用282-解直角三角形应用举例课件1

新人教版九年级数学(下册)第二十八章

锐角三角函数

用数学视觉观察世界用数学思维思考世界28.2.2应用举例新人教版九年级数学(下册)第二十八章用数学视觉观察世界28在直角三角形中,除直角外,由已知两元素

求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠

A＋∠

B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)一复习引入在直角三角形中,除直角外,由已知两元素ABC┌3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=（3）若∠A=α°，AC=3，则BC=（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=ABC┌3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A（一）仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，Z``````x``x```k从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.二、学习新知（一）仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，Z例1：

2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，取3.142，结果保留整数）

分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．·OQFPα如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点．PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算PQ的长需先求出∠POQ（即a）例1：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴PQ的长为当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km·OQFPα∵COSa

==OQOF64006400+350≈0.948解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴PQ例2:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°

Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角例2:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为3解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1mABCDαβ解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．答：1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m54°45°ABCD40m50°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋杆的高度为15.2m.∴AC=DC×tan∠ADC∵1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆2.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°∴△BDE是RT△答：开挖点E离点D332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE

的一个外角∴DE=COS∠BDE×BD∵2.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的总结1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题；

2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形；3、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；4、根据题目中的对精确度的要求保留，并注明单位。总结1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示2、认真分析题意指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南（二）方位角指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.991=72.505在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．65°34°PBCA例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80

海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°练习2海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8没有触礁危险30°60°BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tana.

显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.（三）坡度修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；练习3(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；练习答案:

米

合作与探究（3）如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45°，求飞机的高度PO.ABO30°45°400米P答案:米

（2）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．

坝底AD的宽为132.5m，斜坡AB的长为72.7m．小练习（2）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽61．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.解题思想与方法小结：

思想与方法2．方程思想.3．转化（化归）思想.1．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如课堂小结

1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题

。2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。3、选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。4、按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位。课堂小结1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离不经历风雨，怎么见彩虹没有人能随随便便便成功!同学们努力吧！不经历风雨，怎么见彩虹没有人能随随便便便成功!同学们努力吧！

气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B的坐标为

，台风中心转折点C的坐标为

；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？x/kmy/km北东AOBC图12气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O解：（1）

（2）过点C作于点D，如图2，则在中台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．x/kmy/kmAOBC图2D解：（1）（2）过点C作如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ABDCPP145˚60˚如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行

（1）如图，一艘渔船正以40海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看某小岛C在船的北偏东60°，半个小时后，渔船行止B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．已知以小岛C为中心，周围15海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能?小练习（1）如图，一艘渔船正以40海里/小时的速度解：设BD=x

海里由题意得AB=20，∴AD=20+x在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD=ADtan30°=BDtan60°∴x=10所以这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区．>15解：设BD=x海里由题意得AB=20，∴AD=20+x在R

（2）正午8点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于20海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？（精确到1分）．10时44分小练习30°60°AOBC（2）正午8点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°

【例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是45°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）．【例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，∠B=45°AE⊥BC∵∴又∵BE=EC∴答：它的里口宽BC长为320mm．解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，∠B=45

（2）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．（2）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树上述问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．解：在Rt△ABC中，∴答：斜坡上相邻两树的坡面距离是6米．上述问题可以归结为：AC1000米570米B

6．我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为580米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？AC1000米570米B6．我军某部在一次野∴∠A>30°∴这辆坦克不能通过这座小山．∵tan30°=≈0.577<58tanA>tan30°∴tanA==解：∵BC⊥AC

，BC=570米，AC=1000米=0.58∴∠A>30°∴这辆坦克不能通过这座小山．∵tan30新人教版九年级数学(下册)第二十八章

锐角三角函数

用数学视觉观察世界用数学思维思考世界28.2.2应用举例新人教版九年级数学(下册)第二十八章用数学视觉观察世界28在直角三角形中,除直角外,由已知两元素

求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠

A＋∠

B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)一复习引入在直角三角形中,除直角外,由已知两元素ABC┌3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=（3）若∠A=α°，AC=3，则BC=（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=ABC┌3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A（一）仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，Z``````x``x```k从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.二、学习新知（一）仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，Z例1：

2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，取3.142，结果保留整数）

分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．·OQFPα如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点．PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算PQ的长需先求出∠POQ（即a）例1：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴PQ的长为当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km·OQFPα∵COSa

==OQOF64006400+350≈0.948解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴PQ例2:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°

Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角例2:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为3解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1mABCDαβ解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．答：1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m54°45°ABCD40m50°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋杆的高度为15.2m.∴AC=DC×tan∠ADC∵1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆2.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°∴△BDE是RT△答：开挖点E离点D332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE

的一个外角∴DE=COS∠BDE×BD∵2.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的总结1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题；

2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形；3、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；4、根据题目中的对精确度的要求保留，并注明单位。总结1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示2、认真分析题意指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南（二）方位角指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.991=72.505在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．65°34°PBCA例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80

海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°练习2海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理在Rt△ABF中，解得x=610.4>8没有触礁危险30°60°BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tana.

显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.（三）坡度修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°在Rt△CDE中，∠CED=90°例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；练习3(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；练习答案:

米

合作与探究（3）如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45°，求飞机的高度PO.ABO30°45°400米P答案:米

（2）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．

坝底AD的宽为132.5m，斜坡AB的长为72.7m．小练习（2）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽61．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.解题思想与方法小结：

思想与方法2．方程思想.3．转化（化归）思想.1．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如课堂小结

1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题

。2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。3、选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。4、按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位。课堂小结1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离不经历风雨，怎么见彩虹没有人能随随便便便成功!同学们努力吧！不经历风雨，怎么见彩虹没有人能随随便便便成功!同学们努力吧！

气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B的坐标为

，台风中心转折点C的坐标为

；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？x/kmy/km北东AOBC图12气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O解：（1）

（2）过点C作于点D，如图2，则在中台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．x/kmy/kmAOBC图2D解：（1）（2）过点C作如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ABDCPP145˚60˚如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行

（1）如图，一艘渔船正以40海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看某小岛C在船的北偏东60°，