高中数学必修4平面向量知识点总结计划常见题型

高中数学必修4平面向量学习知识点总结计划及常有题型高中数学必修4平面向量学习知识点总结计划及常有题型1/25高中数学必修4平面向量学习知识点总结计划及常有题型高中必修4平面向量知识点归纳及常有题型一.向量的基本见解与基本运算1向量的见解：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c⋯来⋯表示，或用有uuur向线段的起点与终点的大写字母表示，如：ABuuur几何表示法AB，a；坐标表示法axiyj(x,y)向量的大小即向量的模（长度），记作uuur|AB|即向量的大小，记作｜a｜向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向rr量平行零向量a＝0｜a｜＝0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在相关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的差异）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a为单位向量｜0a｜＝10④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都能够移到同素来线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量能够进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总能够平移到同素来线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点能够任意采用，现在必定区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab大小相等，方向相同(,)(,)x1yxy122x1y1x2y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuurruuurr设ABa,BCbr，则a+buuuruuur=ABBCuuur=AC（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法规”与“平行四边形法规”：（1）用平行四边形法规时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法规的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法规；当两向量是首尾连接时，用三角形法规．向量加法的三角形法规可实行至多个向量相加：uuuruuuruuuruuuruuuruuurABBCCDLPQQRAR，但这时必定“首尾相连”．3向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：ab能够表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：若是e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底27特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差异，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有差异，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对地址相关学习本章主要成立数形转变和结合的见解，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的相关地址关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量可否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合观察，是知识的交汇点二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相rr同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内r的任向来量arrr，由于ar与数对(x,y是)一一对应的，因可表示成axiyj此把(x,y叫)做向量ar的坐标，记作ar=(x,y，)其中x叫作ar在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对地址相关2平面向量的坐标运算：(1)若rrax1,y1,bx2,y2，则rrabx1x2,y1y2(2)若Ax1,y,Bx,y，则122uuurABx2x1,y2y1(3)若ar=(x,y，)则ar=(x,y)(4)若rrax1,y1,bx2,y2，则rra//bxyxy01221(5)若rrax1,y1,bx2,y2，则rrabxxyy1212rr若ab，则0x1xyy2123向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型向1平行四边形法rrab(xx,yy)1212abba量则(ab)ca(bc)的2三角形法规uuuruuuruuurABBCAC加法向rr三角形法规ab(x1x2,y1y2)aba(b)量uuuruuurABBA的uuuruuuruuurOBOAAB减法向a是一个向量,a(x,y)(a)( )a量满足:)aaa(的>0时,a与a同(ab)ab乘向;a∥bab法<0时,a与a异向;=0时,a=0向a?是一个数brra?bxxyy1212a?bb?a量a或b0时,0(a)?ba?(b)(a?b)的a?=0b(ab)?ca?cb?c数a且b0时,0a2|a|,222|a|xy量a?b|a||b|cosa,b|a?b||a||b|积三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量ar与br，它们的夹角为，则ar·br=︱ar︱·︱br︱cos叫做ar与br的数量积（或内积）规定0rar0r2向量的投影：︱brrrab︱cos=r∈R，称为向量b|a|在ar方向上的投影投r方向上的投影投影的绝对值称为射影rr3数量积的几何意义：ar·b等于ar的长度与b在ar方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：rrrr2||2aaaa5乘法公式成立：rrrrrrrr222abababab2；rrrrrr2rrr2r2222abaabba2abb6平面向量数量积的运算律：rrrr①交换律成立：abbarrr

rrr②对实数的结合律成立：abababRrrrrrrr③分配律成立：abcacbcrrrcabrrrrrr；特别注意：（1）结合律不成立：abcabcrrrr（2）消去律不成立abacrr不能够获取bcrr=0不能够获取ar=0r或br=0r

（3）ab7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量rrr，则ar·ba(x,y),b(x,y)1122=xxyy1212r8向量的夹角：已知两个非零向量ar与buuur，作OAuurur=ar,OB=b,则∠AOB=（r018000）叫做向量ar与b的夹角rrrcos=cosa,babr?r=ra?b2x1xx122y1yy122x22y2r当且仅当两个非零向量ar与br同方向时，θ=00，当且仅当ar与b反方向r时θ=1800，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r9垂直：若是ar与brr的夹角为900则称a与br垂直，记作ar⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝O0x1xyy平面向量数量积的性质212题型1.基本见解判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不能能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。uuuruuur（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。uuuruuur（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）由于向量就是有向线段，所以数轴是向量。r（7）若ar与br共线，br与cr共线，则ar与c共线。rr（8）若mambrr，则ab。rr（9）若mana，则mn。r（10）若ar与br不共线，则ar与b都不是零向量。rrrrrr（11）若ab|a||b|，则a//b。rrrr（12）若|ab||ab|rr，则ab。题型2.向量的加减运算r1.设ar表示“向东走8km”,brr表示“向北走6km”,则|ab|。uuuruuuruuuruuuruuuur2.化简(ABMB)(BOBC)OM。uuur3.已知|OA|5uuur,|OB|3uuru,则|AB|的最大值和最小值分别为、。uuuruuuruuuruuurruuurr为与的和向量，且ACa,BDb4.已知ACABADuuur，则ABuuur，AD。5.已知点C在线段AB上，且题型3.向量的数乘运算uuuruuur3ACAB5uuur,则ACuuruBCuuur，ABuuruBC。rrrr1.计算：（1）3(ab)2(ab)rrrrrr（2）2(2a5b3c)3(2a3b2c)rr2.已知a(1,4),b(3,8)题型4.作图法球向量的和，则rr13ab2。rr已知向量a,bra，以以下列图，请做出向量rr13ab2和rr32ab2。rb题型5.依照图形由已知向量求未知向量uuuruuuruuur1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量ABAC，表示AD。uuurruuurr2.在平行四边形ABCD中，已知ACa,BDbuuuruuur，求ABAD和。题型6.向量的坐标运算uuur1.已知AB(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是。uuur2.已知PQ(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是。r3.若物体受三个力F1(1,2)r,F2(2,3)r,F3(1,4),则合力的坐标为。r4.已知a(3,4)r，b(5,2)rr，求abrr，abrr，3a2b。r5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)uuur与AB相等，求x,y的值。uuur6.已知AB(2,3)uuur，BC(m,n)uuur，CD(1,4)uuur，则DA。uuuruuurr7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)，且AB3BC0uuur，求OC的坐标。题型7.判断两个向量可否作为一组基底uruur1.已知e1,e2是平面内的一组基底，判断以下每组向量可否能构成一组基底：uruururuururuuruurururuuruururuuruurur和4C.A.e1e2e1e23e2ee6ee13e2e23e1eee和B.和D.和1221221r2.已知a(3,4)，能与ar构成基底的是（）34A.(,)5543B.(,)5534C.(,)554D.(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标uuur1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2uuur，xOA150o，求OA的坐标。uuur2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|43uuur，xOA60o，求OA的坐标。题型9.求数量积rr1.已知|a|3,|b|4r，且ar与brr的夹角为60o，求（1）abrrr，（2）a(ab)，（3）rrr1(ab)b2rrrr，（4）(2ab)(a3b)。rr2.已知a(2,6),b(8,10)rrrr，求（1）|a|,|b|，（2）abrrr，（3）a(2ab)，rrrr（4）(2ab)(a3b)。题型10.求向量的夹角rr1.已知|a|8,|b|3rr，ab12r，求ar与b的夹角。rr2.已知a(3,1),b(23,2)r，求ar与b的夹角。3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC。题型11.求向量的模rr1.已知|a|3,|b|4r，且ar与brrrr的夹角为60，（2）|2a3b|o，求（1）|ab|o，求（1）|ab|。rr2.已知a(2,6),b(8,10)rrrr，求（1）|a|,|b|，（5）|ab|，（6）rr1|ab|2。rrrr，，|3a2b|33.已知|a|1|b|2rr，求|3ab|。r题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：rerar】|a|r1.与a(12,5)平行的单位向量是。2.与rm1(1,)2平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直r1.已知a(6,2)r，b(3,m)rr，当m为何值时，（1）a//brr？（2）ab？r2.已知a(1,2)r，b(3,2)rr，（1）k为何值时，向量kabrr与a3b垂直？rr（2）k为何值时，向量kabrr与a3b平行？rrrrr是非零向量，abac3.已知arr，且bcrrr，求证：a(bc)。题型14.三点共线问题1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。2.设uuurrruuurrruuurrr2AB(a5b),BC2a8b,CD3(ab)2，求证：A、B、D三点共线。uuurrruuurrruuurrr3.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则必然共线的三点是。4.已知A(1,3)，B(8,1)，若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值。5.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，能否存在常数t，使uuuruuuruuurOAtOBOC成立？题型15.判断多边形的形状uuurr1.若AB3euuurruuuruuur，CD5e，且|AD||BC|,则四边形的形状是。2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形。3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形。uuuruuuruuur4.在平面直角坐标系内，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用r1.已知a(1,0)r，b(2,1)rr，当k为何值时，向量kabrr与a3b平行？r2.已知a(3,5)rr，且abr，|b|2r，求b的坐标。rrr3.已知a与b同向，b(1,2)rrr，则ab10，求a的坐标。r3.已知a(1,2)r，b(3,1)r，c(5,4)r，则crarb。r4.已知a(5,10)r，b(3,4)r，c(5,0)rr，请将用向量a,b表示向量cr。r5.已知a(m,3)r，b(2,1)r，（1）若ar与b的夹角为钝角，求m的范围；r（2）若ar与b的夹角为锐角，求m的范围。r6.已知a(6,2)r，b(3,m)r，当m为何值时，（1）ar与br的夹角为钝角？（2）ar与b的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD的极点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，AB2CD，求点C的坐标。8.已知平行四边形ABCD的三个极点的坐标分别为A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求第四个极点D的坐标。o9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实质航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实质速度。10.已知ABC三个极点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，uuuruuur（1）若ABAC0，求c的值