数值分析讲稿课件

数值分析

（NumericalAnalysis）

开课单位：计算机与控制学院

张敏洪（数学科学学院）

mh_zhang@

考试方式：闭卷。

作业占20％―30％，卷面70％―80％。

有课外上机时间，讲义、作业及答案可下载。课件、参考书、作业、参考答案：校园网站数值分析

（NumericalAnalysis）开课单位1主要参考书：

1.李庆扬等，《数值分析》，华中理工大学出版社，武汉，1994。

2.丁丽娟等，《数值计算方法》，北京理工大学，1998。

3.DavidKincaid,WardCheney.王国荣等译.数值分析（NumericalAnalysis)第三版2005。4.（美）H.Mathews,D.Fink，《数值方法matlab版》，电子工业社出版，北京，2002。

5.（美）F.施依德，《数值分析》第二版，科学出版社，北京，2002。

主要参考书：1.李庆扬等，《数值分析》，华中理工大学出版社2Chap.1绪论

§1数值分析的对象与特点数值分析：研究适合计算机进行科学计算的方法。使用计算机、离散。解决科学技术和工程问题的步骤:

实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算求的结果。Chap.1绪论

§1数值分析的对象与特点数值分析：3例如:

⑴

某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。

⑵

为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。

⑶采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解,然后再整体平滑。⑷编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。

例如:4数值分析课的主要基础与内容:

计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析处理,转化为四则运算而形成了的一个小型软件包)。

1.数值代数:求解线性方程组的解法（分直接方法和间接方法），求矩阵的特征值与特征向量。

2.数值逼近：插值和数值逼近，数值微分和数值积分。

3.方程求解：非线性方程、常微分方程、偏微分方程数值解法。

数值分析课的主要基础与内容:5特点：

1.面向计算机。

2.有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析）。

3.要有好的计算复杂性（时间、空间）

4.

要有数值试验。特点：6对算法所要考虑的问题:

1.计算速度。例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。

2.存储量。大型问题有必要考虑。

3.数值稳定性。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。对算法所要考虑的问题:7§2误差的来源与误差分析的重要性

误差的来源与种类

实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算求的结果。

1.模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。

2.测量误差:测量已知参数时,数据带来的误差。

3.截断误差:在设计算法时,必然要近似处理,寻求一些简化。§2误差的来源与误差分析的重要性误差的来源与种类8例：

当

很小时，可用

作为的近似值，其截断误差小于。

例：

对函数用Taylor展开，用多项式近似代替，则数值方法的截断误差为

例：94.舍入误差:

计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。

例：π、1／3，……取小数点8位、16位。

数值分析主要讨论截断误差。测量误差看作初始的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差的影响,但这儿不讨论模型误差。

误差分析的重要性：可举例说明

4.舍入误差:10例：计算并分析误差

(n=0，1，2……）。由积分估值且由积分性质知

可设计如下两种算法：

例：计算并分析误差11算法1：取按公式

(n=0，1，2……)依次计算

的近似值。设。假设计算过程中不产生新的舍入误差，则有

(n=0，1，2……)＝＞误差扩散。算法1：取按公式12算法2：

从计算，由应有＝＞。数值稳定，在运算过程中，舍入误差不增大。

算法2：13§3误差的基本概念3.1（绝对）误差与（绝对）误差限是精确值,是它的一个近似值,称是近似值的绝对误差。简称误差。误差是有量纲的,可正可负。

误差是无法计算的,但可以估计出它的一个上界。即,称是近似值的误差限,即。§3误差的基本概念3.1（绝对）误差与（绝对）误差限143.2相对误差与相对误差限

称为近似值的相对误差,记作。相对误差是个相对数,是无量纲的,也可正可负。

相对误差的估计,称为相对误差限,即。实际中,是未知的,可用来代替。当较小时,因两者的差为:

是的高阶无穷小，可忽略不计。3.2相对误差与相对误差限15

3.3有效数字

定义:如果近似值的误差限是(某一位数的半个单位),则称准确到小数点后n位,并从第一个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。例：π＝3.1415926535,

3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。例：近似值准确到小数点后五位，有三位有效数字。3.3有效数字16有效数字与误差限的关系：

有n位有效数字,标准形式为，则有。有效位数越多，（绝对）误差限越小。

准确到小数点后3位。有效数字与误差限的关系：17

有效数字与相对误差限的关系：定理1：，若有n位有效数字，则其相对误差限为反之，若的相对误差限则至少具有n位有效数字。有效数字与相对误差限的关系：18证：因，故当有n位有效数字时，。反之，由

因此，至少具有n位有效数字。证毕。定理说明，有效位数越多相对误差限越小。数值分析讲稿课件193.4数值计算中误差估计数值计算中误差的传播：

对一元函数的计算:

设是的近似值。如果可微，有介于与之间，取绝对值得3.4数值计算中误差估计数值计算中误差的传播：20对多元函数:

若分别是的近似值,则对多元函数:21四则运算中误差的传播

四则运算误差限的公式:这是因为,故

四则运算中误差的传播22

§4数值计算中应注意的几个原则1、关于数值稳定性的算法。

一个程序往往要进行大量的四则运算才能得出结果,每一步的运算均可能会产生舍入误差。在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则就称之为不稳定的算法。§4数值计算中应注意的几个原则1、关于数值稳定性的算法。23例:

用分部积分公式得递推式:

用四位有效数字计算:

例:24可以估计出故与精确值一位有效数字也没有。这是由于如果有误差,不计中间再产生的舍入误差,该误差随着计算：

到

时

误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。可以估计出故25如果递推式改为由,,逐步计算直到。计算结果有四位有效数字,如果有误差,其传播到所引起的误差仅为

故该算法是稳定的。如果递推式改262、注意避免两个相近数的相减。

两个相近的数相减,有效数字会大大损失。因两数之差x-y的相对误差为

当x与y很接近时，两数之差x-y的相对误差会很大，有效数字位将严重丢失。避免办法：进行变换。2、注意避免两个相近数的相减。27例：如用四位有效数字计算:

结果只有一位有效数字;如改为:

有四位有效数字。避免了两个相近数的相减。例：28例：用四位浮点数计算解:

只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相对误差扩大。结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的重要性。例：用四位浮点数计算293.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。

,当时,舍入误差会扩大。例:的舍入误差均为,而,则的舍入误差为:很小的数作除数有时还会造成计算机的溢出而停机。

3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。304.防止大数吃掉小数。

计算机在进行运算时，首先要把参加运算的数对阶，即把两数都写成绝对值小于1而阶码相同的数。如，必须改写成

如果计算机只能表示8位小数，则算出，大数“吃”了小数。这种情况有时允许，有时不允许。

4.防止大数吃掉小数。31例如:

被大数吃掉了。如按,

就没有被吃掉。这也是构造算法时要注意的问题。

例如:32例:一元二次方程x2－(109+1)x+109=0其精确解为X1=109,X2=1。

如用求根公式:用8位的计算机求解,有

及

;则的值与精确解差别很大。若用因此,算法的选用很重要。例:一元二次方程x2－(109+1)x+109=0其精确解为335．简化计算步骤,减少运算次数。

例:计算的值如果逐个相乘要用254次乘法。若只需14次乘法。例:计算多项式的值:如若按

有

次乘法运算,计算

共需

次乘法和n次加法运算。如写成,用递推算法:,最终,共需n次乘法和n次加法运算。5．简化计算步骤,减少运算次数。34例：计算的近似值，要求误差小于。方法1：用级数

的前n项部分和来计算。，若，则需。即要取前十万项求和，计算量大，舍入误差积累，将使有效数字丢失。

例：计算的近似值，要求误差小于。35方法2：用级数计算。当时，有取前5项之和作近似值，产生的截断误差为

此算法有效。方法2：用级数36

37数值分析

（NumericalAnalysis）

开课单位：计算机与控制学院

张敏洪（数学科学学院）

mh_zhang@

考试方式：闭卷。

作业占20％―30％，卷面70％―80％。

有课外上机时间，讲义、作业及答案可下载。课件、参考书、作业、参考答案：校园网站数值分析

（NumericalAnalysis）开课单位38主要参考书：

1.李庆扬等，《数值分析》，华中理工大学出版社，武汉，1994。

2.丁丽娟等，《数值计算方法》，北京理工大学，1998。

3.DavidKincaid,WardCheney.王国荣等译.数值分析（NumericalAnalysis)第三版2005。4.（美）H.Mathews,D.Fink，《数值方法matlab版》，电子工业社出版，北京，2002。

5.（美）F.施依德，《数值分析》第二版，科学出版社，北京，2002。

主要参考书：1.李庆扬等，《数值分析》，华中理工大学出版社39Chap.1绪论

§1数值分析的对象与特点数值分析：研究适合计算机进行科学计算的方法。使用计算机、离散。解决科学技术和工程问题的步骤:

实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算求的结果。Chap.1绪论

§1数值分析的对象与特点数值分析：40例如:

⑴

某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。

⑵

为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。

⑶采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解,然后再整体平滑。⑷编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。

例如:41数值分析课的主要基础与内容:

计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析处理,转化为四则运算而形成了的一个小型软件包)。

1.数值代数:求解线性方程组的解法（分直接方法和间接方法），求矩阵的特征值与特征向量。

2.数值逼近：插值和数值逼近，数值微分和数值积分。

3.方程求解：非线性方程、常微分方程、偏微分方程数值解法。

数值分析课的主要基础与内容:42特点：

1.面向计算机。

2.有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析）。

3.要有好的计算复杂性（时间、空间）

4.

要有数值试验。特点：43对算法所要考虑的问题:

1.计算速度。例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。

2.存储量。大型问题有必要考虑。

3.数值稳定性。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。对算法所要考虑的问题:44§2误差的来源与误差分析的重要性

误差的来源与种类

实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算求的结果。

1.模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。

2.测量误差:测量已知参数时,数据带来的误差。

3.截断误差:在设计算法时,必然要近似处理,寻求一些简化。§2误差的来源与误差分析的重要性误差的来源与种类45例：

当

很小时，可用

作为的近似值，其截断误差小于。

例：

对函数用Taylor展开，用多项式近似代替，则数值方法的截断误差为

例：464.舍入误差:

计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。

例：π、1／3，……取小数点8位、16位。

数值分析主要讨论截断误差。测量误差看作初始的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差的影响,但这儿不讨论模型误差。

误差分析的重要性：可举例说明

4.舍入误差:47例：计算并分析误差

(n=0，1，2……）。由积分估值且由积分性质知

可设计如下两种算法：

例：计算并分析误差48算法1：取按公式

(n=0，1，2……)依次计算

的近似值。设。假设计算过程中不产生新的舍入误差，则有

(n=0，1，2……)＝＞误差扩散。算法1：取按公式49算法2：

从计算，由应有＝＞。数值稳定，在运算过程中，舍入误差不增大。

算法2：50§3误差的基本概念3.1（绝对）误差与（绝对）误差限是精确值,是它的一个近似值,称是近似值的绝对误差。简称误差。误差是有量纲的,可正可负。

误差是无法计算的,但可以估计出它的一个上界。即,称是近似值的误差限,即。§3误差的基本概念3.1（绝对）误差与（绝对）误差限513.2相对误差与相对误差限

称为近似值的相对误差,记作。相对误差是个相对数,是无量纲的,也可正可负。

相对误差的估计,称为相对误差限,即。实际中,是未知的,可用来代替。当较小时,因两者的差为:

是的高阶无穷小，可忽略不计。3.2相对误差与相对误差限52

3.3有效数字

定义:如果近似值的误差限是(某一位数的半个单位),则称准确到小数点后n位,并从第一个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。例：π＝3.1415926535,

3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。例：近似值准确到小数点后五位，有三位有效数字。3.3有效数字53有效数字与误差限的关系：

有n位有效数字,标准形式为，则有。有效位数越多，（绝对）误差限越小。

准确到小数点后3位。有效数字与误差限的关系：54

有效数字与相对误差限的关系：定理1：，若有n位有效数字，则其相对误差限为反之，若的相对误差限则至少具有n位有效数字。有效数字与相对误差限的关系：55证：因，故当有n位有效数字时，。反之，由

因此，至少具有n位有效数字。证毕。定理说明，有效位数越多相对误差限越小。数值分析讲稿课件563.4数值计算中误差估计数值计算中误差的传播：

对一元函数的计算:

设是的近似值。如果可微，有介于与之间，取绝对值得3.4数值计算中误差估计数值计算中误差的传播：57对多元函数:

若分别是的近似值,则对多元函数:58四则运算中误差的传播

四则运算误差限的公式:这是因为,故

四则运算中误差的传播59

§4数值计算中应注意的几个原则1、关于数值稳定性的算法。

一个程序往往要进行大量的四则运算才能得出结果,每一步的运算均可能会产生舍入误差。在运算过程中,舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则就称之为不稳定的算法。§4数值计算中应注意的几个原则1、关于数值稳定性的算法。60例:

用分部积分公式得递推式:

用四位有效数字计算:

例:61可以估计出故与精确值一位有效数字也没有。这是由于如果有误差,不计中间再产生的舍入误差,该误差随着计算：

到

时

误差扩大了4万倍。因而该算法不是稳定的。可以估计出故62如果递推式改为由,,逐步计算直到。计算结果有四位有效数字,如果有误差,其传播到所引起的误差仅为

故该算法是稳定的。如果递推式改632、注意避免两个相近数的相减。

两个相近的数相减,有效数字会大大损失。因两数之差x-y的相对误差为

当x与y很接近时，两数之差x-y的相对误差会很大，有效数字位将严重丢失。避免办法：进行变换。2、注意避免两个相近数的相减。64例：如用四位有效数字计算:

结果只有一位有效数字;如改为:

有四位有效数字。避免了两个相近数的相减。例：65例：用四位浮点数计算解:

只有一位有效数字,