九年级中考数学二轮专题复习练习　规律探索题

中考数学二轮专题复习：规律探索题1.如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为______．2.如图，如图1将矩形ABCD剪2刀得3个角，其和为360°；如图2，剪3刀得4个角，其和为540°；如图3，剪4刀得5个角，其和为720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）个角，其和为________．3.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了_______局比赛，其中最后一局比赛的裁判是_______．4.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_____．（结果用m，n表示）5.如图所示，在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表中第四行空缺的数字是________．6.如图，某学校准各新建一个读书长廊，井用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为0.5米．（1）按图示规律，第3图案的长度l3=；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为．（2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，则没有花纹的地砖为块．（用含n的代数式表示）（3）若学校读书长廊的长度为Ln=100.5米，求没有花纹的正方形地砖有多少块？7.观察下列等式：第1个等式：5-1=8×3；第2个等式：9-5=8×7；第3个等式：132-92=8×11；第4个等式：172-132=8×15；……；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式___________（用含n的等式表示），并证明．（3）依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+…+8×399．8.如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；（2）如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；（3）如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？9.如图，直线l对应的函数表达式为，在直线l上，顺次取点，，，，……，，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为；；；……猜想并填空：

（1）______；（2）______（用含n的式子表示）；（3）______（用含n的式子表示，要化简）．10.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：……（1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图11图21+3图31+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数fn(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为fn+1，求fn+1-fn11.某校数学小组开展了趣味剪纸活动。【观察】如图，图①是一块边长为，周长记为的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第块纸板的周长为（1）【了解】_______________________；_______________________．（2）【实践】如果一个正三角形纸板面积为6，通过两次这种方法裁剪，得到最小的正三角形的面积为？12.观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：___________；（2）写出你猜想的第n（n取正整数）个等式：________（用含n的等式表示），并验证等式的正确性．13.用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：第①个图形中有2张正方形纸片；第②个图形中有张正方形纸片；第③个图形中有张正方形纸片；第④个图形中有张正方形纸片；

请你观察上述图形与算式，完成下列问题：（1）第⑤个图形中有_____张正方形纸片（直接写出结果）；根据上面的发现我们可以猜想：______（用含n的代数式表示）；（2）根据你的发现计算：．14.观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：______（用含n的等式表示，并证明）．15.观察由※组成的图案和算式，解答问题：①1＋3＝4＝2；②1＋3＋5＝9＝3；③1＋3＋5＋7＝16＝4；④1＋3＋5＋7＋9＝25＝5；……（1）请猜想1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝____________；（2）写出第n个算式；（3）请用上述规律计算：49＋51＋53＋…＋107＋109的值．16.如图，将边长分别为1、2、3、5、…的若干正方形按一定的规律拼成不同的矩形，依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④……矩形n，那么按此规律．…（1）组成矩形n的正方形的个数为_________个；（2）矩形⑥的周长为_________．17.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆；第3个图形有16个小圆，……按此规律依次递增（1）第4个图形有个小圆，第5个图形有个小圆；（2）第n个图形有个小圆（用含n的代数式表示）；（3）用310个小圆摆成第n个图形，问：n是多少？18.从2开始，连续偶数相加，它们的和（记为S）的情况如表：偶数的个数nS12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6（1）若n=7时．則S的值为（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S=2+4+6+8+・・・+2n=（3）根据（2）中的规律计算：（要有过程）．19.【观察思考】画一个大的正五边形，接着画出内嵌的5个黑色小的正五边形，（图1中有1个白色正五边形，有5个黑色正五边形，总共6个正五边形）；接下来每个黑色小五边形内再内嵌的5个更小的正五边形，（图2中有5个白色正五边形，有25个黑色正五边形，总共30个正五边形）继续下去，不断重复此过程……，据此解答下面的问题．

（1）【规律总结】图3中黑色五边形个数；白色五边形的个数；

（2）根据这个规律，求图n中黑色五边形个数；白色五边形的个数（用含n的代数式表示）（3）【问题解决】当黑色和白色五边形共3750个时，求图n?20.如图，正方形ABCD内部有若干个点，则用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：（1）填写下表：正方形ABCD内点的个数1234．．．n分割成三角形的个数46__________．．．_____（2）原正方形能否被分割成2021个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．

2022年中考数学二轮专题复习：规律探索题参考答案1.如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为______．【答案】解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，∴∠B=∠C=45°，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，同理可以求出正方形的边长为，正方形的边长为，∴正方形的边长为，∴正方形的边长为，故答案为：．2.如图，如图1将矩形ABCD剪2刀得3个角，其和为360°；如图2，剪3刀得4个角，其和为540°；如图3，剪4刀得5个角，其和为720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）个角，其和为________．【答案】四边形是矩形，，设剪刀得个角的和为，则所得多边形的角的个数为个，由多边形的内角和公式得：，解得，故答案为：．3.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了_______局比赛，其中最后一局比赛的裁判是_______．【答案】解：∵甲当了9局裁判，∴乙、丙之间打了9局，又∵乙、丙分别共打了14局、12局，∴乙与甲打了局，丙与甲打了局，∴甲、乙、丙三人共打了局，又∵甲当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数，∴甲当裁判的局为奇数局，∴最后一局比赛的裁判是：甲，故答案为：17，甲．4.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_____．（结果用m，n表示）【答案】由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为，用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为，用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为，用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为，归纳类推得：用N个这样的图形拼出来的图形的总长度为（其中，为正整数），则用2020个这样的图形拼出来的图形的总长度为，故答案为：．5.如图所示，在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表中第四行空缺的数字是________．【答案】46.如图，某学校准各新建一个读书长廊，井用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为0.5米．（1）按图示规律，第3图案的长度l3=；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为．（2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，则没有花纹的地砖为块．（用含n的代数式表示）（3）若学校读书长廊的长度为Ln=100.5米，求没有花纹的正方形地砖有多少块？【答案】（1）解：观察可得，第3图案的长度l3=0.5×7=3.5（米）第3个图案没有花纹的正方形地砖数为18块．（2）解：观察可得：第1个图案中有花纹的地面砖有1块，没有花纹的地面砖有8块；第2个图案中有花纹的地面砖有2块，没有花纹的地面砖有13块⋯⋯根据规律，∴图案有花纹的地面砖为n块，则是第n个图案∴第n个图案中没有花纹地面砖有5n+3块．（3）解：由（1）得，第n个图案边长为L=（2n+1）×0.5把L=100.5代入，得：100.5=（2n+1）×0.5解得：n=100把n=100代入5n+3，得5×100+3=503（块）．7.观察下列等式：第1个等式：5-1=8×3；第2个等式：9-5=8×7；第3个等式：132-92=8×11；第4个等式：172-132=8×15；……；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式___________（用含n的等式表示），并证明．（3）依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+…+8×399．【答案】（）解：由题意可知：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的8倍，

第5个等式为：，

故答案为：；（2）第n个等式为：

验证：，

；（3）解：……

……

8.如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；（2）如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；（3）如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？【答案】（（1）∵点A表示数﹣3，∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4，故答案是：4；（2）∵点A表示数3，∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是3﹣7+5＝1；故答案是：1；（3）∵A点表示的数为a，∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度，那么终点表示数是（a﹣m+n）．9.如图，直线l对应的函数表达式为，在直线l上，顺次取点，，，，……，，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为；；；……猜想并填空：

（1）______；（2）______（用含n的式子表示）；（3）______（用含n的式子表示，要化简）．【答案】（1）解：由题意可知、，∴，故答案为：；（或12）（2）由题意可知：，，，，……，故答案为：；或（3）故答案为：10.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：……（1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图11图21+3图31+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数fn(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为fn+1，求fn+1-fn【答案】（1）图1挖去中间的1个小三角形，

图2挖去中间的（1+3）个小三角形，

图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，

则图4挖去中间的（1+3+32+33）个小三角形，即图4挖去中间的40个小三角形，（2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1；

（3）∵fn+1=3n+3n-1+…+32+3+1，

fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1

∴fn+1−fn=3n．11.某校数学小组开展了趣味剪纸活动。【观察】如图，图①是一块边长为，周长记为的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第块纸板的周长为（1）【了解】_______________________；_______________________．（2）【实践】如果一个正三角形纸板面积为6，通过两次这种方法裁剪，得到最小的正三角形的面积为？【答案】（1）解：∵P1＝a＋a＋a＝3a，P2＝a＋a＋＝，P3＝a＋a＋＝，P4＝…∴，，…则；故答案为：；．（2）解：∵通过两次这种方法裁剪后，最小的正三角形的边长为原来三角形边长的，又∵最小三角形与原三角形相似，∴相似比为，∵相似三角形的面积比为相似比的平方，∴最小三角形的面积为：．12.观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：___________；（2）写出你猜想的第n（n取正整数）个等式：________（用含n的等式表示），并验证等式的正确性．【答案】（1）解：由题意可得，第6个等式为：；（2）解：猜想的第n（n取正整数）个等式为：．证明：左边．右边，∵左边=右边，∴原等式成立．∴第n（n取正整数）个等式为：．13.用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：第①个图形中有2张正方形纸片；第②个图形中有张正方形纸片；第③个图形中有张正方形纸片；第④个图形中有张正方形纸片；

请你观察上述图形与算式，完成下列问题：（1）第⑤个图形中有_____张正方形纸片（直接写出结果）；根据上面的发现我们可以猜想：______（用含n的代数式表示）；（2）根据你的发现计算：．【答案】（1）解：∵第①个图形中有2张正方形纸片；第②个图形中有张正方形纸片；第③个图形中有张正方形纸片；第④个图形中有张正方形纸片；∴第⑤个图形中有张正方形纸片；∴第n个图形中有张正方形纸片；∴，故答案为：30，（2）===21600+16290=37890．14.观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：______（用含n的等式表示，并证明）．【答案】（1）解：由已知等式可知：等式左边括号外分数的分子为等式的序号，分母为序号加2，括号内分数的分母为序号加1；等式右边分数的分母为序号加1；∴第5个等式：；（2）解：由（1）猜想第个等式为；证明：∵左边右边，∴等式成立．15.观察由※组成的图案和算式，解答问题：①1＋3＝4＝2；②1＋3＋5＝9＝3；③1＋3＋5＋7＝16＝4；④1＋3＋5＋7＋9＝25＝5；……（1）请猜想1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝____________；（2）写出第n个算式；（3）请用上述规律计算：49＋51＋53＋…＋107＋109的值．【答案】（1）解：根据题中规律客可知，中间数是20，1＋3＋5＋7＋…＋37＋39＝；（2）解：根据题中规律可知，中间数是，；（）3解：根据规律可知．16.如图，将边长分别为1、2、3、5、…的若干正方形按一定的规律拼成不同的矩形，依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④……矩形n，那么按此规律．…（1）组成矩形n的正方形的个数为_________个；（2）矩形⑥的周长为_________．【答案】（1）解：由图可知：矩形①包含正方形个数：个，矩形②包含正方形个数：个，矩形③包含正方形个数：个，矩形④包含正方形个数：个，∴矩形n包含正方形个数：个，（2）解：由图可知：矩形①的长宽分别为：2、1，矩形②的长宽分别为：3、2，矩形③的长宽分别为：5、3，矩形④的长宽分别为：8、5，∴矩形⑤的长宽分别为：13、8，矩形⑥的长宽分别为：21、13，故其周长为：．17.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆；第3个图形有16个小圆，……按此规律依次递增（1）第4个图形有个小圆，第5个图形有个小圆；（2）第n个图形有个小圆（用含n的代数式表示）；（3）用310个小圆摆成第n个图形，问：n是多少？【答案】（1）解：第4个图形有小圆24个；第5个图形有小圆4+（2+4+6+8+10）=34个；故答案为：24，34；（2）解：由题意可知第1个图形有小圆4+2=6个；第2个图形有小圆4+（2+4）=10个；第3个图形有小圆4+（2+4+6）=16个；第4个图形有小圆4+（2+4+6+8）=24个；第5个图形有小圆4+（2+4+6+8+10）=34个；第6个图形有小圆4+（2+4+6+8+10+12）=46．．．．．．．∴第n个图形有小圆4+（2+4+6+8+…+2n）=n（n+1）+4=(n2+n+4)个，故答案：n2+n+4．（3）由题意，得n2+n+4=310，解得：n1=17，n2=-18（不符合题意，舍去），答：用310个小圆摆成第17个图形．18.从2开始，连续偶数相加，它们的和（记为S）的情况如表：偶数的个数nS12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6（1）若n=7时．則S的值为（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S=2+4+6+8+・・・+2n=（3）根据（2）中的规律计算：（要有过程）．【答案】（1）解：设加数的个数为n时，它们的和为Sn（n为正整数），

观察，发现规律：S1=2=1×2，S2=2+4=2×3，S3=2+4+6=3×4，S4=2+4+6+8=4×5，…，

∴Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）．当n=7时，．

故答案为：56．（2）．

故答案为：．（3）