2019人教B数学选修45课时分层作业12数学归纳法原理Word含解析

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课时分层作业(十二)数学归纳法原理

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．满足1×2＋2×3＋3×4＋＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n＝( )

A．1B．1或2

C．1,2,3D．1,2,3,4

[剖析]经考据当n＝1,2,3时均正确，但当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4

2＋4×5＝40，而右边＝3×4－3×4＋2＝28，应选C.

2．某个与正整数n有关的命题，若是当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则必然可推适合n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么

应有( )

A．当n＝4时该命题成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝6时该命题不成立

[剖析]若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛

盾，∴n＝4时，该命题不成立．

[答案]C

3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( )

πA.2B．π

3C．2πD.2π

[剖析]n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.

[答案]B

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4．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在考据n

＝1建马上，左边所得的代数式为()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[剖析]当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.

[答案]C

5．一个与自然数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立

推得n＝k＋2时命题也成立，则( )

A．该命题对于n＞2的自然数n都成立

B．该命题对于所有的正偶数都成立

C．该命题何时成立与k取什么值没关

D．以上答案都不对

[剖析]由题意n＝2时成立可推得n＝4,6,8，都成立，因此所有正偶数都成

立，应选B.

[答案]B

二、填空题

1116．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋2＋3＋＋n，则n＋f(1)＋f(2)＋＋f(n

1)＝nf(n)(n∈N＋，且n≥2)第一步要证明的式子是________．

[剖析]n＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2)．

∴第一步要证明的式子是2＋f(1)＝2f(2)．

[答案]2＋f(1)＝2f(2)

7．用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”时，某同学证法

以下：

n＝1时1×2×3＝6能被6整除，∴n＝1时命题成立．

(2)假设n＝k时成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1时，

(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]

k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)．

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k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分别是三个连续自然数．∴其积能被6整除．故n＝k＋1时命题成立．

综合(1)(2)，对所有n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．这种证明不是数学归纳法，主要原因是________．

[答案]没用上归纳假设111(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于________．8．设f(n)＝1＋2＋3＋＋－3n1[剖析]111，因此111由于f(n)＝1＋＋＋＋f(n＋1)＝1＋2＋3＋＋3n－1233n－1＋111，因此f(n＋1)－f(n)＝111＋＋＋＋.3n3n＋13n＋23n3n＋13n＋2[答案]1113n＋＋＋＋23n13n三、解答题n＋9，可否存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能9．已知f(n)＝(2n＋7)·3使m整除f(n)？若是存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明原因．

[解]存在，m＝36.

证明以下：

(1)当n＝1时，f(1)＝36，能被36整除；

(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，f(k)能被36整除，

k即f(k)＝(2k＋7)3·＋9能被36整除，

则当k1kk1n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]3·＋＋9＝3[(2k＋7)3·＋9]＋18(3－1)．

k能被36k1是偶数，因此k1由归纳假设3[(2k＋7)3·＋9]整除，而3－－118(3－－1)能被36整除，

因此f(k＋1)能被36整除．

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由(1)(2)，得f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故能整除f(n)的最大整数是36，

即m＝36.

10．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n

1,2,3，.

(1)求a1，a2；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格证明．[解](1)∵Sn－1是方程x2－nx－an＝0的一个根，a(Sn－1)2－an·(Sn－1)－an＝0，

(Sn－1)2－anSn＝0，

∴当n＝1时，a1＝1，21当n＝2时，a2＝6.(2)由(1)知S1＝11时，n－2－n－n－1)·Sn＝，∴n＝1＝，≥21).①a2n(S(SS0S2－Sn－111＝213此时当n＝2时，S2＝3；当n＝3时，S3＝2＝4.2－22－3由猜想可得，Sn＝n，n＝1,2,3，.n＋1

下面用数学归纳法证明这个结论．

1当n＝1时，a1＝S1＝2，显然成立．

k假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时结论成立，即Sk＝.k＋1

当n＝k＋1时，由①知Sk＋1＝1，2－Sk

∴Sk＋11＝k＋1k＋1＝k＝.k＋2k＋1＋12－k＋1

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∴当n＝k＋1时式子也成立．n综上，Sn＝，n＝1,2,3，，对所有正整数n都成立．

[能力提升练]

1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二

步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应获取( )

．1＋2＋22＋＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k＋1－1

[剖析]由条件知，左边是从20,21向到达2n－1都是连续的，

因此当n＝k＋1时，

左边应为1＋2＋22＋＋2k－1＋2k，从右边应为2k＋1－1.

[答案]D

2．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)·(n＋n)＝2n×1×3××(2n－1)时，从

“k到k＋1”左边需增乘的代数式是( )

2k＋1A．2k＋1B．k＋12k＋2C．2(2k＋1)D．k＋1[剖析]当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)··(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k2k＋12k＋2＋2)(k·＋3)··(k＋k)·＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)··(k＋k)·2(2k＋1)．k＋1

[答案]C

3．设平面内有n条直线(n≥2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线但是同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n

＞4时，f(n)＝________(用n表示)．

[剖析]f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个

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数等于原来直线的条数．

因此f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，，f(n)－f(n－1)＝n－1.

累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋＋(n－1)

2＋n－1＝(n－2)．2

1因此f(n)＝2(n＋1)(n－2)．

1[答案]52(n＋1)(n－2)

4．已知△ABC的三边长是有理数．

(1)求证：cosA是有理数；

(2)求证：对任意正整数n，cosnA和sinA·sinnA都是有理数．

AB2＋AC2－BC2

[证明](1)由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cosA＝2AB·AC是

有理数．

(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．

①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，

从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数．

②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．

当n＝k＋1时，由

cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，

sinA·sin(k＋1)A

sinA·(sinA·coskA＋