zw-高一数学人教版必修2课件2.3.1直线与平面垂直判定

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老师人教A版·高中数学·必修二智维私教

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学必修②·

人教A版新课标导学第二章点、直线、平面之间的位置关系直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定1自主预习学案2互动探究学案3作业学案1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的

任意一条

直线都垂直，直线l与平面α互相垂直就说记⊥α有关概念直线l叫做平面α的

垂线

，平面α叫做直线l的

垂面．它们唯一的公共点P叫做

垂足．图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直[归纳总结]

(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条

相交

直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，

a∩b＝P

⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直[归纳总结]

直线与平面垂直的判定定理告诉

：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常

其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的

叫做斜足．过斜线3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平垂面直

，这因此，直线与平面所成的角的范围是

．(2)规定：一条直线垂直于平面，

说它们所成的角等于

；一条直线和平面平行，或在平面内，

说它们所成的角9等0°于

.交点上斜足以外的一点向平面引垂线，过

和

的直线叫做斜线在这个平面上的射垂影足．平面斜的足一条斜线和它在平面上的射影所成的

，叫做这条直线和这个平面所锐成角的角．0°[0°，90°][解析]

∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．导学号090244681．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l

与m不可能A．平行

B．相交

C．异面

D．垂直(

A)2．直线

l

与平面

α

内的无数条直线垂直，则直线

l

与平面

α

的关系是导学号09024469(

D)A．l

和平面α相互平行C．l在平面α

内B．l

和平面α相互垂直D．不能确定[解析]

如下图所示，直线

l

和平面

α

相互平行，或直线

l

和平面

α

相互垂直或直线

l

在平面

α

内都有可能．故选

D．3．(2016～2017·福州高二检测)在△ABC

中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P

到BC

的距离是导学号09024471(

D

)A．

5

B．2

5

C．3

5[解析]

取

BC

的中点

D，∵AB＝AC，∴AD⊥BC.D．4

5又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩AD＝D，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD.∵在△ABC

中，AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4，∴PD＝

PA2＋AD2＝4

5.故选D．互动探究学案命题方向1

⇨线面垂直的判定如图，P

为△ABC

所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°AE⊥PB

于E，AF⊥PC

于F.求证：BC⊥平面PAB；AE⊥平面PBC；PC⊥平面AEF.导学号09024472[思路分析]

本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系

需要哪个呢？

需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析]

(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.『规律方法』

线面垂直的判定方法：(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．〔

练

〕如图，在△ABC

中，∠ABC＝90°，D

是

AC

的中点，S

是△ABC

所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；导学号09024473(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[解析]

(1)因为

SA＝SC，D

是

AC

的中点，所以

SD⊥AC.在

Rt△ABC

中，AD＝BD，由已知

SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D

为AC

的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.命题方向2

⇨直线与平面所成的角在正方体ABCD－A1B1C1D1

中，导学号09024474求直线A1C

与平面ABCD

所成的角的正切值；求直线A1B

与平面BDD1B1

所成的角．[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[解析]

(1)∵直线

A1A⊥平面

ABCD，∴∠A1CA

为直线

A1C

与平面

ABCD

所1

12成的角，设A

A＝1，则AC＝

2，∴tan∠A

CA＝

2

.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1

中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO

为直线A1B

与平面BDD1B1

所成的角，1

12

21

1

1

1在

Rt△A

BO

中，A

O＝1

C

＝A

B，∴∠A

BO＝30°.A

1即A1B

与平面BDD1B1

所成的角为30°.『规律方法』求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．〔 练习

2〕如图，在三棱柱

ΑΒC－A1B1C1

中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1

在底面ABC

的射影为BC

的中点，D

是B1C1

的中点．导学号09024475证明：A1D⊥平面A1BC；求直线A1B

和平面BB1C1C

所成的角的正弦值．[解析]

(1)取BC的中点E，连接A1E、DE、AE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC，由D、E分别是B1C1、BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE，又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接

BF.因为

A1E⊥平面

ABC，所以

BC⊥A1E.因为

BC⊥AE，所以

BC⊥平面

AA1DE.所以

BC⊥A1F，A1F⊥平面

BB1C1C.所以∠A1BF

为直线

A1B

与平面

BB1C1C

所成的角．由

AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得

EA＝EB＝

2.由∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得

A1A＝A1B＝4，A1E＝

14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝

2，1

17∠DA

E＝90°，得

A

F＝

2

.17所以

sin∠A

BF＝

8

.逻辑推理不严密致误如图，在三棱柱

ABC－A1B1C1

中，AA1⊥平面

ABC，AC＝BC，D是AB

的中点，连接

CD.求证：CD⊥平面

ABB1A1.导学号

09024476[错解]

∵AA1⊥平面

ABC，CD⊂平面

ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.[错因分析]

错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．[正解]

∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.[警示]

用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.〔

练习

3〕如图，在三棱柱

ABC－A1B1C1

中，侧棱

AA1⊥底面

ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A2C1＝90°，D

为BB1

的中点．求证：AD⊥平面

A1DC1.导学号

09024477[错解]

在三棱柱中，∵AA1⊥平面ABC，∠B1A1C1＝90°，∴AD⊥A1C1；又从图可知AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥C1D，∴AD⊥平面A1DC1.[辨析]

前半部分，虽然由罗列条件能够推证出AD⊥A1C1，但推理过程不严密；后半部分AD⊥平面BCC1B1纯属臆想，无任何推理依据．[分析]

先推证C1A1⊥平面ABB1A1得出AD⊥C1A1；再在矩形ABB1A1中，通过计算证明AD⊥A1D.[证明]

∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝

2，A1D＝

2，AA1＝2.1∴AD2＋A1D2＝AA2，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.1．线线垂直和线面垂直的相互转化(2016～2017·湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1

的直三棱柱ABC－A1B1C1

中，D

是BC

的中点.导学号09024478求证：AD⊥平面BCC1B1；求直线AC1

与平面BCC1B1

所成角的正弦值．[解析]

(1)证明：直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解：连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D

即为直线AC1

与平面BCC1B1

所成角．121在

Rt△AC

D

中，AD＝

3

AC

＝

2，，16sin∠AC

D＝

AD

＝

，AC1

41

1

1即直线

AC

与平面

BCC

B

所成角的正弦值为

64

.〔点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.导学号09024479[证明]

∵AD⊥平面

ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.2．关于垂直的存在型探索性问题在矩形

ABCD

中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面

ABCD，且

PA＝1，边

BC

上是否存在点

Q，使得

P

D？为什么？

导学号

09024480[思路分析]

关键是将P

D转化为DQ⊥AQ，再使DQ⊥AP即可，但AD＝BC＝a是变化的，故需对a进行

．[解析]

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥PQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQ⊥DQ.∴当a≥2时，才存在点Q，使得P

D.[点评]

本题运用平面几何知识，借助以AD为直径的圆与BC交点的个数推断点Q是否存在．①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直(

A

)A．①③

B．①②

C．②④

D．①④[解析]

三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.1．如果一条直线垂直于一个平面内的：导学号090244812．如图，在长