2242培优精讲必修1、2知识点连连看-g1-ma15q08fzc

TOC\o"1-2"\h\z\u第一讲三角函数概 第二讲同角三角函数关系及诱导公 第三讲三角函数的图像与性 第四讲平面向量（一 第五讲平面向量（二 第六讲三角变换（一 第七讲三角变换（二 第八讲正余弦定 第一讲三角函数概一、知识精任意角的概念{xx2k,k 数yrOMxyrOMx三角函数定义：,,r

yxysinycosxtany yOyOxyOAxx三角函数的定义域f sinx：{xx是任意角xf cosx：{xx是任意角xf tanx：{xx的终边不在y轴上x{xxkk2三角函数值的符号的坐标的符号.sinx0{xxx轴的正半轴}(2k2kkZ2二、例题解【基础训练】1（1）1306是第 A B C D （3）1弧度的圆心角所对的弧长是2，则对应的扇形面积是 2（1）若角的终边经过点P3,4，则sin的值是( 4535 （A） 4535 （2）sin(225) （2）cos( ) （3）tan 【能力提升】1.（1）若asin1900，bcos2500，ctan1600则a,b,c的大小关系 （2）设0xxsinxtanx2 2（1） ，且sincosa,其中a0,1，则关于tan的值，在以下四个答案中 可能正确的是 A B．33

3

D3或3（2）若sincostan(0)，则 2 A0, B, C, 6 64 43 32 3．若sin0,tan0，则 ,cot的大小关系 sinx324（1）sinx32在(0,2)内使sinxcosx成立的x的取值范围 三、课堂小四、实战训【基础训练】若角是第二象限的角,则是 2如果点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是 3A.(1, B.(1, C.(1, D.(1,若tan1,则sincos的值为 222 B. C. D.222把135化成2k,其中02,kZ的形式 已知角的终边经过点(3a,4a)(a0)，则sin ，tan() 9a216a解：由定义知siny 4a4，tan()tany9a216a 已知角终边上一点P，Pxy3：4，且sin0，求costan的值.【能力提升】 A.tan1sin1C.sin1cos1

B.tan1cos1D.cos1tan12

2

，那么sin2

2

22A.(- B. C.(- D. 22已知一扇形的周长为C(C>0)，当扇形的中心角 解：设扇形半径为r，中心角为S，则C2rrrC2 1 C C CS r 228

2

，故当且仅当2rad时，扇形有最大面积Smax 364（1） 36cosx 解：由

解得定义域为 )

)

,6]36x2

2 (2)已知a,b,c ),且cosaa,sin(cosb)b,cos(sinc)c,试判断a,b,c的大小关系2cab用反证法：假设ba，即0ab

则0cosbcosa

得bsin(cosb)cosbcosaa，这与假设b ！ba，同理可得ca第二讲同角三角函数关系及诱导公一、知识精2.1同角三角函数的关系

sin2cos2 sin对于同角的三角函数，根据定义可知tan 。可以看作是关于sin,cos,tan sin sin2cos2 2sin2

cos2（1）cos2 1tan2

（2） sinxcossinxcosx,sinxcosx,sinxcosx可知一求二2.2．六组常用的诱导公式,,2k(kZ等角的三角函数与2诱导公式可以实现“变角”，从任意角的三角函数0~360间的三角函数二、例题解【基础训练】已知sincos

555

270，求tan 5 已知tan ) ()，求)4sin2 2 )⑴

⑵sin()cos(5cos

2⑶4sin23sincos5cos【能力提升】1（1）已知sinx3

3,则cos(5x) ) f(sinx)cos2x,则f), cos cos sin sinsin

xy 1(1x)2(1y2（参考公式cos(cos(1x)2(1y2三、课堂小四、实战训【基础训练】记cos(80)k,那么tan100 1k1k1k

1k1k1k2已知sincos ,(0,π),则tan 222A． 22

1sin23（） 1sin2 6答案：1tan2，则sincos= 答案：2。5

4已知sin(1,求证tan(2tan的值解：sin()1,2k2k(kZ2

(kZ2tan(2)tantan[2(2k2

)]tantan(4k)tantan()tantantan已知f() cot()sin(（2）若是第三象限的角，且cos(31f( sincoscot解:(1)f()(cot)sin

1(5(2)cos(3)sin,sin1,cos1(5 f() 5ABC中sinAcosA是方程5x2xm0的两根m（2）解：（1）sinAcosA是方程5x2xm0的两根，所以sinAcosA1,sinAcosAm 所以(sinAcosA)22sinAcosA12m1，解得m12，此时0 m125sin6Acos6A(sin2Acos2A)(sin4Asin2Acos2Acos4sin4Asin2Acos2Acos4Asin2Acos2A)23sin2Acos2A193tanBCtan(A)tansinAcosA sinAcos

tan

12，解得tanA3或tanAsin2Acos23

1tan2 4所以tanBC【能力提升】

或tanBC 如果和都是锐角，且cossin 则 A.2

B. C.2

D. 3答案 2函数ysinxcosxsinxcosx的值域 2 122[sin10][sin20][sin2000 解 [sin10][sin20][sin80]0[sin100][sin110][sin180]0[sin190][sin200][sin350解 [sin90]1,[sin360] 故原式1651

]第三讲三角函数的一、知识精ysinxycosx,ytanx的图像与性质

时，y2

点（k0）2k,2k上为增函数，在区间2k,2k

3 2 ,,

，+∞（kπ，0（kπ+2

,2

yAsin(x)(A0,“五点法”x的过程，即图像的平移和二、例题解【基础训练】1（1）A.ycos B.y|cosx

)上的增函数,又是以为周期的偶函数 2C.ycos D.y|sinx

的图6 函数f(x)sin(x)，(其中

2f(x

f(x)3sin(x 3．（2）f(x)的周期、振幅、初相、对称轴、对称中心、单调区间、最大（小）值及相应的x的取值集yyOx【能力提升】1.f(xsin(2x，其中f(xf()xRf(f( f(x)的单调递增区间是 （A）k3,k6(kZ （B）k,k2(kZ 2 （C）k6,k3(kZ 函数f(x)sinx2|sinx|的周期是 ；当x0,2时fx的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 已知函数f(xsin(x)(0 ①若f(x)的图像与直线y 相邻的两个距离最近的交点之间的距离是，则其周期是2②)当0f(x在区间

]上的最小值是－1，则的的取值范围 f(x在区间

3]上单调递增，则的的取值范围 3 ③当6f(xg(x2cos(2x1的图象的对称轴完全相同.x0,2 则f(x)的取值范围 2sin(πxπ)已知函数f(x) (1x5)，求f(x)的最小值x x三、课堂小四、实战训【基础训练】要得到函数ysin2x的图象，可由函数ycos(2x) 4A.8C.4

B.向右平8 D.向右平4

tan13tan

sincos( D．cos7cos(2 函数y3sinx(0)在区间[0,]恰有2个零点，则的取值范围为 yO8xA． B．1 C．1 DyO8xyg(xf(xsin2x的图象向右平移(0π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则

6f(x1f(x20x1x2必是yf(xx

③函数的单调递减区间是[k ,k6

],kZ3④函数在[上的值域为[1,13 已知函数f(x)sin(x)(0, 2求,的值

kkZ，单调递减区间为[k

,k

5],kZ （2）T4(

),2,,,f(xsin(2x （3）由2xkx

k(kZ) 2x6

k，得对称中心为(k ,0)(kZ) xk(kZ3xk

6【能力提升】 2 C.2 由题意至少出现50次最大值即至少需用 197494个周期，∴494·T＝4·ω∴ω≥2π，故选下列关于函数f(x)log2cos(x)的说法中正确的是（ ∵ （2）xn2n1(nN解关于nsin2xnxncosxn1n2nN解析：sin2xnxncosxn1n2n21sin22n12n1)cos(2n1n22n11(2n1)n211(2n1)，即n22n1

(sinn1)ncosn,0其中n4判断函数f1),f3的单调性，并就f1(证明2f6(f4((cos4sin4)(cos2sin2解析:（1）f1),f3在

412 最小值为 ．当n12 当n为奇数时，对任意的1,2 ],且12，则易得fn()在 ]上单调递增，因此fn()的

0fn(0)1；当nfn(fn(04 意的正整数l2，有2f2l(2f2l20，fn()212 fn(fn(0)12 4

fn2()．

n

f2()

n1fn4第四讲平面向量（一一、知识精向量的概念称模，记做|AB|。长度为0的向量叫做零向量，记作001个单位长度的向向量的关系规定0与任一向量平行。规定0的相反向量为0向量的加法向量和的定义：已知向量ABBC，再做向量AC，则向量AC叫做向量ABBCABBCACABBC 出发的两个向量OA、OB，以OA和OB为邻边做平行四边形ABCD，则以O为起点的对角线OC就是向量OA和OB的和，这种计算法则叫做平行四边形运算法则。向量加法交换律abb向量的数乘数乘的运算法则：实数aa是一个向量，它的长度是|a|与|||a||||。它的方向：当0时，与a同向；当0时，与a反向。显然，当0时，a0)R，(ab)a向量的运算性质：若a和b是两个非零向量，则它们共线的充分必要条件是，有且只有一个实数，使ba。【推论1（定比分点定理）若直线上存在三个点AB,C，且ABBCOOBOA OC1 12（定比分点逆定理）AB,C，且OBOAOC，且1AB,C三平面向量基本定理12，使得a1e12e2，其中e1e2称为一组基底平面向量的坐标运算位向量，若axe1ye2，则a简记为axy（1）若ax1y1bx2y2，则abx1x2y1y2a x2若axyR，则aa x2若axy，则二、例题解【基础训练】【例1（1）设P是ABC所在平面内的一点，BCBA2BP，则 A.PAPB B.PCPAC.PBPC D.PAPBPC（2）若向量a1,1，b1,1，c4,2，则c A.3a B.3a C.a D.a正方形ABCD的边长为1，|ABBCAC 222A. 2222【例2（1）若D是ABC的边AB上的中点，则向量CD A.BC1 2C.BC1

BC12BC1 在ABC中，点P是BC上的点，BP2PC，APABAC，则 A.2, B.1, C.1,

D.2, 若O是ABC内一点，且OAOBOC0，则O是ABC的 向量a,b,c在正方形网格中的位置如右图所示，若cab,R，则 【能力提升】 y （2）如右图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是（ ACABBDADAO1AB1 AE5AB32ABAB，|OB||OB|1APABAB，若|OP

1，则|OA|围是

7A. 5 B.(5 7 C.(5, D.7

,【例3】已知ABC的外心为O，平面内一点H，若OHOAOBOC，则H为ABC的 【例4】已知ABC重心为G，过GABACEF11

AEkABAFhAC，三、课堂小四、实战训【基础训练】已知向量a,b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，则一定共线的三个点是 A.A, B.A,B, C.B,C, D.A,C,如图，若e1,e2为两个相互垂直的单位向量，向量ab等于 2e1C.e1

4e1D.e1如右图所示，以bac，那么cab，根据网格可知ce13e2。故选C. e(6 Be(62或(6C.e310,10 D.e310,10或(310,10

x3AB6,2exy，那么y

，解此方程组可得

10x 3x 10 3 3

x2y2 y ，那么e1010或1010y 【解】3

a(，b(0,1)，c(k,3)，若a2b与c共线，则ka(3a2b(3,1)2(0,1)(3,1)，由于a2b与c共线，那么3 3k已知O是ABC中一点，D为边BC中点，且2OAOBOC0，那么 AO

AO

AO

2AODBC边中点，那么OBOC2OD，则2OAOBOC2OA2OD0，那么2OD2OA2AO，即AOOD。故选A.如右图所示，在ABC中，BMMC，AN2NC，APAM，则实数的值为 A.2

B.3

C.4

D.52BMMCMBCAM1ABAC2 AN2NCAC3ANAM1AB3AN 故APAM AB

AN，由于B,P,N共线，故 1，解得 【能力提升】设O为ABC内一点，且OA2OB3OC0，则SABC与SAOC的比为 B.2

D.3 又 ，那么SABC2SAEC233。故选S S

如右图在ABCOBCOABACMNABmAM，ACnAN，则mn的最大值 由于OBCAO

AB

AOAMAN，且1AB1ACAMANABACm2n2mn22 由于mn

mn mn，则mn 1。故填 4

ABAC是任意实数，则动点P的轨迹一定过三角形一定过ABC的

|AB |AC| 因 |AB||AC

|AB |AC

的方向与BAC分线方向一致。又因为OPOA

ABACOPOAAPAB

AC |AB |AC| |AB |AC| 如右图所示，在ABC中，OC OA，OD OB，AD与BC交于点M，设OAa，OBb 若OMmanb（m, ，M，设OEOAOFOB344OMOCCM1akbka1kakb，又OMmanb，那么m1k 4

22m又OMmanb，那么n1t，那么可以得到2nm10 m4mn1 那么得到方程组2nm10，解得 n 由（1）可知OM1a3bFME三点共线，那么存在非零实数t FMtFEtOEOFtatbFMOMOF

1a

tb所以 t消去t37

t 第五讲平面向量（二一、知识精向量夹角记做a,b，并规定a,b[0,]向量垂直定义：若a,b ，则称a与b垂直，记作：ab2规定：0与任意向量向量的数量积与b的数量积（内积ab|a||b|cos向量数量积的几何意义：设是a与b的夹角，则|a|cos叫做a在b的方向上的投影，|b|cos叫做a的方向上的投影。ab等于a的模长与b在a方向上的投影之积。向量数量积运算的运算律ababaabcacb向量数量积的运算性若ab，则ab0a,ba|a||b.a2aaa,ba|a||b.cos|a||b|ab|ab||a||b|坐标表示下的向量积运算ax1y1bx2y2，则abx1x2y1y2二、例题解【基础训练】1（1）在边长为1ABCABcBCaACb D.（2）点A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则ABAC等于 |a||bA.|a||b已知非零向量a,b，若a2b与a2b相互垂直，

abbccaA. C.

D.2（1）ABCDEFABACABADABAEABAF.（2）在ABC中，A90，AB(k,1)，AC(2,3)，则k的值为 A. 2

D.2（3）已知向量a,b夹角为60，且a2，b3，则aa2b 已知abc0

3，

5，

7，则a与b夹角 【能力提升】【例1（1）已知向量a,b为非零向量，a2ba，b2ab，则a,b

C. D. 由于a2ba，则a2baa22ab0，同理得到b2abb2ab0 a a a 2ab，cosa,b ，则a,b。故选a a 2a 已知ABC中，A90，BC4点A是线段EF的中点，EF2若BC与EF夹角为120，则BECF 【解】BEBAAECFCAAFBECFBAAECAAFBACABAAFAECAAEAF，其中由于A90BACA0；又因为点A为线段EF的中点AFAE，则BAAFAECAAEBAAECAAECABAAECBBCEF夹角为120AE与CB夹角也为1201

FECBcos1202AEAF2AEAFAEAF1BECF3。故填3D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1d2d3d4d5，若mM分别为aiajakdrdsdt的最小值和最大值，其中i,j,ikr,s,t1,2,3,4,5，则（）A.m0,M B.m0,M C.m0,M D.m0,M由题意可知，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1a2a3a4a5ABDC10，还有另外四组的数量积结果为0或其余数量积均为小于1的负数。因为mM2故选D.13】设ABCP0ABP0B4ABABP，恒有不等式PBPCP0BP0C，则（）1ABC

BAC C.AB D.BC PBPCPBPC恒成立，那么2xaxa1fxx2a2xa10，fx为开口向上的二次函数，那么函数判别式0，即a224a1a20a0，那么点CAB中垂线上ACBC。故选D. 14】若OABOA2OB1，为OA与OB的夹角，已知OPtOA1OQ1tOBPQt

。问取何值时有0t 【解】OPtOAOQ1tOB

tOA2t 05OQ1tOB1gtPQ21t24t221t2tcos54cost05OQ1tOB1其对称轴为t

12 ．由于 ，则

cos054 54 可以解得(,2 三、课堂小四、实战训【基础训练】 aba①bcaacb与c垂 ②若acbcaba③abcab D.对于命题①，由bcaacbcbcacacbc0，那么命题①正确；对于命②acbcacosacbcosbcab，故命题②错误；对于命题abcc方向一致abc与向量a方向一致，两个向量方向可能不同，则命题③错误；对于命题④ababcosab，故命题④正确。综上命题①④正确，故选B.如右图所示，在ABC中，ADABBC

3BD

AD1AC 33A. 33233 333过C做AD的垂线，垂足设为E，那么根据向量数量积的集合定义可知ACAD ACAE，由

AD 3 33

3ED3

1

AE

AD

DE1 1

ACAD

AC

AE13

33已知ONP为ABC所在平面的三个点，且对于点O满足AOABBOBA，BOBCCOCBNNANBNC0PPAPBPBPCPCPA，则点ONPABC的 A.重心外心垂 B.重心外心内C.

C.外心重心内对于点OABD，则OAOB2ODAOABBOBAAOABBOBAABAOBO2ODAB0，那么ODAB，可知ODAB边上的点，可知O为ABCNDBCNBNC2NDNANBNC0NANANBNC0NANBNC2NDENBEN为ABCN为ABC的重心；对PPAPBPBPCPAPBPBPCPBPAPCPBAC0BA，PCABP为ABCP为ABCC.设a,b,c为单位向量，且ab0，则acbc的最小值为

2222acbcababcc2，由于ab0且abc为单位那么acbcabc1，根据向量数量积运算性质，可知abcabc，那么ab2a22abb22，那么abc 2，当ab与c方向相同时取到最值，那么acbcabc11 2。故选D.已知向量a(2,4)，b(1,1)，若bab，则 【解】ab(2,4)(1,1)(24)，由于bab，则bab0，那么bab1,1)24240，可得3。故填3已知向量ae，e1满足：对任意tR，恒有teaea，则下列以下结论中正确的是 A.a B.aa C.ea D.aeateaeatea2ea2，展开得t2e22teaa2e22eaa2t22acost2acos10，对于任意实数tftt22acost2acos10，ftft的判别式0那么2acos242acos142acos220，那么 则acosae1。那么aeeaee20，那么aee。故选C.【能力提升】OPOAOB,1.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,B满足OA OPOAOB,{P 1,,R}所表示的区域面积为 2323A. D.2323ABOAOBOAOB2，则cosAOB

OAOBOAOAOBOA

(得到(xy3)

，可以解得

3x1

3x13 x1y3 3 x1y3

3 x1y3 3 x1y3 3x1y 3x1y 3x

3x1y 3x1yy 3 x1y3 3 x1y3

x1y 33 x1y33 3x1y 3x1yy1

3x1y 3x1y 3x 可以知道其对应的区域如右图所示，其中CODBOCAOD对应第三个不等式组，AOB对应第四个不等式组。那么其对应区域为矩形ABCD33A(3,1)，B(3,1)，C(3,1)，D(3,1)，那么其面积为2 33

。故选2.设向量a与b满足a=b=1，abm，则atb(tR)的最小值 【解】1atb2a22tabt2b2t22mt1，其为以t

a

atb2 mm2atb2 11a对任意两个非零向量,，定义若a,b满足ab0，a与b夹角 a与ba都在集合

Z}中，则ab

43【解】aab

{|2

b 由题意可知ab

nZaabb2ba b2

，其中mZ2ab0nm。那么两式相乘得到cos2mnab夹角4

)，可得4abn cos2 ，固有cos2mn3，nabn

。故填 的最小值，并求出t1t2 1ctatb2c2t2a2t2b22tca2tcb2ttab中由于ab是相互垂直的单位向量，且c13ca 1那么ctatb2169t2t26t8tt32t ，那么当t3，t4时 ct1at2b12第六讲三角变换（一一、知识三角函数两角和公式coscoscossinsinsinsincoscossintantantan1tantan三角函数两角差公式coscoscossinsinsinsincoscossintantantan1tantan三角函数辅助角公a2acosa2三角函数倍角公式

sin，其中tanabcos2cos2sin212sin22cos21cossincossinsin22sincoscossin21tan22tan1tan2三角函数半角公式sin21cos2

cos21cos2变换；正切之和（或差）与正切之积的转化；同弦异角、异角异弦平方相加；三角形中的边角关系.学过的公式多数是关于弦的，把切转化成弦，使问题由陌生变为熟悉2 2升幂：1+coscos,1-cos 推导：1coscos2sin2cos2sin22cos2 1coscos2sin2(cos2sin2)2sin2 降幂cos21(1cos2)可记为cos2(cos21) sin21(1cos2)可记为sin2cos21) 推导：cos21cos21cos21(1sin21cos211(cos2sin2)11cos

2sin( 、同角异弦之差:sinα－cosα=2sin(α－ 4) sinα=2cos(α+ 同角异弦之积等于2倍角正弦取半.即s (sincos)212sincos(cossin)212sincos

(sincos)212sinsincos

(sincos)21 1(sincos)2sincos sincos1(cossin2a2a2a2a2当ab0时,asinbcos sin(,其中sin a2a2当a,b是具体的数时，可直接用反正切来表示角、函数等于一个y轴上的角加上（或减去）这个角的余函数或这个余函数的相反数.二、例题解【基础训练】1（1）化tan1 sinα 【解】tanα+tanα＝cosα+sinα =

=（2）已知02

，tan

3 3tan

，则 6

tantan 333tan tan，可知，可得. 3tan 1 3

已知函数fxcos2x4sinx3cos2x，那么fx的最小值 【解】fxcos2x4sinx3cos2x12sin2x4sinx31sin2xsin2x4sinx25。故填5已知0

sin5cos3，求解sin2、cos22【解】由于0

3，那么cos0得cos

1cos221sin212；同理可知01cos221sin2同角三角函数关系可得sin

5sin2sincossincos5312463，同5 13

cos2coscossinsin123545613

5

2fx

sinxcosxsin。sin【能力提升】12cos10sin20的值是（32323A. 3 【解】

cos2（cos30cos20sin30sin20）sin sin

3cos20=33 2【解】令tcosxsinx2

sinx 4 4

2,2]cosxsinx2 t2 ysinxcosxsinxcosx1 sinxcosx1 t1t y是关于t的开口向上的一元二次函数，其最小值在对称轴处取到，对称轴为t1y01sin

1sin2cos

的值域

2cos

y2cosx1sinx，可化为2y1sinxycosx[0, [0,可知2y1sinxycosx y21sinx，那么2y12y21sin2xy21，可以得到关于y的一元二次不等式3y24y0，解得y 4。所以值域为 4[0, [0, 4x均有acosxbcos2x1恒成立，求ab 取a=-，b则acosxbcos2x cosx1 11 三、课堂小四、实战训已知为第二象限sin

24，那么cos 3

4

D.

2

，则cos cos2cos21

，则

3 若tan3，

cos2

A. D.55 ，3 A.7B.55C.3D57444 由于均为钝角可知，cos25，sin10，则

2 2 又因为2，可知74 若 ，且sin2cos21，则tan的值等于 23223

23 23 sincos2sin12sincos 又(0,)则 ，则 故选3已知tantan3tantan 3333由于tantan3tantan ，则tantan3tan 3tantan33 tan。故 331tantanfx2mcos2x23msinxcosxnm0的定义域为[0,]，值域为[14]2fx2x fx2mcosx23msinxcosxnmcos2x 3msin2xmn2mcos2x mn

3nmfx的定义域为

]，可知2x 2解得m1n2

3 2mn（2）m1,n2fx2m

2x

mn2

2x

3fx2

3 3 可得cos2x32，由于定义域是[0,2]x3 【能力提升】12sin1012sin100cos101sincos21sincos240sin2402sin40coscos40sin由于cos40sin1sin2可 cos40sin1sin2

cos4045 2 2.（1）已知sin

13,则 = . （2）已知△ABC中,已知a+c=2b,求tanAtanC . 7（1）若6030,且sin6cos6 ,那么2007cos7

.6692（2）sin3xsin3x的最大值 .4设R02,xx2cos2sin(sincos)xsin0集为区间(1,10),则的值 7或 第七讲三角变换（二一、知识精2 ；1tan2

1tan2 ；1

tan22ta sin33sin4sin3，cossinsin2sincos

3tantan3 13tan2sinsin2coscoscos2cos

sin cos coscos二、例题解【基础训练】

sin 【例1（1）利用积化和差公式化简sinsin 的结果为 A.1coscos 1 sinsin

sinsin 把cos3cos5化为乘积的形式，其结果 【解】2cos4已知sinsinm，则cos2cos2 【解】【例2（1）在ABC中，若B90，则cosAsinC的取值范围是

[1,12

[1,34

[3,14 （2）已知sinsin ，coscos ，则tan的值 7【能力提升】1】已知f(sin2sin2sin2α、β0≤α≤β≤π的常数，问【解】取值分别为0， ，有f(0)2

f()f()f(),2sin2sin2sin2sin2()sin2sin2()1cos2cos2 由①得sin2sin2sin2()3 ∵0≤α≤β≤π4

0由②得sinsinsin()

。解之2下证23 31 2 4

f()sin2sin2(

)

(

1cos2 3 3 31cos21 2 cos cos 31cos212cos(2)cos 3证明tanAtanBtanCtanAtanBtanC3若

tanC1tanBtanC，且sin2A,sin2B,sin2C的倒数成等差数列，求cosAC

tantanCtan(AB)

tanAtantanAtanB1tanAtanBtanCtanAtanBtan（2）

tanAtanCtanAtanBtanC，与（I）比较知tanB 3，B=3434334343 sin

sin

sin

sin3

sin2Asin2C sin2Asinsin(AC)cos(A cos2(AC)cos2(A

，而sin(AC)sinB 313213cos2(ACcos2B1，代入得2cos2(AC13cos(A2 2 2 2 2【例3】求证：2sin cos(sinx)sin(cosx)2sin

2 2cos(sinx)sin(cosx)cos(sinx)coscosx 2sincosxsinx

sinx

cos

22∵ cossinx 2,∴2cosxsinx222 2

,∵0 2 22 2

2

2

4

cos(sinx)sin(cosx)2sin 【例4】设xyz ，

xyz2

，求乘积cosxsinycosz【解】由已知yzx,sin(xy0sinyz0∴cosxsinycosz

1cosxsin(yz)sin(yz)1

1cosxsin(yz)

1cos2x

1cos2

1 yz,x cosxsinycosz1coszsin(yx)sin(xy)1coszsin(yx)1cos2z1cos21

41cos6 . 当且仅当z

,xy5三、课堂小四、实战训【基础训练】对任意的实数,，下列等式恒成立的是 2sincossinsin2cossinsincos coscos coscos2 6k 6k 化简 xcos

(xR,kZ)的结果 【解】cos

sinxsinx 6 6 的值 cos【解】 xx xx 可知sinx sinx 2 6 62cosx 6 62cosxsin

可知原式 cos

若cosxcosysinxsiny ，sin2xsin2y ，则sinxy 23若sinsin

3coscos(,0,)，则的值 33已知为锐角，且6【解】0,3 2

，那么sinsin的取值范围 【能力提升】x，y，有不等式cosxcosy2cos(xy4cosxcosy2cos(x

成立2cosxycosxy22cos2xy4cos2xy2cosxycosxy2 2 21

2 x

xy

2x

2x 2cos

cos 2

2

求s410sin450sin4701cos2021cos10021cos1402

原式= [32cos20cos100cos140cos20cos100cos cos220cos2100cos21401[3cos40cos200cos280]1[3cos140cos20cos100]1 3

所以原式=432

0,，且coscoscos(3

2

cos

2cos

2 ∴4cos24coscoscos2sin20 ∴2

cos

2

0 22coscos且sin2

0 ∵,0,,∴, ∴由②.∴①化为cos ,∴,∴2

4关于x的方程sin2xsin4xsinxsin3xa在x0，时有唯一解，求实数a第八讲正余弦定一、知识精ABC在ABC中的三个内角A、B、C的对边分别用a、b、c表示,R表示三角形外接圆的1.正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即 sin a2RsinA，b2RsinB，c2RsinAasinBb,sinC= 3a:b:csinA:sinB:4面积公式：S1absinC1bcsinA1acsin 余弦值的积的两倍即：c2ab2abcosC;bac22accosBabc22bccosA二、例题解【基础训练】在ABC中，若a7,b8，cosC，则最大角的余弦值是 5

6

7

8c2a2b22abcosC4964278139，则c3a2c2 499 原则，可知最大角为B，则cosB 27 在ABCA、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知a则c 2

2，b3，A602根据余弦定理可知a2b2c22bccosA，可得关于c的一元二次方程4c26c10，c3 52故填352b4，c2，那么AD 33ABEDE为ABC的中位线，则AED180A60，在AED3理，可得AD2AE2ED22AEEDcosAED1c21b2bccosAED3，可得AD 3 3故 3出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两 A.50 B.50 C.25 D.252262】在ABC中，A、B、Ca、b、ca3，b6求cosA求c的值

，B2A，可得 sin2A2cosAsinAsinA，，可得化简为cosA

26

a2b2c22bccosA，化简可得c28c150，所以c5或c3（舍【能力提升】【解】 cosC>0∴2cos2C+cosC－1≥0cosC≥12【例2】锐角ABC中，ABC，则cosB的取值范围是 A 22【解】

B[,

C

D 222由于ABC为锐角三角形，可知45B90，得到cosB 2)，故选