin22.5°9．以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）11．因式分解：x3y﹣4xy＝．12．正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2k1+k2＝．），则13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为．（用含π的代数式表示），圆心角为度．14．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是．15．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为，最大值为．16．若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且yn＝3，1，2，1，则其“伴生数列”B是并规定x0＝xn，xn+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算求解：（1）计算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；（2）解方程组．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）19．（10分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级大一大二平均数a众数b中位数优秀率43cmn39.544请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a＝，b＝，c＝，m＝，n；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）21．（7分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．探究3电话计费问题下表中有两种移动电话计费方式．月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）0.25被叫方式一方式二5888150350免费免费0.19考虑下列问题：月使用费固定收：主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示问题中的，y表示问题中的．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）22．（7分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？23．（10分）已知AB是⊙O的任意一条直径．（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．求证：①BC2＝2BD；②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．（1）通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特（填上方或下方），即4ah﹣k20（填大于或小征，可以判断，当顶点在x轴于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：气体氧气氢气氮气氦气液化温度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化温度最低的气体是（）A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气【分析】根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解．【解答】解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，∴其中液化温度最低的气体是氦气．故选：A．2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据三角新内角和可以先求出∠BAC的度数，再根据平角的定义，可知∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，从而可以求得∠EAC的度数．【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：D．3．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：故选：B．4．下列计算正确的是（）A．3a2+4a2＝7a4B．•＝1C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．﹣a﹣1＝【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：3a2+4a2＝7a2，故选项A错误；当a＞0时，＝a＝1，当a＜0时，＝﹣a＝﹣1，故选项B错误；﹣18+12÷（﹣）＝﹣18﹣18＝﹣36，故选项C错误；﹣a﹣1＝故选：D．﹣（a+1）＝＝＝，故选项D正确；5．已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（）D．a＞﹣2A．a≥﹣B．a≥﹣2C．a＞﹣【分析】分别解两个不等式，根据不等式组无实数解，得到关于a的不等式，解之即可．【解答】解：解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，解不等式﹣1≥得：x≥2a+2，∵关于x的不等式组无实数解，∴不等式的解集为2a+2＞﹣2，解得：a＞﹣2，故选：D．6．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（）①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据扇形统计图分别求出各组人数所占比例，进而得出答案．【解答】解：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为：360°﹣90°﹣60°＝210°，∴该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为90：60：210＝3：2：7，故①正确，不符合题意；若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为140÷＝840（人），故②错误，符合题意；120×120×120×＝30（人），＝20（人），＝70（人），故③正确，不符合题意；故选：C．7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4【分析】过D点作DH⊥x轴于H，如图，证明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，∵点A（3，0），B（0，4）．∴OA＝3，OB＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，在△ABO和△DAH中，，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，∴D（7，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．故选：A．8．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝C．d＝D．d＝，π≈4sin22.5°，π≈8sin22.5°，π≈4sin22.5°【分析】根据外接圆的性质可知，圆心各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据圆周长公式可求得．【解答】解：如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，则CP＝PD，且∠COP＝22.5°，设正八边形的边长为a，则a+2×a＝4，解得a＝4（﹣1），在Rt△OCP中，OC＝＝，∴d＝2OC＝由πd≈8CD，，则π≈32（﹣1），∴π≈8sin22.5°．故选：C．9．以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用三角形的中位线的性质、相似多边形的定义及平均数的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分，正确，是真命题，符合题意；②由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场（即与A队赛过），所以E队还没有与B队赛过，故原命题错误，是假命题，不符合题意．③两个正六边形一定相似但不一定位似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少，正确，是真命题，符合题意，正确的有2个，故选：B．10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜【分析】方法1、由二次项系数为1的抛物线判断出抛物线的开口向上，开口大小一定，进而判断出ab＞0，再根据完全平方公式判断出a＝b，且抛物线与x轴只有一个交点时，是ab的最大值的分界点，进而求出m＝n＝，进而求出a＝b＝，即可得出结论．方法2、先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），进而得出ab＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]，再判断出0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，即可得出结论．【解答】解法1、∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，∴此函数的开口向上，开口大小一定，∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b时取等号），即a2+b2≥2ab（当a＝b时取等号），∴当a＝b时，ab才有可能最大，∵二次函数过A（0，b），B（3，a）两点，∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x＝1.5，∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，当抛物线与x轴只有一个交点时，此时m＝n＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2＝x2﹣3x+，∴a＝b＝，∴ab＜（）2＝，∴0＜ab＜，故选：C．解法2、∵二次函数的图象经过（0，b）和（3，a）两点，∴b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]∵0＜m＜n＜3，∴0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，∵m＜n，∴ab不能取，，∴0＜mn＜故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）11．因式分解：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．12．正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2k1+k2＝﹣8．），则【分析】根据待定系数法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），∴﹣2＝k1，﹣2＝，∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，∴k1+k2＝﹣8，故答案为﹣8．13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12π．（用含π的代数式表示），圆心角为216度．【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝∴2πr＝2π×6＝12π，＝6，根据题意得2π×6＝解得n＝216，，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．故答案为：12π，216．14．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是．【分析】用概率乘以动物的总只数即可得出20年后存活的数量；先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.5x，故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为故答案为：0.8a，．＝，15．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为，最大值为2+．【分析】由点E是一边BC上的中点及AE平分∠BAC，可得△ABC是等边三角形，根据菱形ABCD的面积为2，可得菱形的边长为2；求PE+PC的最小值，点E和点C是定点，点P是线段BD上动点，由轴对称最值问题，可求出最小值；求和的最大值，观察图形可知，当PE和PC的长度最大时，和最大，即点P和点D重合时，PE+PC的值最大．【解答】解：根据图形可画出图形，如图所示，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，∵点E是BC的中点，∴△ACE≌△FBE（AAS），∴BF＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF＝AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形；∴∠ABC＝60°，设AB＝a，则BD＝，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝2∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；∵四边形ABCD是菱形，，即＝2，∴点A和点C关于BD对称，∴PE+PC＝AP+EP，当点A，P，E三点共线时，AP+EP的和最小，此时AE＝点P和点D重合时，PE+PC的值最大，此时PC＝DC＝2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DE，；∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝60°，∴CG＝1，DG＝∴EG＝2，∴DE＝，＝，此时PE+PC＝2+即线段PE与PC的和的最小值为；最大值为2+；2+；．故答案为：．16．若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且yn＝并规定x0＝xn，xn+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是0，1，0，1．【分析】根据“伴生数列”的定义依次取n＝1，2，3，4，求出对应的yn即可．【解答】解：当n＝1时，x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，当n＝2时，x1≠x3，∴y2＝1，当n＝3时，x2＝x4，∴y3＝0，当n＝4时，x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生数列”B是：0，1，0，1，故答案为0，1，0，1．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算求解：（1）计算（）﹣1（2）解方程组﹣（﹣）÷+tan30°；．【分析】（1）根据负整数指数幂、二次根式的除法法则和特殊角的三角函数值计算；（2）先把原方程组化简，然后利用加减消元法解方程组．【解答】解：（1）原式＝3﹣（﹣）+×＝3﹣（4﹣2）+1＝3﹣2+1＝2；（2）原方程整理为，①×12﹣②得：13x＝3900，解得x＝300，把x＝300代入①得：y＝400，∴方程组的解为．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，再由BE∥DF，可得∠AEB＝∠CFD，进而判断△ABE≌△CDF；（2）【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），（2）连接ED，BF，BD，由（1）知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形，1°当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，2°当四边形ABCD是菱形时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．（10分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级大一大二平均数a众数b中位数优秀率43cmn39.544请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a＝41.1，b＝43，c＝42.5，m＝55%，n＝65%；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．【分析】（1）由平均数、众数、中位数的定义求解即可，再由两个年级的优秀率进行说明即可；（2）先求出样本合格率，再由参加此次测试活动的总人数乘以合格率即可；（3）画树状图，共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）将一年级20名同学成绩整理如下表：成绩人数251302374392435494502'∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝65%，故答案为：41.1，43，42.5，55%，＝65%；从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，因此估计二年级学生的优秀率高，所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好．（2）∵样本合格率为：＝92.5%，∴估计总体的合格率大约为92.5%，∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：1240×92.5＝1147（人），∴估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过1000人；（3）一年级满分有2人，记为A，B，二年级满分有3人，记为C，D，E，画树状图如图：共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，∴两人在同一年级的概率为＝．20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【分析】过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米，根据直角三角形的三角函数得出x，进而解答即可．【解答】解：如图，过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．由题意知，△ACP为等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴，∴tan55°⋅x＝x+40，∴（tan55°﹣1）⋅x＝40，∴，所以河宽为答：河宽为米．米．21．（7分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．探究3电话计费问题下表中有两种移动电话计费方式．月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）0.25被叫方式一方式二5888150350免费免费0.19考虑下列问题：月使用费固定收：主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）【分析】（1）由题意可知，x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；再根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法就可以得出结论；（2）画出图象，再根据图象解答即可．【解答】解：（1）由题意，可得x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；方式一：y＝；；方式二：y＝故答案为：主叫时间，计费；（2）大致图象如下：由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．22．（7分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？【分析】设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个，根据“购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍”列出分式方程，通过解方程求得A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个；然后设今年购进B足球的个数为a个，再根据“今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半”列出不等式并解答即可．【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．由题意得：，即，∴96（x+12）＝120x，∴x＝48．经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．设今年购进B足球的个数为a个，则有：．∴50.4×50﹣50.4a+54a≤26403．∴6a≤120，∴．∴最多可购进33个B足球．23．（10分）已知AB是⊙O的任意一条直径．（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．求证：①BC2＝2BD；②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．【分析】（1）过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，由垂径定理得出△OPP'是等腰三角形，由轴对称的性质可得出结论；（2）①求出AB＝4，证明△ACB∽△CDB，由相似三角形的性质得出②证明四边形BOCD是边长为2的正方形，由正方形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：如图，设P是⊙O上点A，B以外任意一点，过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，，则可得出结论；若M与圆心O不重合，连接OP，OP′，在△OPP'中，∵OP＝OP′，∴△OPP'是等腰三角形，又PP′⊥AB，∴PM＝MP′，则AB是PP'的垂直平分线，若M与圆心O重合，显然AB是PP'的垂直平分线，这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P'，因此⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）①证明：设⊙O半径为r，由πr2＝4π可得r＝2，∴AB＝4，连接AC，则∠BCA＝90°，∵C是切点，连接OC，∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，而∠OCB＝∠OBC，∴∠DBE＝∠OBC，又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴，∴BC2＝AB•BD＝4BD，∴；②证明：由①证明可知∠CBD＝∠OBC，与切点C的位置无关，又OD⊥BC，∴BD＝OB，又∵△OCB是等腰三角形，∴BC与OD互相垂直平分，又∠BDC＝90°，∴四边形BOCD是边长为2的正方形，∴．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．（1）通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴下方（填上方或下方），即4ah﹣k2＜0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．【分析】（1）先提公因式a，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案；（2）若设x1＜x2且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：①当A，B都在对称轴左侧时，②当A，B都在对称轴右侧时，③当A，B在对称轴两侧时，根据二次函数性质可得答案；（3）令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），根据点的特殊性得，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在两点（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分别位于x轴两侧，然后根据（1）（2）可得答案．【解答】解：（1）y＝ax2+kx+h＝a（x2+x）+h＝a[xx+（）2﹣（）2]+h＝a（x+）2﹣+h＝a（x+）2+，∴顶点式为：，当顶点在x轴下方时，即4ah﹣k2＜0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；故答案为：，下方，＜；（2）若设x1＜x2且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随x的增大而减小，所以点A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随x的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：（3）证明：令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），a＞0，当x1＝0时，y1＝a+b+c；当x2＝﹣1时，y2＝2（a+c）．而（a+c）（a+b+c）＜0，∴y1⋅y2＜0，∴y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在两点（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分别位于x轴两侧，∴由（1）（2）可知，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）顶点在x轴下方，即，又a＞0，∴4a（a+b+c）﹣（b﹣c）2＜0，即：（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．2021年内蒙古通辽市中考数学试卷一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．|﹣2|的倒数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣2．下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y63．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．成绩/分人数91■92■931942953965976988991010012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（）A．3B．4C．5D．66．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC8．定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（）A．B．C．或D．或10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．C．B．D．二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为．12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是．13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为．15．若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是．16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是．17．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为．（用含有正整数n的式子表示）三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）22．（7分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次共抽取名学生，a的值为；（2）在扇形统计图中，n＝，E组所占比例为%；（3）补全频数分布直方图；（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；（2）将△MON绕点O顺时针旋转．①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2021年内蒙古通辽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）1．|﹣2|的倒数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣【分析】先求出|﹣2|＝2，再根据倒数定义可知，2的倒数是．【解答】解：|﹣2|的倒数是，故选：B．2．下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；故选：C．3．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．成绩/分人数91■92■931942953965976988991010012下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）A．平均数，方差B．中位数，方差C．中位数，众数D．平均数，众数【分析】通过计算成绩为91、92分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择．【解答】解：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，故选：C．4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】先计算判别式，再配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解答】解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．5．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（）A．3B．4C．5D．6【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．【解答】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴不可能有6个．故选：D．6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2＝2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：507（1+x）2＝833.6，故选：C．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．8．定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]【分析】将一次函数y＝﹣2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y＝﹣2x+m+3，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A（x1，0），B（x2，0），所以x1与x2是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到，又A，B两点关于原点对称，所以x1+x2＝0，则，得到m＝﹣3，根据定义，得到一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]．【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，设A（x1，0），B（x2，0），联立，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的两根，∴，又∵A，B两点关于原点对称，∴x1+x2＝0，∴，∴m＝﹣3，根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，故选：D．9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（）A．B．C．或D．或【分析】分类画出图形，设BE＝x，由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得BE的长．【解答】解：①当MB'＝MN时，如图：Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，∴AM＝＝2，∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四边形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2﹣x，Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，∴（2﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴BE的长为；②当NB'＝MN时，如图：∵NB'＝MN＝1，∴MB'＝2，设BE＝y，同①可得y＝∴BE的长为，，综上所述，BE的长为故选：D．或．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．C．B．D．【分析】在Rt△APQ中，利用勾股定理可求出PQ2的长度，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式，对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）11．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为1.2×10﹣7．【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7故答案为：1.2×10﹣7．．12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是．【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，画树状图如图：共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，故答案为：．13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为75°．【分析】由“两直线平行，内错角相等”得到∠2＝∠C＝30°，再根据三角形的外角性质求解即可．【解答】解：如图，∠A＝45°，∠C＝30°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝30°，∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，故答案为：75°．14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为．【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，依题意得：故答案为：．．15．若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是﹣1＜a≤1．【分析】解每个不等式得出1≤x＜，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组，解之即可．【解答】解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式2x﹣a＜5，得：x＜∵不等式组只有2个整数解，，∴2＜≤3，解得﹣1＜a≤1，故答案为：﹣1＜a≤1．16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是﹣．【分析】连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB＝120°，求出OM＝1，OA＝2，再根据三角形中位线性质得到MN∥AC，MN＝AC，然后根据三角形相似得到）2＝，故当△ABC的＝（面积最大时，△MBN的面积最大，由C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，求得△ABC的最大值，进而即可求得△MBN的面积最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影部分的最大值．【解答】解：连接OA、OB、OM，如图，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵AM＝BM＝AB＝∴OM⊥AB，，∴tan30°＝∴OM＝，×＝1，∴OA＝2OM＝2，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC，∴△MBN∽△ABC，∴＝（）2＝，∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，∴△ABC的面积最大值为：×∴△MBN的面积最大值为：∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB×（2+1）＝3，，＝﹣＝﹣，∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣，故答案为：﹣．17．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为（+，﹣+）．（用含有正整数n的式子表示）【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y＝x，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点B1的坐标，则A1的横坐标是B1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，则A1B2∥OB1，直线A1B2可看作是直线OB1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1B2的解析式，同样，将它与y＝联立，求出方程组的解，得到点B2的坐标，则B2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点B3的坐标，得出规律．【解答】解：过B1作B1M1⊥x轴于M1，易知M1（1，0）是OA1的中点，∴A1（2，0）．可得B1的坐标为（1，1），∴B1O的解析式为：y＝x，∵P1O∥A1P2，∴A1B2的表达式一次项系数相等，将A1（2，0）代入y＝x+b，∴b＝﹣2，∴A1B2的表达式是y＝x﹣2，与y＝（x＞0）联立，解得B2（1+，﹣1+仿上，A2（2，0）．）．B3（），+，﹣+依此类推，点Bn的坐标为（+，﹣+），故答案为（+，﹣+）．三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．【分析】先计算负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运算即可．【解答】解：原式＝2+1﹣2×+2＝﹣＝．19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝x（x+1）＝x2+x，解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，∵x+1≠0，∴x≠﹣1，当x＝2时，原式＝22+2＝6．20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，∴点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为．21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）【分析】如图，作AD⊥BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，在Rt△ACD中，由三角函数的定义得到AD＝CD，在Rt△ABD中，由三角函数的定义得到BD＝根据BC＝BD﹣CD即可求出AD．，【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的宽度约82m．22．（7分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次共抽取150名学生，a的值为12；（2）在扇形统计图中，n＝144，E组所占比例为4%；（3）补全频数分布直方图；（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．【分析】（1）A组的频数a比B组的频数b小15，而A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出a的值即可；（2）求出“D组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E组”所占的百分比；（3）求出b的值，“C组”频数以及“E组”频数即可；（4）求出样本中成绩在80分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在80分以上的学生人数．【解答】解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，因此调查人数为：15÷（18%﹣8%）＝150（人），a＝150×8%＝12（人），故答案为：150，12；（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，故答案为：144，4；（3）b＝a+15＝27（人），“C组”频数为：150×30%＝45（人），“E组”频数为：150×4%＝6（人），补全频数分布直方图如图所示：（4）1500×＝660（人），答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，根据数量＝总价÷单价，结合该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，根据购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需资金总额为w元，根据所需资金总额＝甲种消毒液的批发价×购进数量+乙种消毒液的批发