等差数列前n项和2李课件

等差数列的前n项和（二）等差数列的前n项和（二）1（一）知识回顾：1.{an}为等差数列.

，an=，更一般的，an=，d=.

an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b为常数am+(n-m)d2.等差数列前n项和Sn

=

=

.（一）知识回顾：1.{an}为等差数列2说明：{an}为等差数列

，这是一个关于

的缺

的“

”

Sn=an2+bnn常数项二次函数（a可以是0）知识回顾：等差数列前n项和再认识:（二）说明：{an}为等差数列3将公式（2）：变形可得（为常数）那它是不是等差数列呢？

当时，是一个常数项为零的二次式.当时，是一个常数列，

（

为常数）那它又是不是等差数列呢？

将公式（2）：4反之，若数列前n项和为Sn=an2+bn（n为自然数，a、b为常数）反之，若数列前n项和为Sn=an2+bn（n为自然数，a、b5若Sn=n2+3n+1呢？已知数列的前n项和求若Sn=n2+3n+1呢？已知数列的前n项和6记为:公式三当d不为0时,此式是关于n的二次式且无常数项.由于,则数列的图象是抛物线图象上的一群孤立的点.那么由二次函数的性质,我们来研究一下的最值.记为:公式三当d不为0时,此式是关于n的二次式且7

有最大值(至于是否在顶点处取得,要看顶点处所对应的横坐标距离它最近的正整数处取得,一般情况下或一,或两个最值),如右图所示:2.当公差d>0即a>0时,3.当公差d=0即a=0时,

xyox=11.当公差d<0即a<0时,有最小值.是常数列若,则它是关于n的一次函数,若,则=0

8由此我们可以根据数列前n项和的公式形式来判断一个数列是否是等差数列!如:(1)(2)(不是)(是)考虑一下取最值时所对应n的值为多少?由此我们可以根据数列前n项和的公式形式来判断如:9

（三）例题：1．求集合的元素个数，并求这些元素的和.解：由得∴正整数共有14个即中共有14个元素即：7，14，21，…，98是以为首项，以为末项的等差数列.∴答：略（三）例题：1．求集合102.已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?

与d,从解:由题意知,将它们代入公式得到与d的方程组,得分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于与d的关系式,然后确定而得到所求前n项和的公式.解这个关于2.已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的11我们再看看这一题,还有其它的方法来求解吗?不妨利用公式三,用待定系数法即可确定系数,由此可得前项和的公式.解:设代入公式有,解得,对比两种解法,发现公式的应用是很灵活的,对有些题而言选择适当的公式可以简化求解的计算量.将2730我们再看看这一题,还有其它的方法来求解吗?不妨利用公121.已知等差数列{an}(1)a2+a4+a6+a8+a10=30,(2)S13=65,则a7=_____。(3)前4项和为25,末4项和为63,所有项和为286,则项数为____。则S11=_______。66526(四)整体思想1.已知等差数列{an}(1)a2+a4+13则=_____.前n项和分别为Sn,Tn,且2.已知等差数列{an}和{bn},分析：又而则=_____.前n项和分别为Sn,T14例题例题15等差数列前n项和2李课件163.已知等差数列{an}中,a2=13,S16>0,S17<0,(1)公差d的取值范围是(2)S1,S2,S3,……,S17中,最大的是_____,为什么?S8_______________;3.已知等差数列{an}中,a2=13,S16>0,17∵Sn=dn2＋(a1－d)n=×(－2)n2＋[21－×(－2)]n=－n2＋22n=－(n－11)2＋121，思考这些条件，能得出什么结论？例1：已知数列{an}是等差数列，且a1=21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。解：分析：利用前ｎ项和公式的函数特征，就可以运用二次函数的性质解题。∵a=－1,∴当n＝11时，(Sn)max=121。例２、等差数列{an}中，首项a1＜０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最小？审题：由a1＜0,S3=S11可得：d＞0,则等差数列的前n项和Sn=an2+bn是一个开口向上的二次函数，因而存在最小值。由S3=S11可找到系数a与b的关系。∵Sn=dn2＋(a1－d)n=18二次项系数ａ在此题中的作用是什么？如果ａ小于0，此数列的前ｎ项和可能存在最大值。如果ａ小于0，此数列的前ｎ项和是否存在最小值？解：依题意可设Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．∵a>0,∴当n=7时，(Sn)min=－49a,∴这个数列的前7项的和最小。例２：等差数列{an}中，首项a1＜０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最小？∵a1<0,S3=S11,∴d>0，即a=d>0，

二次项系数ａ在此题中的作用是什么？如果ａ小于0，此数列的前ｎ19这几处与例2不同。∵a<0,∴当n=7时，(Sn)max=－49a,∴这个数列的前7项的和最大。解：∵a1>0,S3=S11,∴d<0，即a=d<0，依题意可设Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．例２的变式题一：等差数列{an}中，首项a1>０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？此两处用字母替代后，又怎么解呢？这几处与例2不同。∵a<0,∴当n=7时，(Sn)m20依题意可设Sn=an2+bn，例2的变式题二：等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn，当m≠l时，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,问:n为何值时，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m+l)(m－l)]+b(m－l)=0，∴(m－l)[a(m+l)+b]=0，由于m≠l,∴m－l≠0,∴a(m+l)+b=0，即b=－a(m+l)，求出Sn的函数表达式，利用二次函数的性质解题。∴Sn=an2－(m+l)an=a(n－)2－。∵a1>0,m≠l,Sm=Sl,∴d<0，即a=d<0，依题意可设Sn=an2+bn，例2的变式21依题意可设Sn=an2+bn，例2的变式题二：等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn，当m≠l时，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,问:n为何值时，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m+l)(m－l)]+b(m－l)=0，∴(m－l)[a(m+l)+b]=0，由于m≠l,∴m－l≠0,∴a(m+l)+b=0，即b=－a(m+l)，求出Sn的函数表达式，利用二次函数的性质解题。∴Sn=an2－(m+l)an=a(n－)2－。∵a1>0,m≠l,Sm=Sl,∴d<0，即a=d<0，依题意可设Sn=an2+bn，例2的变式22设Sn=an2+bn,则有：。解之得：，∴Sn=3n2+n。1、略解：2、略解：是。简单提示：利用公式：3、略解（1），（2）S6最大。设Sn=an2+bn,则有：231、在等差数列中{an}，若a1=25，且S9=S17，

求数列前多少项和为最大？例题1、在等差数列中{an}，若a1=25，且S9=S17，例题24例题例2、一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。设首项为a1，公差为d,则解1：例题例2、一个等差数列的前12项之和为354，设首项为a125例题例2、一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。解2、由：例题例2、一个等差数列的前12项之和为354，解2、由：26例题例4、已知数列前n项和，（1）求证：为等差数列；（2）求的最大值及相应n（3）记数列的前项和为，求的表达式例题例4、已知数列前n项和271、等差数列{an}中，a5+a16=30,则S20等于2、在项数为2n的等差数列中，各奇数项的和为75，各偶数项的和为90，末项与首项的差为27，则项数2n的值为多少？

3、设等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn,S’n,且，求练习1、等差数列{an}中，a5+a16=30,则S20等于练习28等差数列的前n项和（二）等差数列的前n项和（二）29（一）知识回顾：1.{an}为等差数列.

，an=，更一般的，an=，d=.

an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b为常数am+(n-m)d2.等差数列前n项和Sn

=

=

.（一）知识回顾：1.{an}为等差数列30说明：{an}为等差数列

，这是一个关于

的缺

的“

”

Sn=an2+bnn常数项二次函数（a可以是0）知识回顾：等差数列前n项和再认识:（二）说明：{an}为等差数列31将公式（2）：变形可得（为常数）那它是不是等差数列呢？

当时，是一个常数项为零的二次式.当时，是一个常数列，

（

为常数）那它又是不是等差数列呢？

将公式（2）：32反之，若数列前n项和为Sn=an2+bn（n为自然数，a、b为常数）反之，若数列前n项和为Sn=an2+bn（n为自然数，a、b33若Sn=n2+3n+1呢？已知数列的前n项和求若Sn=n2+3n+1呢？已知数列的前n项和34记为:公式三当d不为0时,此式是关于n的二次式且无常数项.由于,则数列的图象是抛物线图象上的一群孤立的点.那么由二次函数的性质,我们来研究一下的最值.记为:公式三当d不为0时,此式是关于n的二次式且35

有最大值(至于是否在顶点处取得,要看顶点处所对应的横坐标距离它最近的正整数处取得,一般情况下或一,或两个最值),如右图所示:2.当公差d>0即a>0时,3.当公差d=0即a=0时,

xyox=11.当公差d<0即a<0时,有最小值.是常数列若,则它是关于n的一次函数,若,则=0

36由此我们可以根据数列前n项和的公式形式来判断一个数列是否是等差数列!如:(1)(2)(不是)(是)考虑一下取最值时所对应n的值为多少?由此我们可以根据数列前n项和的公式形式来判断如:37

（三）例题：1．求集合的元素个数，并求这些元素的和.解：由得∴正整数共有14个即中共有14个元素即：7，14，21，…，98是以为首项，以为末项的等差数列.∴答：略（三）例题：1．求集合382.已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?

与d,从解:由题意知,将它们代入公式得到与d的方程组,得分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于与d的关系式,然后确定而得到所求前n项和的公式.解这个关于2.已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的39我们再看看这一题,还有其它的方法来求解吗?不妨利用公式三,用待定系数法即可确定系数,由此可得前项和的公式.解:设代入公式有,解得,对比两种解法,发现公式的应用是很灵活的,对有些题而言选择适当的公式可以简化求解的计算量.将2730我们再看看这一题,还有其它的方法来求解吗?不妨利用公401.已知等差数列{an}(1)a2+a4+a6+a8+a10=30,(2)S13=65,则a7=_____。(3)前4项和为25,末4项和为63,所有项和为286,则项数为____。则S11=_______。66526(四)整体思想1.已知等差数列{an}(1)a2+a4+41则=_____.前n项和分别为Sn,Tn,且2.已知等差数列{an}和{bn},分析：又而则=_____.前n项和分别为Sn,T42例题例题43等差数列前n项和2李课件443.已知等差数列{an}中,a2=13,S16>0,S17<0,(1)公差d的取值范围是(2)S1,S2,S3,……,S17中,最大的是_____,为什么?S8_______________;3.已知等差数列{an}中,a2=13,S16>0,45∵Sn=dn2＋(a1－d)n=×(－2)n2＋[21－×(－2)]n=－n2＋22n=－(n－11)2＋121，思考这些条件，能得出什么结论？例1：已知数列{an}是等差数列，且a1=21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。解：分析：利用前ｎ项和公式的函数特征，就可以运用二次函数的性质解题。∵a=－1,∴当n＝11时，(Sn)max=121。例２、等差数列{an}中，首项a1＜０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最小？审题：由a1＜0,S3=S11可得：d＞0,则等差数列的前n项和Sn=an2+bn是一个开口向上的二次函数，因而存在最小值。由S3=S11可找到系数a与b的关系。∵Sn=dn2＋(a1－d)n=46二次项系数ａ在此题中的作用是什么？如果ａ小于0，此数列的前ｎ项和可能存在最大值。如果ａ小于0，此数列的前ｎ项和是否存在最小值？解：依题意可设Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．∵a>0,∴当n=7时，(Sn)min=－49a,∴这个数列的前7项的和最小。例２：等差数列{an}中，首项a1＜０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最小？∵a1<0,S3=S11,∴d>0，即a=d>0，

二次项系数ａ在此题中的作用是什么？如果ａ小于0，此数列的前ｎ47这几处与例2不同。∵a<0,∴当n=7时，(Sn)max=－49a,∴这个数列的前7项的和最大。解：∵a1>0,S3=S11,∴d<0，即a=d<0，依题意可设Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．例２的变式题一：等差数列{an}中，首项a1>０，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？此两处用字母替代后，又怎么解呢？这几处与例2不同。∵a<0,∴当n=7时，(Sn)m48依题意可设Sn=an2+bn，例2的变式题二：等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn，当m≠l时，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,问:n为何值时，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m+l)(m－l)]+b(m－l)=0，∴(m－l)[a(m+l)+b]=0，由于m≠l,∴m－l≠0,∴a(m+l)+b=0，即b=－a(m+l)，求出Sn的函数表达式，利用二次函数的性质解题。∴Sn=an2－(m+l)an=a(n－)2－。∵a1>0,m≠l,Sm=Sl,∴d<0，即a=d<0，依题意可设Sn=an2+bn，例2的变式49依题意可设Sn=an2+bn，例2的变式题二：等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn，当m≠l时，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,问:n为何值时，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m