中原工学院线性代数试卷及答案

3页，此页为A卷第3页，此页为A卷第1页（注：参加重修考试者请在重修标识框内打钩）本科专业线性代数课程期末试卷A卷 B卷…本科专业线性代数课程期末试卷A卷 B卷……题号一二 三四五 六七 八 九十总分… 13阶方阵AA

)，且detA5，又设B… １ ２ ３……

,5

)，则detB ．… １ ２ １…线

３ ２1 2 1

1… 2、已知线性方程组2

13无解，则a … … 1

a 2x ． 2 号 …学 …3、二次型

a 33

x

0

是正定二次型，则的… f x, x, x… 1 2

2x21

x22

x23

2xx1

axx a2 3

x x … 1 3… 取值范围． 三、为何值时，方程4xx 2x

2有解，并求出通解（10分）… 1 2 3…订 4、已知向量组… …

(1,2,3,4)，2

(2,3,4,5)，3

(3,4,5,6)，4

(4,5,6,7)，

6xx1

4x3

23…… 则该向量组的秩名 ……姓 … 5、设3阶方阵A的三个特征值-2，2，3，则A ．………… 1 1 1… 二已知A0 1 1且A2ABE其中是3阶单位矩阵，求矩装 E… 0 0 1… …级 … 阵B（10分）班 ……………3页，此页为A3页，此页为A卷第3页四、求向量 (2,0,1,3)，… 1 2 3 4……… (4,2,3,7)的秩及其一个极大线性无关组（10）… 5…

六、设向量组，

线性无关，证明：向量组

，………

1+2

2 3

1 1 2（10）1 231 2342 3471 581 3510………号 …学 …订………名 …姓 ………………装… 五、计算行列式D装………级 …班 ……………

（10）

2 1 2

3 3 1 2 3七、化二次形 1 1 0八、求A 的特征值与特征向量分）… 4 3 0… fx23x25x22x

4xx

1 0 2… 1 2 3 12 13 …… 成标准形，并求出所用的变换矩阵（10）…………线………号 …学 …订………名 …姓 …装………级 …班 ……………本试卷答案共2页，此页为第本试卷答案共2页，此页为第2页本科专业线性代数课程期末试卷标准答案（即评分标准）

xx1因此，原线性方程组可化为1 3

是任意实数．一、填空题（每题5分，共25分）1、-100 2、-1 3、 2a 2 4、2 5、-12

x2x 1 1

2x1 33通解为x1k2 1 其中k是任意实数

10分 ， ．A2AB

得A(AB)E 而且

x2 1 03， ， 3

1 1 1A0 1 1 10 3

四、解：对由ααααα1 2 3 4

构成的矩阵，进行行变换0 0 1

1

0 1

23121411312141101α，α，α，α，α

因此矩阵A可逆，且

1 2 3

5 2 1 1 0 3 0 1 1 2 15 2 3 1 7 0 3 3 6 31 1 2

A1

0 1 1

， 6分 0 0

6分11012101110112 0 11012101110112 0 1 1 2 10000000000

0 0

0 0 0

0 0 00 1 1 1 1 1 2 0 2 1 α0

，α，α，

的秩为2；极大线性无关组为

1 2 3 4 5BAA1

0 1 10 1 10 0 0． 10 0 0 1 0 0 1 1 2

，或者α, α1

，或者α, α1

，或者α, α1

． 100121rr010121rr01211258410024135100126

1 2 4 1 2 4三、解：A4 1 2 20 1 2 2

0 1 2 2

D(2r

6分2 2 6 1 4 2 3 0 1 2 4 3 0 0 0 1

rA

．当1A的秩为3，此时原线性方程组无解． 4分

4 10 10分当1时，rArA2，故线性方程组有解．此时，上面的阶梯矩阵为1234r1234rr012100240005

23+2，3+2

线性相关， 0 1 2 1 6分

1 1 2 2

1 2 3 3 1 2 3 0 0 0 0

则存在不全为零的数a,b,c，使得ab1 2

c3

0 4分即1

)b(22

32

+23

)1

32

+23

)0整理得(a1

(a2

(2b+2c)3

0 6

得通解Xk

00

RA

2的全部特征向量为1 1 i因为向量组，

线性无关，可得

11 2 3 ac0 a0

0a0 解之得 0 与假设矛盾

X k0

R) 10分 b

1 1 1 1 2b+2c0 1 所以向量组2+2线性无关。10分对 1，解方程组(EA)X0，由1 1 2 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3210101420210101420r0121 2 3

12 13

EA(xx

2x

)22x2x24xx

1 0 1 0 0 01 (xx1

32x3

2)22(x2

3 23x)2x23 3

1yxx2x

xyy 3y

得通解Xk

2(kR)，所以A的对应于特征值 1的全部特征向量为1 1 2

1 1 2 3

2 2 2 3令y x

即x y y

6分

12 2

2 2 3 y x x y3 3 3 3

11 1就把f化成标准形fy22y2y2， 8分

X k

2

k 0) 15分所用变换矩阵为

1 2 3

2 2 2 1 1 3 C0 1 C10) 10 0 0 11 1 0